八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第二学期期末质量检测
八年级数学试题
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确． 请在答题卷的相应区域答题．）
1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 2023
2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长与宽之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）

A. 若，则平行四边形菱形
B. 若，则平行四边形是矩形
C. 若，则平行四边形是矩形
D. 若且，则平行四边形是正方形
5. 如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）

A B. C. D.
8. 一组数据：、、、、，分别减去，得到另一组数据：、、、、，其中判断错误的是（ ）
A. 前一组数据的中位数是
B. 前一组数据的众数是
C. 后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去
D. 后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去
9. 如图，直线交坐标轴于点，，将向轴负半轴平移个单位长度得到，则图中阴影部分面积为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是（ ）

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请在答题卷的相应区域答题．）
11. 计算：______．
12. 已知关于的一次函数，若函数图象经过原点，则__________．
13. 已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，若，且，则四边形的形状是_______.（填“梯形”“矩形”“菱形”）
14. 小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据：（单位：）
小王
163
164
164
165
165
166
166
167
小李
161
162
164
165
166
166
168
168
经过计算得到两组数据的平均身高均为，小王一组的方差为，小李一组的方差为，则两人中____________一组的身高比较稳定．（填“小王”或“小李”）
15. 如图，一次函数的图象为直线，经过和两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点，两直线，相交于点B．则关于的不等式的解集是__________．

16. 某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
则风筝的垂直高度__________米．

17. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．点是直线上的一个动点，将点向下平移4个单位长度得到点，若线段与轴有一个公共点，设点的横坐标为，则的取值范围是__________．
18. 如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．

三、（本大题满分8分，每小题4分． 请在答题卷的相应区域答题．）
19. 计算：
（1）
（2）
四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分． 请在答题卷的相应区域答题．）
20. 如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形四个顶点都在格点上，现要在图中建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点C的坐标为．

（1）判断四边形的形状为 ，面积为 ；
（2）在图中画出符合题意的坐标系，则点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）以为圆心，长为半径画弧，该弧与轴负半轴相交于点，画出点的位置，并求出点的坐标．
21. 某校对八年级名学生进行了体质检测，并随机抽取男生﹑女生各名学生的测试成绩进行整理﹑描述和分析，这些学生的成绩记为（成绩为整数，单位：分，满分分），将所得的数据分为四个等次：等：；等：；等：；等：．学校对数据进行分析后，得到了如下部分信息：男生成绩在这一组的数据是：，，，；
男生成绩的频数统计表
等次
频数
频率
组


组


组


组


女生成绩是：，，，，，，，，，；
抽取的男生和女生体质检测成绩的平均数﹑中位数﹑众数如下表：

平均数
中位数
众数
男生



女生



请根据以上信息解答下列问题：
（1）＝ ；＝ ；
（2）请根据统计的数据对该校八年级男生与女生的体质检测进行评价，并说明理由；
（3）请估计该校八年级名学生在这次体质检测中成绩达到等次的人数．
五、（本大题满分10分． 请在答题卷的相应区域答题．）
22. “闪送”是小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣、配送过程当中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪元，超过单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一个单），送单补贴的具体方案如下：
送单数量
补贴（元/单）
每月超过单且不超过单部分

每月超过单的部分


（1）若某月甲﹑乙两位闪送员分别送了单和单，你能帮忙算算他们分别可以拿到多少工资？
（2）设闪送员小金在月份送了单（），所得工资为元，则与的函数关系式是什么？
（3）如果小金想在月份获得不低于元的工资，他至少需要送多少单才能完成目标？
六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点与点重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上任选一点，连接，并在延长线上取一点，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角 ；
（2）特例探究
探索当为多少度时，菱形为正方形？请说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片中，线段，时，求出正方形的边长．







第二学期期末质量检测
八年级数学试题
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确． 请在答题卷的相应区域答题．）
1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解不等式求出其解集，即可求解．
【详解】解：由题意，得，
解得：，
∵
∴可以使有意义的只有7，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被告开方数为非负数是解题的关键．
2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形．
【详解】解：A、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形；
故答案为：C．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形．
3. 将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长与宽之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的周长得出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：
∴长与宽之间的关系式为：，
故选：A．
【点睛】此题考查函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
4. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）

A. 若，则平行四边形是菱形
B. 若，则平行四边形是矩形
C. 若，则平行四边形是矩形
D. 若且，则平行四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可判定A；根据，又由平行线性质年，从而得出，所以，则，所以平行四边形是矩形，可判定B；根据，可得出，则平行四边形是菱形，可判定C；根据且，则平行四边形是菱形，可判定D．
【详解】解：A、∵平行四边形，，，，∴平行四边形是矩形；所以若，则平行四边形是菱形上假命题，故此选项不符合题意；
B、∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四边形是矩形，∴若，则平行四边形是矩形是真命题；故此选项符合题意；

C、∵平行四边形，∴，∴，∵
∴，∴平行四边形是菱形，∴若，则平行四边形是矩形是假命题，故此选项不符合题意；
D、若且，则平行四边形是菱形，所以若且，则平行四边形是正方形是假命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，命题真假的判定．熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
5. 如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：在中，，点是斜边的中点，
则，
，
，
、分别是、的中点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式加减法与乘法法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减法与乘法运算，熟练掌握二次根式的加减法与乘法运算法则是解题的关键．
7. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：观察s关于t函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选B．
8. 一组数据：、、、、，分别减去，得到另一组数据：、、、、，其中判断错误的是（ ）
A. 前一组数据的中位数是
B. 前一组数据的众数是
C. 后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去
D. 后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数的定义：将数据按照从小到大的顺序排序后，位置在最中间的数值，进行求解即可，根据平均数的计算方法：一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，根据方差的计算方法求解即可
【详解】解：A. 前一组数据的中位数是，正确，不符合题意；
B. 前一组数据的众数是，正确，不符合题意；
C. 第一组数的平均数为，第二组数的平均数为，后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去，正确，不符合题意；
D. 第一组数的方差为，，后一组数据的方差为后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了方差、中位数、众数、平均数，解题的关键是掌握方差、中位数、众数、平均数的意义.
9. 如图，直线交坐标轴于点，，将向轴负半轴平移个单位长度得到，则图中阴影部分面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图像分别求出的长，根据平移可算出的长，根据点在一次函数图像上可算出点的坐标，即求出的长，再根据，可得，求出梯形的面积即可．
【详解】解：直线交坐标轴于点，，
∴令时，；令时，；
∴，，即，
∵向轴负半轴平移个单位长度得到，
∴，，即
∵点在直线的图像上，且点的横坐标与点的横坐标相同，
∴当时，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即阴影部分的面积为，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何变换的综合，掌握平行的性质，一次函数图像的性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
10. 如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是（ ）

A ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】①根据题意可证明四边形为平行四边形，继而可判断出此项正确；
②根据①的结论，再结合，为边的中点得出可判断出四边形是菱形；
③，，可得出结论；
④要使，则，而因为得不出，即不等得出．
【详解】解：①在平行四边形中，、分别为边、的中点
四边形为平行四边形，
，故①正确．
②由①知四边形为平行四边形，
，为边的中点，
，
四边形是菱形，故②正确．
④，，，
为矩形，
，
要使，则，
不能证明，即不恒成立，
故④不正确．
③由④知，
，
为中点，
，
，
故③正确．
综上可得：①②④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，还有全等三角形的知识，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请在答题卷的相应区域答题．）
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质直接进行计算即可．
【详解】解：=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，把 化为的形式是解答此题的关键．
12. 已知关于的一次函数，若函数图象经过原点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的图象经过原点，得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象经过原点，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，根据题意得到是解题的关键．
13. 已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，若，且，则四边形的形状是_______.（填“梯形”“矩形”“菱形”）
【答案】矩形
【解析】
【分析】连接，，根据三角形中位线定理，，，根据，得出，证明四边形是矩形，根据，得出四边形不可能是菱形．
【详解】解：如图，连接，，

∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴根据三角形中位线定理，，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
且∵，
∴四边形邻边不相等，
∴四边形不可能是菱形．
故答案为：矩形
【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，三角形中位线性质，解题的关键是理解题意熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半．
14. 小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据：（单位：）
小王
163
164
164
165
165
166
166
167
小李
161
162
164
165
166
166
168
168
经过计算得到两组数据平均身高均为，小王一组的方差为，小李一组的方差为，则两人中____________一组的身高比较稳定．（填“小王”或“小李”）
【答案】小王
【解析】
【分析】在平均身高相等的情况下，比较两组的方差大小，根据方差小的较稳定求解即可．
【详解】解：∵两组数据的平均身高均为，
又∵，即小王一组的方差小于小李一组的方差，
∴小王一组的身高比较稳定．
故答案为：小王．
【点睛】本题考查方差，熟练掌握方差越小，数据越稳定是解题的关键．
15. 如图，一次函数的图象为直线，经过和两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点，两直线，相交于点B．则关于的不等式的解集是__________．

【答案】
【解析】
【分析】先用待定系数法求出直线的解析式，再联立两直线解析式求解得出点B的坐标，然后用图象法得出不等式的解集即可．
【详解】解：把和分别代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，得，解得：，
∴，
由图象，得不等式的解集为：．
故答案：．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，两直线交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和利用图象法求不等式解集是解题的关键．
16. 某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
则风筝的垂直高度__________米．

【答案】21.7
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度
【详解】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，米，
故答案为21.7
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．点是直线上的一个动点，将点向下平移4个单位长度得到点，若线段与轴有一个公共点，设点的横坐标为，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由一次函数的图象与轴交于可得一次函数的解析式，从而得到，由平移可得到，再分别求出点和点分别在轴上时的的值，即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于，
，
，
一次函数的解析式为：，
点是直线上的一个动点，
，
点向下平移4个单位长度得到点，
，
当在轴上时，，
解得：，
当在轴上时，，
解得：，
线段与轴有一个公共点，则的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
18. 如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，
∴，
作于点E，如图，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键．
三、（本大题满分8分，每小题4分． 请在答题卷的相应区域答题．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简，并用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式


【点睛】本题考查二次根式混合运算，绝对值化简，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分． 请在答题卷的相应区域答题．）
20. 如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形四个顶点都在格点上，现要在图中建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点C的坐标为．

（1）判断四边形的形状为 ，面积为 ；
（2）在图中画出符合题意的坐标系，则点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）以为圆心，长为半径画弧，该弧与轴的负半轴相交于点，画出点的位置，并求出点的坐标．
【答案】（1）正方形；10
（2）见解析， ，
（3）见解析，
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得，，，从而可得四边形是菱形，由勾股定理逆定理可得，从而得到四边形是正方形，最后通过正方形的面积公式进行计算即可得到答案；
（2）由点的坐标为，点C的坐标为，建立直角坐标系，再根据坐标系即可得到点的坐标；
（3）根据题意画出图即可，由勾股定理可得，则，由在轴负半轴上，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，

由勾股定理可得：，，
四边形是菱形，
，
是直角三角形，且，
四边形是正方形，
，
故答案为：正方形，；
【小问2详解】
解：点的坐标为，点C的坐标为，
建立平面直角坐标系如图所示：

，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：点如图所示：

由图可知: ，
，
，
在轴的负半轴上，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、位置与坐标，熟练掌握正方形的判定与性质，采用数形结合的思想解题，是解决此题的关键．
21. 某校对八年级名学生进行了体质检测，并随机抽取男生﹑女生各名学生的测试成绩进行整理﹑描述和分析，这些学生的成绩记为（成绩为整数，单位：分，满分分），将所得的数据分为四个等次：等：；等：；等：；等：．学校对数据进行分析后，得到了如下部分信息：男生成绩在这一组的数据是：，，，；
男生成绩的频数统计表
等次
频数
频率
组


组


组


组


女生成绩是：，，，，，，，，，；
抽取的男生和女生体质检测成绩的平均数﹑中位数﹑众数如下表：

平均数
中位数
众数
男生



女生



请根据以上信息解答下列问题：
（1）＝ ；＝ ；
（2）请根据统计的数据对该校八年级男生与女生的体质检测进行评价，并说明理由；
（3）请估计该校八年级名学生在这次体质检测中成绩达到等次的人数．
【答案】（1），
（2）男生成绩优于女生成绩，理由见解析
（3）60人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出值，再根据频率的计算公式即可求出值．
（2）根据中位数和众数即可比较出男生的成绩优秀一些．
（3）用等成绩所占的百分比，乘以总人数即可求出等成绩的人数．
【小问1详解】
解：由男生成绩的频数统计表可知，
组人数为：，
将成绩按照从小到大的顺序排列的组就是：，，，，
排在最中间的是组，
男生成绩在这一组（组）的数据是：，，，，
排在最中间的成绩是：，，
．
组人数为：，
组的频率为：．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：男生成绩优于女生成绩，理由如下：
男生与女生平均分都是分，而男生中位数为分，女生中位数为 分，
有一半男生的成绩为分以上，比女生高．
男生的众数也高于女生，，
男生的成绩比女生好．
【小问3详解】
解：(人)
答：该校八年级学生在这次体质检测中成绩达到等次的人数大约有人．
故答案为：人．
【点睛】本题考查了频数统计表，涉及到中位数、众数、用样本估计总本，解题的关键在于理解题意，熟练掌握中位数、众数、用样本估计总本．
五、（本大题满分10分． 请在答题卷的相应区域答题．）
22. “闪送”是小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣、配送过程当中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪元，超过单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一个单），送单补贴的具体方案如下：
送单数量
补贴（元/单）
每月超过单且不超过单的部分

每月超过单的部分


（1）若某月甲﹑乙两位闪送员分别送了单和单，你能帮忙算算他们分别可以拿到多少工资？
（2）设闪送员小金在月份送了单（），所得工资为元，则与的函数关系式是什么？
（3）如果小金想在月份获得不低于元的工资，他至少需要送多少单才能完成目标？
【答案】（1）甲的工资为元，乙的工资为元
（2）
（3）单
【解析】
【分析】（1）根据题意，甲工资的计算方法是“超过单且不超过单的部分”，乙工资的计算方法是“每月超过单的部分”，由此即可求解；
（2）根据的取值不同，运用分段函数表示，由此即可求解；
（3）根据一次函数图像的性质，不等式的性质即可求解．
【小问1详解】
解：甲的工资：(元)，
乙的工资：(元)，
∴甲的工资为元，乙的工资为元．
【小问2详解】
解：当时，(元)；
当时，(元)；
综上所述，与的函数关系式为．
【小问3详解】
解：当时，（元）（元），
，
，
，
为整数，
，
∴小金至少需要送单才能完成目标．
【点睛】本题主要考查分段函数的运用，一次函数图像的性质，一元一次不等式的综合，掌握自变量取值不同得到不同的函数表达式，根据函数图形的性质，一元一次不等式的性质解决实际问题的方法是解题的关键．
六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点与点重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上任选一点，连接，并在延长线上取一点，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角 ；
（2）特例探究
探索当为多少度时，菱形为正方形？请说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片中，线段，时，求出正方形的边长．

【答案】（1）或或
（2）当时，菱形为正方形，见解析
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据菱形的一条对角线平分一组对角可求解；
（2）证明，得，又，得，从而得出，即可得出结论；
（3）过作于点，则 为等腰直角三角形，设，则，则，根据勾股定理，所以，则；再由等腰三角形“三线合一”性质得，所以，然后由即可求解．
【小问1详解】
解：由对折可得，，
又∵菱形，
∴
∴，
即与相等的角是或或．
【小问2详解】
解：当时，菱形为正方形．
理由如下∶
菱形，为其对角线，

在与中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
菱形为正方形．
【小问3详解】
解：过作于点．如图，

正方形，为对角线，
，
为等腰直角三角形
设，则，

，
，
，
；
且，
，
，

．
答：正方形边长为4．