福建省莆田市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题

这是一份福建省莆田市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了5 C，已知复数满足，在中，为上一点，且满足等内容，欢迎下载使用。
莆田市2022-2023学年下学期期末质量监测
高一数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（是虚数单位），则复数等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则（ ）
A.4 B.-4 C.2 D.-2
3.某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核.民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（ ）
A.8 B.8.5 C.9 D.9.5
4.已知复数满足（是虚数单位），则复数（ ）
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.如图，要测量顶部不能到达的电视塔的高度，在点测得塔顶的仰角是，在点测得塔顶的仰角是，在水平面上测得，则电视塔的高度为（ ）

A. B. C. D.
7.在中，为上一点，且满足.若，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.2
8.几何中常用表示的测度，当为曲线､平面图形和空间几何体时，分别表示其长度､面积和体积.是边长为4的正三角形，为内部的动点（含边界），在空间中，到点的距离为1的点的轨迹为，则等于（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.若，则
C.若复数为纯虚数，则
D.若，则
10.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）

A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.每年月接待游客的增长量最多是8月
D.每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小
11.如图，两两互相垂直，三棱锥是正四面体，则下列结论正确的是（ ）

A.二面角的大小为
B.
C.若的中心为，则三点共线
D.三棱锥的外接球过点
12.已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的值可能为（ ）
A.-64 B.-12 C.-8 D.0
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法､对联､灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一､高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表.已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则__________.
课程
年级
书法
对联
灯谜
高一
15

30
高二
45
30
10
14.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是__________.

15.在正三角形中，为上的点，，垂足为，且交于点，若，则的值是__________.
16.如图，在正四棱柱中，四边形是边长为2的正方形，分别是棱的中点，分别是棱上动点.当直线与底面所成角最小时线段的长度是__________，四面体的体积是__________.（本题第一空2分，第二空3分）.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量.
（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
18.（12分）
已知向量，函数.
（1）若，求的值；
（2）已知的三个角的对边分别为的面积为，求的值.
19.（12分）
在四棱锥中，平面，点分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）过点的平面交于点，求的值.
20.（12分）
某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计.
（1）采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）.
身高（单位：）
频数







36

24

根据图表信息，求的值，并把频率分布直方图补充完整.
（2）按男生､女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差.
21.（12分）
已知的三个角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，求的面积.
22.（12分）
已知三棱锥，点是的外心.

（1）若，求证：；
（2）求点到平面距离的最大值.
莆田市2022-2023学年下学期期末质量监测高一数学试题
参考解答及评分标准
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数，单项选择题和单空填空题不给中间分.
一､选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分.
1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D
二､多选题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分.（本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ABD 10.BD 11.BCD 12.CD
三､填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分.
13.20 14. 15. 16.；（第一空2分，第二空3分）.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.本小题主要考查平面向量的数量积､平面向量夹角与模的运算等基础知识；考查推理论证能力､运算求解能力等；考查化归与转化思想､函数与方程思想等；考查数学运算､逻辑推理等核心素养，体现基础性､综合性.满分10分.
解：（1）因为，所以.
因为，所以.
所以.
所以

（2）因为，
所以与同向的单位向量.
所以.
所以在上的投影向量为


18.本小题主要考查平面向量的应用､正弦定理､余弦定理及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力､运算求解能力等；考查化归与转化思想､函数与方程思想等；考查数学运算､逻辑推理等核心素养，体现基础性､综合性.满分12分.
解（1）依题意得


因为，
所以.
所以，即.
（2）因为，由（1）得.
因为，
所以，即.
在中，由余弦定理得


由，
得，
所以.
19.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力等；考查化归与转化思想､数形结合思想等；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等核心素养，体现基础性､综合性.满分12分.
（1）证明：因为是中点，，

所以，所以四边形是平行四边形，
所以.
因为，所以，
因为平面平面，
所以.
因为，
所以平面.
因为平面，
所以.
因为是中点，所以，
所以.
因为，
所以平面.
（2）取中点，连接，
因为是中点，所以.
因为，所以.
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面平面，
所以平面.
因为平面平面平面，
所以.
因为是中点，
所以是中点，所以.
20.本小题主要考查随机抽样､统计表､频率分布直方图､平均数､方差等基础知识；考查运算求解能力､推理论证能力､应用意识､创新意识等；考查统计与概率思想､化归与转化思想等；考查数据分析､数学运算等核心素养，体现综合性､应用性.满分12分.
解：（1）因为身高在区间上的频率为，身高在区间上的频数24，所以
所以，
，
.
所以身高在区间上的频率为，
在区间上的频率为.
由此可补充完整频率分布直方图：

（2）把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
则总样本平均数.


由，得

同理可得.
所以总样本方差





所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16.
21.本小题主要考查正弦定理､余弦定理､平面向量的数量积及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力､运算求解能力等；考查化归与转化思想､函数与方程思想等；考查数学运算､逻辑推理等核心素养，体现基础性､综合性.满分12分.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以

又，所以.
（2）解法一：由平面向量数量积的定义可得，
所以，
所以①，
因为，
所以②，
①-②得，则，代入①得，所以，
所以

解法二：由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以，
由，得，
所以.
因为，又由（1）知，即，
所以.
所以，即.
所以，即.
因为，则，则，即，
则，所以为直角三角形.
所以.
所以.
22.本小题主要考查空间点､直线､平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力等；考查化归与转化思想､数形结合思想等；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等核心素养，体现基础性､综合性.满分12分.
（1）证明：设平面，垂足为点.

因为，所以，所以是的外心.
因为是的外心，所以与重合，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以是等边三角形，
所以.
因为，所以.
因为，所以是等边三角形.
所以，所以，
即四边形为菱形，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2），所以边的高为.
所以.
在中，，
由正弦定理得（为外接圆的半径），
所以.
因为，所以.
因为，
所以，所以，
当且仅当时等号成立.
因为，
设点到平面距离为，
因为，即，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以点到平面距离最大值.