人教版数学小升初暑假衔接 专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练（原卷版+解析版）

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专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练

1.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
2.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。

1.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时

无法确定
当时

的值为定值，即为
当

无法确定
结论：式子在时，取得最小值为。
2.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时

的值为定值，即为—
当时


当

的值为定值，即为

结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
3.最小值规律：
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
4.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
5.已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：
大的数－小的数＞0，转化到数轴上：右－左＞0；小的数－大的数＜0，转化到数轴上：左－右＜0.
两数相加：
正数＋正数＞0，化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简（合并同类项）.

考点1、两个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3

请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，

当点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；

（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【答案】 6
【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解】当时，，∵，∴；
当时，；
当时，，∵，∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：

①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)
【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3；
（3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．

考点2、两个绝对值的差的最值
例1．（2022秋·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．

根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】     3     -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
变式2．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．

提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______．
【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9
【分析】探究一：根据绝对值的概念可得；
探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可；
解决问题：根据绝对值的概念计算即可；
实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；
拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可．
【详解】探究一：当b＝n时，，故答案为：n；
探究二：（2），故答案为：；
（3），故答案为：；
解决问题：，故答案为：；
实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5；
（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，
∴，∴或，得或，故答案为：7或；
拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，
∴的最小值是4，故答案为：4；
（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，
∴的最大值是9，故答案为：9．
【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．
考点3、多个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　．
（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　．
【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．
【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得；
（二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得；
（2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可；
（4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可．
【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11．
（二）（1）解：，，或，故答案为8或．
（2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，是整数，共6个；故答案为：6．
（3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，
当时，有最小值，
最小值为：=2025；故答案为：2025．
（4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，
当时，取最小值，
即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031．
（5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，
当时有最小值，
即最小值==15，故答案为：15．
【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．
变式1．（2022秋·全国·七年级专题练习）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；

(3)的最小值是 ；(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．

【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：

故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有解得：；
②当时，则有
③当时，则有解得：
综上，a的取值范围为：故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．

(4)若，则式子的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，
当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．

考点4、绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，∴，解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；
②由题意可知：，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：．故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．

考点5、绝对值的化简
例1．（2022秋·山东潍坊·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为___________．

【答案】/
【分析】根据数轴得到，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得到答案．
【详解】解：，，，
原式故答案为：
【点睛】此题考查了实数与数轴、绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
例2．（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________．
【答案】3
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可
【详解】，，，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，

当，为负，为正数时，

当，为负，为正数时，

共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，
，，，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键
变式1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（       ）．

A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，则．故选A．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
变式2．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，(2)或3(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．
（2），
，，，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．

考点6、绝对值的方程
例1.（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．
(1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．
(2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
(3)【拓展应用】解方程
【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或
【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与的距离为2，进而可得方程的解；
（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；
（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解．
(1)解：方程的解，可以看作在数轴上找一点P与的距离为2
∴或 故答案为：或．
(2)解：由题意知，设A表示数，B表示数6，P表示数x，
∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得，
∵，∴P在线段AB上都可，∴该方程有无数解，x的取值范围是
故答案为：不唯一；．
(3)解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：
①若P点在A，B之间则（不合题意，舍去）
②若P点在A点的左边则∴
③若点P在B点的右边 ∴
综上所述：原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．
例2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（    ）．
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可．
【详解】时，，，舍去；
时，
得，∴或，得，满足，可取；
时，，舍去；
综上所述，故选C．
【点睛】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键．
变式1．（2022·河南安阳市·七年级期末）阅读下面材料：
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_______；
数轴上表示数和的两点之间的距离表示为_______；
数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值为：_______．②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数_______．

【答案】（1）3；|x−3|；x，-2；（2）5；−3或4．
【分析】（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可；
（2）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为x＞3和x＜−2两种情况讨论．
【详解】解：（1）数轴上表示−2和−5的两点之间的距离为：|−2−（−5）|=3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离为：|x−3|；
数轴上表示数x和−2的两点之间的距离表示为：|x＋2|；故答案为：3，|x−3|，x，-2；
（2）①当x在-2和3之间移动时，|x＋2|＋|x−3|=x＋2＋3−x=5；
②当x＞3时，x−3＋x＋2=7，解得：x=4，
当x＜−2时，3−x−x−2＝7．解得x=−3，∴x=−3或x=4．故答案为：5；−3或4．
【点睛】本题考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．
变式2．（2022秋·成都市七年级期中）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．
问题探究(1)若，则　 　．(2)若，则　 　．(3)若，则　 　．
问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　．
【答案】(1)或 (2)(3)或 (4)5或4
【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可；
（2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可；
（3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可：
（4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，∴或，
解得：或．故答案为：或．
（2）解：分三种情况讨论：
①时，化简为：，此方程无解；
②时，化简为：，解得；
③时，化简为：，此方程无解．故答案为：．
（3）解：分三种情况讨论：
①时，，化简得：，解得；
②时，，化简得：，此方程无解；
③时，，化简得：，解得．
故答案为：或．
（4）分三种情况讨论：
①时，，化简，解得；
②时，，化简，此方程无解；
③时，，化简，解得．∴m为3或，
∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和，
∴当时，的值最小，
∴或． 故答案为：5或4．
【点睛】本题考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论．














A级（基础过关）
1.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     )

A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】先根据数轴求出－1