中考数学一轮复习精选专题12 韦达定理及其应用（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题12 韦达定理及其应用

1、会运用根与系数关系解题。
2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。

一、根的判别式
1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．
注：一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实
2、一元二次方程的判别式：，
（1）当时，方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根，；
（3）当时，方程无实数解。
3、一元二次方程根与系数关系的推导：
对于一元二次方程其中，设其根为，由求根公式，有，
4、常见的形式：
（1）
例1．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
二、韦达定理
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．
例2．设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．

1．（2022·兰州市外国语学校九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m≥2 B．m<2 C．m≥0 D．m<0
2．（2022·全国九年级课时练习）若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
4．（2022·全国九年级课时练习）已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
5．（2022·全国九年级课时练习）设是一元二次方程的两根，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．（2022·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．（2020·广州市第七中学九年级期中）若关于x的方程的两根为和4，则____________．
8．（2022·广东九年级期末）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的面积为___________．
9．（2022·全国九年级课时练习）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．


专题12 韦达定理及其应用
一、单选题
1．（2022·全国）一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2022·江苏九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＋3＝0
C．（x＋1）2＝0 D．（x＋3）（x﹣1）＝0
3．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
4．（2022·湖北九年级期中）若关于x的一元二次方程x2－x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2022
5．（2022·江苏）对于方程，下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
6．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）如果a、b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D． ．
7．（2022·内蒙古九年级二模）设m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．5
8．（2022·重庆市广益中学校九年级月考）方程2x2+3x-1=0的两根之和为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·河北九年级期末）若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．－3 B．－4
C．3 D．4
10．（2022·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．有两个负的实数根 C．两根的符号相反 D．方程没有实数根
二、填空题
11．（2022·四川省内江市第六中学九年级三模）若，是方程是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________．
12．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）若一元二次方程x2+6x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围为____．
13．（2022·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14．（2022·江苏南通田家炳中学九年级模拟预测）设，是一元二次方程的两个根，则________．
15．（2022·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末）关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．
三、解答题
16．（2022·珠海市文园中学九年级三模）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）取，用配方法解这个一元二次方程．
17．（2022·全国九年级课时练习）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
18．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．
19．（2022·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为，若，求的值．
20．（2022·河南九年级期中）已知关于的方程．
（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；
（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．
21．（2022·四川九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2，且a+3b＝2．
（1）求b的最大值；
（2）若x12＝x22，求a的值．
22．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实数根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022·全国九年级课前预习）不解方程，判别关于x的方程的根的情况．