





中考数学一轮复习精选专题12 韦达定理及其应用(讲测练)(2份打包,原卷版+教师版)
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专题12 韦达定理及其应用
1、会运用根与系数关系解题。
2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解,培养分析问题和解决问题的能力。
一、根的判别式
1、定义:运用配方法解一元二次方程过程中得到 ,显然只有当时,才能直接开平方得:.
注:一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实
2、一元二次方程的判别式:,
(1)当时,方程有两个不相等的实数根,;
(2)当时,方程有两个相等的实数根,;
(3)当时,方程无实数解。
3、一元二次方程根与系数关系的推导:
对于一元二次方程其中,设其根为,由求根公式,有,
4、常见的形式:
(1)
例1.一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
二、韦达定理
如果的两根是,,则,.(隐含的条件:)特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设,是方程的两个根,则,.
例2.设一元二次方程的两根为,由求根公式可推出,我们把这个命题叫做韦达定理.设是方程的两根,请根据韦达定理求下列各式的值:
(1)________,________;
(2);
(3);
(4).
1.(2022·兰州市外国语学校九年级期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥2 B.m<2 C.m≥0 D.m<0
2.(2022·全国九年级课时练习)若一元二次方程的两根是m,n,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
3.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)若方程x2+4x+a=0无实根,化简等于( )
A.4﹣a B.a﹣4 C.﹣(a+4) D.无法确定
4.(2022·全国九年级课时练习)已知一元二次方程的两根为,则( )
A.0 B.1 C.2 D.
5.(2022·全国九年级课时练习)设是一元二次方程的两根,则( )
A. B.2 C.3 D.
6.(2022·陕西交大附中分校)已知关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
7.(2020·广州市第七中学九年级期中)若关于x的方程的两根为和4,则____________.
8.(2022·广东九年级期末)已知矩形的长和宽是方程的两个实数根,则矩形的面积为___________.
9.(2022·全国九年级课时练习)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1);
(2);
(3);
(4).
10.(2022·山东济宁学院附属中学九年级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+2m=0.
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根.
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1+x2﹣x1x2=4,求m的值.
专题12 韦达定理及其应用
一、单选题
1.(2022·全国)一元二次方程的两根,,则下列式子中正确的是( )
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
2.(2022·江苏九年级期末)下列一元二次方程有两个不相等实数根的是( )
A.x2+3=0 B.x2+2x+3=0
C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x﹣1)=0
3.(2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校)关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数由m的值确定
4.(2022·湖北九年级期中)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.2022
5.(2022·江苏)对于方程,下列叙述正确的是( )
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是
C.当时,方程可化为或
D.当时,
6.(2020·武汉市第一初级中学九年级月考)如果a、b是方程的两个实数根,则的值为( )
A. B. C. D. .
7.(2022·内蒙古九年级二模)设m,n是一元二次方程的两个根,则的值为( )
A. B. C. D.5
8.(2022·重庆市广益中学校九年级月考)方程2x2+3x-1=0的两根之和为( )
A. B. C. D.
9.(2022·河北九年级期末)若x1,x2是一元二次方程的两根,则x1+x2的值是( )
A.-3 B.-4
C.3 D.4
10.(2022·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考)一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个正的实数根 B.有两个负的实数根 C.两根的符号相反 D.方程没有实数根
二、填空题
11.(2022·四川省内江市第六中学九年级三模)若,是方程是方程的两个实数根,则代数式的值等于___________.
12.(2020·北京市第六十六中学九年级期中)若一元二次方程x2+6x﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围为____.
13.(2022·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是________.
14.(2022·江苏南通田家炳中学九年级模拟预测)设,是一元二次方程的两个根,则________.
15.(2022·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末)关于x的方程的一个根是,则它的另一个根是______.
三、解答题
16.(2022·珠海市文园中学九年级三模)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)取,用配方法解这个一元二次方程.
17.(2022·全国九年级课时练习)方程是关于x的一元二次方程,该方程的两个实数根分别为.
(1)求m的取值范围;
(2)若,求m的值.
18.(2022·全国九年级课时练习)已知关于x的一元二次方程.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为,且,求m的值.
19.(2022·陕西交大附中分校)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)设此方程的两个根分别为,若,求的值.
20.(2022·河南九年级期中)已知关于的方程.
(1)若是此方程的一根,求的值及方程的另一根;
(2)试说明无论取什么实数值,此方程总有实数根.
21.(2022·四川九年级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2a+1)x+a2=0有两个实数根x1,x2,且a+3b=2.
(1)求b的最大值;
(2)若x12=x22,求a的值.
22.(2022·全国九年级课时练习)已知关于x的一元二次方程.
(1)当m取何值时,这个方程有两个不相等的实数根?
(2)若方程的两根都是正数,求m的取值范围;
(3)设是这个方程的两个实数根,是否存在m,使得,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
23.(2022·全国九年级课前预习)不解方程,判别关于x的方程的根的情况.
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