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人教版数学小升初暑假衔接 专题06 有理数的分类与数轴（原卷版+解析版）
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专题06 有理数的分类与数轴
1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类。
2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；
4.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．
【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写乘分数的形式呢？
【思考2】请读出下列温度计的读数。
【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。
1.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）有理数的分类：
（1）（2）
注意：整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；
5）常用数学概念的含义
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
2.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
考点1、有理数的概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）下面的说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数
C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数
例2．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数不是整数就是分数． B．正整数和负整数统称整数．
C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数． D．0是最小的整数．
变式2．（2022秋·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2、有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）将下列各数填入所属的集合中：
0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5
正数集合：{ …}；整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；
负整数集合：：{ …}；正分数集合：{ …}；
例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示______数的集合．
变式1．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考期中）在3.67，0，1，，，，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022秋·云南昆明·七年级校考期中）下列各数中，既是分数又是负数的是（ ）
A． B． C．0 D．2.8
变式3．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，
(1)正数集合：{ …}；(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}；
变式4．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域内）：，，，，，0，，，．
考点3、有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
例1．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 ．
例2.（2022•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
变式1.（2022•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
变式2.（2022•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．
例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．
（1）集合{﹣4，8} （填“是”或“不是”）对偶集合．
（2）集合{−112，1012，2}是否是完美对偶集合？请说明理由.
考点4、数轴的三要素及其画法
【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
例1．（2023秋·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
例2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·河北衡水·二模）如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
变式3．（2023秋·山西晋中·七年级统考期中）数学课上老师让同学们画出数轴，下列作图表示数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点5、用数轴上的点与有理数的关系
【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系
①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；
②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
例1．（2023·广西贺州·统考一模）如图，数轴上点Q所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为( )
A． B． C． D．
例3．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；
(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？
变式1．（2022秋·广西七年级期中）如图，数轴上的点、分别表示和，点在数轴上且到和的距离相等，则点表示的数是_____．
变式2．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示4的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
变式3．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期末）数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（ ）
A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边
C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边
考点6、利用数轴比较有理数的大小
【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例1．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）请写出一个大于且小于0的整数______．
例2．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________．
(2)在数轴上表示下列各数：0，，，．(3)把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来
变式1．（2023·广西贺州·统考二模）已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）
变式2．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）写出所有比大的非正整数：____________________．
变式3．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接．
，，，0，2.5
考点7、数轴上两点之间的距离
【解题技巧】在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| (差的绝对值)。 在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。
在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。
例1．（2023·吉林长春·统考一模）在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（ ）个单位．
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
例2．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（ ）
A． B．4或 C．4或 D．或4
变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于4，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
变式2．（2023·河北张家口·校考模拟预测）如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
考点8、数轴上的动点问题
【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。
例1．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（ ）
A． B． C．3 D．2
例2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（ ）
A．0 B．或 C．4或 D．2或
变式1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（ ）
A．0 B． C．0.5 D．2
变式2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动个单位长度到点，则点表示的数为 ______ ．
变式3．（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是________．
A级（基础过关）
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各数中，负有理数有（ ）个
，，，0，，120，，
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考期末）下列说法正确的是( )
A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数
C．–0.6是分数，负数，也是有理数 D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数
3．（2023·贵州黔东南·统考一模）在，，，四个数中，负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）下列7个图中有（ ）个是正确的数轴．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示
C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是36.8的点有两个
6．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在数轴上与距离等于个单位的点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数
C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（ ）
A．在的左边 B．在3的右边 C．在原点与之间 D．在的左边
10．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）一个点，从数轴的原点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（ ）
A．3 B．1 C． D．
11．（2023·江苏淮安·七年级统考期末）下列各数中：，，0，，，，有理数有____个．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．
13．（2022秋·四川巴中·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法．
14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）观察数轴，回答下列问题：
(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；
(2)大于并且小于的整数有哪几个？
(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：，，2，
______<______<______<______.
B级（能力提升）
1．（2022·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5
2．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，在单位长度为1的数轴上，若点A、点B到原点的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在数轴上表示和5.2之间的整数有（ ）．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）在，，0，，，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为________．
5．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度．
6．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.
7．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．
8．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．
9．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是________________．
10．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点，，，其中，．设点，，，所对应数的和是．
（1）若以点为原点，此时的值为___________；
（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，的值为___________．
11．（2022·广东佛山·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，
12．（2022秋·七年级单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．
翻折运动已知纸面上有一数轴，折叠纸面．
(1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合．
(2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与_____表示的点重合；
②若数轴上，两点之间的距离为在的左侧，且折痕与①折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；
(3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，，那么数表示的点与数_______表示的点也重合．用含有，，的代数式表示
13．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________；(2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________；
(3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄．
14．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：
(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．
①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ．
②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ．
(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么 ．
(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么 ．
(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？
C级（培优拓展）
1.（2022•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ）
A．23 B．24 C．24或25 D．26
2．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023·山东淄博·二模）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数轴上有，两点，，之间的距离为2，点与原点的距离为3，那么点对应的数是______．
5．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为________．
6．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是________．
7．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，则的最小值为______．
8．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
9．（2022秋·山西太原·七年级山西大附中校考期末）阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
10．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）将下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
11．（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
12．（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．(1)A，B两点之间的距离为__________，线段的中点C所表示的数__________；(2)点P所在位置的点表示的数为__________，点Q所在位置的点表示的数为__________（用含t的代数式表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相遇？
13．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
专题06 有理数的分类与数轴
1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类。
2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；
4.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．
【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写乘分数的形式呢？
【思考2】请读出下列温度计的读数。
【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。
1.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）有理数的分类：
（1）（2）
注意：整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；
5）常用数学概念的含义
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
2.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
考点1、有理数的概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）下面的说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数
C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数
例2．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数不是整数就是分数． B．正整数和负整数统称整数．
C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数． D．0是最小的整数．
变式2．（2022秋·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2、有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）将下列各数填入所属的集合中：
0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5
正数集合：{ …}；整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；
负整数集合：：{ …}；正分数集合：{ …}；
例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示______数的集合．
变式1．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考期中）在3.67，0，1，，，，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022秋·云南昆明·七年级校考期中）下列各数中，既是分数又是负数的是（ ）
A． B． C．0 D．2.8
变式3．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，
(1)正数集合：{ …}；(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}；
变式4．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域内）：，，，，，0，，，．
考点3、有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
例1．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 ．
例2.（2022•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
变式1.（2022•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
变式2.（2022•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．
例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．
（1）集合{﹣4，8} （填“是”或“不是”）对偶集合．
（2）集合{−112，1012，2}是否是完美对偶集合？请说明理由.
考点4、数轴的三要素及其画法
【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
例1．（2023秋·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
例2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·河北衡水·二模）如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
变式3．（2023秋·山西晋中·七年级统考期中）数学课上老师让同学们画出数轴，下列作图表示数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点5、用数轴上的点与有理数的关系
【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系
①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；
②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
例1．（2023·广西贺州·统考一模）如图，数轴上点Q所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为( )
A． B． C． D．
例3．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；
(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？
变式1．（2022秋·广西七年级期中）如图，数轴上的点、分别表示和，点在数轴上且到和的距离相等，则点表示的数是_____．
变式2．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示4的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
变式3．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期末）数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（ ）
A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边
C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边
考点6、利用数轴比较有理数的大小
【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例1．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）请写出一个大于且小于0的整数______．
例2．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________．
(2)在数轴上表示下列各数：0，，，．(3)把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来
变式1．（2023·广西贺州·统考二模）已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）
变式2．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）写出所有比大的非正整数：____________________．
变式3．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接．
，，，0，2.5
考点7、数轴上两点之间的距离
【解题技巧】在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| (差的绝对值)。 在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。
在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。
例1．（2023·吉林长春·统考一模）在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（ ）个单位．
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
例2．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（ ）
A． B．4或 C．4或 D．或4
变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于4，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
变式2．（2023·河北张家口·校考模拟预测）如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
考点8、数轴上的动点问题
【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。
例1．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（ ）
A． B． C．3 D．2
例2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（ ）
A．0 B．或 C．4或 D．2或
变式1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（ ）
A．0 B． C．0.5 D．2
变式2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动个单位长度到点，则点表示的数为 ______ ．
变式3．（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是________．
A级（基础过关）
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各数中，负有理数有（ ）个
，，，0，，120，，
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考期末）下列说法正确的是( )
A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数
C．–0.6是分数，负数，也是有理数 D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数
3．（2023·贵州黔东南·统考一模）在，，，四个数中，负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）下列7个图中有（ ）个是正确的数轴．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示
C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是36.8的点有两个
6．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在数轴上与距离等于个单位的点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数
C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（ ）
A．在的左边 B．在3的右边 C．在原点与之间 D．在的左边
10．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）一个点，从数轴的原点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（ ）
A．3 B．1 C． D．
11．（2023·江苏淮安·七年级统考期末）下列各数中：，，0，，，，有理数有____个．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．
13．（2022秋·四川巴中·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法．
14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）观察数轴，回答下列问题：
(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；
(2)大于并且小于的整数有哪几个？
(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：，，2，
______<______<______<______.
B级（能力提升）
1．（2022·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5
2．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，在单位长度为1的数轴上，若点A、点B到原点的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在数轴上表示和5.2之间的整数有（ ）．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）在，，0，，，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为________．
5．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度．
6．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.
7．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．
8．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．
9．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是________________．
10．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点，，，其中，．设点，，，所对应数的和是．
（1）若以点为原点，此时的值为___________；
（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，的值为___________．
11．（2022·广东佛山·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，
12．（2022秋·七年级单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．
翻折运动已知纸面上有一数轴，折叠纸面．
(1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合．
(2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与_____表示的点重合；
②若数轴上，两点之间的距离为在的左侧，且折痕与①折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；
(3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，，那么数表示的点与数_______表示的点也重合．用含有，，的代数式表示
13．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________；(2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________；
(3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄．
14．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：
(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．
①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ．
②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ．
(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么 ．
(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么 ．
(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？
C级（培优拓展）
1.（2022•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ）
A．23 B．24 C．24或25 D．26
2．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023·山东淄博·二模）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数轴上有，两点，，之间的距离为2，点与原点的距离为3，那么点对应的数是______．
5．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为________．
6．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）数轴上A、B两点对应的数分别为和，P为数轴上一点，若，则点P表示的数是________．
7．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，则的最小值为______．
8．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过______秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
9．（2022秋·山西太原·七年级山西大附中校考期末）阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
10．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）将下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
11．（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
12．（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．(1)A，B两点之间的距离为__________，线段的中点C所表示的数__________；(2)点P所在位置的点表示的数为__________，点Q所在位置的点表示的数为__________（用含t的代数式表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相遇？
13．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
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