新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答卷上，若复数满足，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
乌鲁木齐地区2022～2023学年第二学期期末试卷
高一数学（问卷）
（请将答案写在答卷上）试卷校正：小劉的理科研究小组
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注意事项：
1．答题前在答卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2．请将答案正确填写在答卷上。
3．考试结束后请将本试卷及答题卡一同回收。
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知复数，是复数的共轭复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ）
A．的虚部为 B． C． D．为纯虚数
2．给出下列5个命题，其中真命题的个数是(　　)
①零向量没有方向         
②零向量只与零向量相等
③零向量与任何向量共线         
④单位向量都相等
⑤共线的单位向量必相等
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在边长为的等边△ABC中，分别在边BC与AC上，且BD=DC，2AE=EC，则AD⋅BE=（  ）
A． B． C． D．
4．设，是两个不重合的平面，，是空间中两条不重合的直线，下列命题中不正确的是（    ）
A．，，则 B．，，则
C．，，则 D．，，则
5．某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品共有
A．1000件 B．1200件 C．1400件 D．1600件
6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（　　）
A．5.3 B．4.3 C．4.7 D．5.7
7．在一个文艺比赛中，名专业人士和名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．

根据以上折线图，下列结论错误的是（    ）
A．A小组打分分值的最高分为分，最低分为分
B．A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差
C．B小组打分分值的中位数为
D．B小组更像是由专业人士组成的
8．一个箱子中装有4个白球和2个黑球，若一次摸出两个球，则摸到两球颜色相同的概率是（   ）
A． B． C． D．
9．从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A．至少2个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球
C．至少2个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球
10．若复数满足，则的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．
11．已知为单位向量，，则的最大值为
A．6 B．5 C．4 D．3
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　　

A． B． C． D．

二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则 .
14．从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为 .
15．圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为 .
16．在正方体中，下面结论中正确的是 .（写出所有正确命题的序号）.

①平面：
②平面：
③异面直线与成60°角；
④与底面所成角的正切值是.

三、解答题（共70分）
17．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

晋级成功
晋级失败
合计
男
16


女


50
合计



（参考公式：，其中）

0．40
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025

0．780
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．



18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)设D为边上一点，且，，求BD⋅CD的值.



19．（1）在如图所示的正方体中，M，N分别为棱和的中点，求异面直线和所成的角的大小．

（2）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小．

20．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，，，，直线与底面所成的角为.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.








21．乌鲁木齐市某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示：
科目
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
300
√
√
√



200



√
√
√
100
√
√

√


200


√

√
√
100

√
√

√

100
√


√

√
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；G=“该生选了生物”；
D=“该生选了政治”；E=“该生选了历史”；F=“该生选了地理”.
（1）求.
（2）求.
（3）事件A与D是否相互独立？请说明理由.




22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a+cBABC=cCBAC.
（1）求角B的大小；
（2）若，求面积的取值范围.

乌鲁木齐地区2022～2023学年第二学期期末试卷参考答案及试题解析
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1．D
【解析】化简可得，则可判断A的正误；根据复数求模公式，即可判断B的正误；根据共轭复数的概念，即可判断C的正误；根据复数的运算，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意：，所以的虚部为1，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故为纯虚数，故D正确.
故选：D.
2．C
【详解】①零向量方向的方向是任意的，故①为假命题；
②零向量只与零向量相等，真命题；
③零向量与任何向量共线，真命题；
④单位向量大小相等，方向不一定相同，故④为假命题；+
⑤共线的单位向量不一定相等，故⑤为假命题；+
故选C.
3．A
【分析】根据题设构建直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求.
【详解】由题设知：是的中轴点，为的三等分点，
以为坐标原点，所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，，

设，由2AE=EC可得：，解得：，
则，，故.
故选：A
4．D
【分析】结合面面平行的判定方法即可判断A，根据线线平行的判定方法即可判断B ,结合线面垂直的判定方法即可判断C，根据线面的位置关系即可判断D.
【详解】垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确；垂直于同一个平面的两条直线平行，故B正确；因为，所以平面内存在两条相交直线与平面平行，又因为，所以，，所以，故C正确；，，则或，故D错误，
故选：D.
5．D
【详解】试题分析：因为，所以甲、丙两车间产品的数量为，从而乙、丁两车间产品的数量为1600.
考点：分层抽样法.
6．B
【分析】本题先求出落在阴影部分的概率为，再利用几何概型公式求出阴影部分面积.
【详解】由古典概型概率公式、概率公式及对立事件概率公式可得，
落在阴影部分的概率为，因为正方形的面积为，
所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，
故选：B.
7．D
【解析】利用折线图分析和比较，可得中位数和分值的集中程度，即可判断A、B、C、D的结论.
【详解】由A小组打分的折线图可知，最高分为分，最低分为分，故A正确；根据折线图可判断出A小组打分比较集中，所以A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差，故B正确；B小组的排序为，所以中位数为，故正确；根据分析可判断A小组的打分更像是专业人士组成，故D错误.
故选：D.
8．B
【分析】利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】一个盒子里装有4个白球，2个黑球，一次摸出两个球，
基本事件总数
取到的球颜色相同包含的基本事件个数，
取到的球颜色相同的概率
故选：B.
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.
9．A
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】选项A中，“至少2个白球”包括“2个白球”和“2个白球和个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”．故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A正确．
选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球2个红球”、“2个白球和1个红球”、“3个白球”三种情况；“至少1个红球”包括“1个红球2个白球”、“2个红球和1个白球”、“3个红球”三种情况．所以这两个事件不互斥，所以B不正确．
选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球1个红球”、“3个白球”两种情况；“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”、“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不正确．
选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不正确．
故选A．
【点睛】解答本题的关键是分清互斥事件和对立事件的关系，由定义可得互斥事件不一定对立，而对立事件一定为互斥事件．解答类似问题时很容易出现错误，解题时首先要弄清所有的试验结果，然后再根据所求进行求解、判断．
10．C
【分析】根据，可知复数对应的点在圆上，然后根据的几何意义，简单计算，可得结果.
【详解】因为复数满足，
所以复数对应的点在圆上，
表达式的几何意义是点到点的距离.
因为圆心为，半径为1，
所以点到点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】本题考查复数几何意义，熟练复数，点，向量之间的转化，同时明白复数的几何意义以及所对应点的轨迹等，属中档题.
11．B
【详解】试题分析：设，，，最大值为．
考点：向量运算．
12．C
【分析】三视图复原的几何体是上面一个半球，下面是圆柱，利用三视图的数据，求出表面积即可．
【详解】解：三视图复原的几何体是上面一个半径为1的半球，下面是半径为1，高为2的圆柱，
所以几何体的表面积为：．
故选．
【点睛】本题是基础题，考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
13．
【分析】设复数z＝bi，把z代入中求出b和m的值，再计算．
【详解】由题意可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，
由z是的复数根，
可得（bi）2﹣（2m-1）bi+＝0，
即（﹣b2+1+）﹣（2m-1）bi＝0，
∴ ，
解得，，
∴z＝i，z+m＝i
∴|z+m|＝．
故答案为．
【点睛】本题考查复数相等的概念和复数模长的计算，属于基础题．
14．
【分析】根据题意利用排列、组合求得基本事件的总数，再利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，可分为两类：
若有0，再从1，2，3，4中任意选取一个，共能组成个两位数；
若无0，则从1，2，3，4中任意选取两个，功能组成个两位数，
由分类计数原理，可得共能组成个两位数，
其中能被3乘除的有：30,12,21,24,42，共有5个，
所以这个两位数能被3整除的概率为.
故答案为：.
15．80π
【分析】作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积．
【详解】如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，
由得，，又，∴，
∴圆柱表面积为．
故答案为：．

16．
【分析】由线面平行的判定定理可知①正确；由线面垂直的判定定理可知②正确，平移直线可求得③中异面直线所称的角，由几何关系可确定与底面ABCD所成角的正切值.
【详解】逐一考查所给的命题：
在中，，平面，平面，
平面，故正确；
在中，平面，，
又，平面，，同理，
平面，故正确；
在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；
在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．
故答案为．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;（III）见解析.
【详解】试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为1,求出 ;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中 比较,得出结论; (3)求出晋级失败的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望.
试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故.
(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
故晋级成功的人数为（人），
故填表如下

晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．
（III）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，
故可视为服从二项分布，
即，，
故 ， ，
， ，
，
故的分布列为

0
1
2
3
4






或（.
18．(1)证明见解析
(2)－1

【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用二倍角公式降幂，由诱导公式、两角和与差的余弦公式变形后可证结论成立；
（2）由，在和中，分别应用余弦定理后可求得，从而可得数量积．
（1）
证明：由已知及正弦定理，
得.    
由，得，
所以，    
则，
即，即.    
又，所以，即.
（2）
由（1），得.
在和中，由余弦定理，得
，    
.    
由，得，    
整理，得.
因为，所以，
故.
19．（1）；（2）
【分析】（1）连接则是异面直线和所成的角或补角，求解即可；
（2）先证明为二面角的平面角，再求解即可
【详解】（1）连接,
因为M，N分别为棱和的中点，
所以，
又易知，
所以是异面直线和所成的角或补角，
因为为等边三角形，
所以；
所以异面直线和所成的角为；

（2）因为，
所以，
所以，
同理可证，
又，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为,
所以，
二面角的平面角的大小.

20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，即得，然后由线面平行的判定定理即可得证；（2）先根据已知建立空间直角坐标系，再根据直线与底面所成的角为，确定直四棱锥的高，进而求出相关点的坐标，得到相关向量的坐标，从而可求出平面与平面的法向量，最后由向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系即可得解.
【详解】（1）连接，，由题意知，，所以四边形是平行四边形，则，.由点，分别是，的中点，得，，所以，.易知点是的中点，所以，，则四边形是平行四边形，，又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是平行四边形，，所以.
又，，所以由余弦定理得，
于是，则.
易知在直四棱柱中，平面，
所以可以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由平面，得为直线与底面所成的角，即，则，
故，，，，得，，.

设平面的法向量为，则
即即，则.
设平面的法向量为，则
即即，则.
设二面角的大小为，
则，.
因此二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21．（1），；（2），；（3）相互独立，理由见解析；
【分析】（1）B＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P（B）；D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200名，由此能求出P（DEF）．
（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，1000名学生中选生物或历史的学生有800名，由此能求出P（C∪E）；B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，1000名学生都选化学或地理，由此能求出P（B∪F）．
（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，由题意得选择物理与否与选择政治无关，选择政治与否与选择物理无关，从而事件A与D相互独立．
【详解】（1）B＝“该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：300+100+100＝500（名），

D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名），

（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：300+200+200+100＝800（名），

B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，
由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：300+200+100+200+100+100＝1000（名），

（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，
事件A与D相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
∴事件A与D相互独立．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，是基础题．
22．（1）（2）
【分析】（1）根据向量数量积定义及正弦定理化简等式，再利用两角和的正弦公式进一步化简等式可得即可求得角B；（2）根据已知条件由正弦定理可求得2R，再次利用正弦定理将面积S化简为关于A的函数，利用两角和的正弦公式及降幂公式进一步将S转化为正弦型函数，求出的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求得面积的范围.
【详解】（1）由题意得，
因为，，
所以根据正弦定理得，
，即，
，所以，
，又，所以.
（2）因为，所以，


的取值范围为.
【点睛】本题考查向量的数量积、正弦定理、三角恒等变换化简求值、正弦函数的图象与性质、三角形面积公式，属于中档题.