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2022-2023学年重庆市北碚区天府中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市北碚区天府中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市北碚区天府中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式6xx−5有意义，则x满足的条件是( )
A. x=5 B. x≠5 C. x=0 D. x≠0
2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为( )
A. 1.64×10−5 B. 1.64×10−6 C. 16.4×10−7 D. 0.164×10−5
3. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠D等于( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 下列命题正确的是( )
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分
5. 小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )
A. (ab)2=a2b B. 1a+1b=2a+b C. x2−y2x−y=x+y D. −x−yx−y=−1
6. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则不等式kx+b>3的解集为( )
A. x<−2.5
B. x>−2.5
C. x<2
D. x>2
7. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是( )
A. 240x=300x−6 B. 240x=300x+6 C. 240x−6=300x D. 240x+6=300x
8. 如图，正方形ABCD的一边AB为边向下作等边三角形ABE，则∠CDE的度数是( )
A. 30°
B. 25°
C. 20°
D. 15°
9. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM、BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则BE的长为( )
A. 32 B. 3 C. 2 3 D. 2
10. 已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是( )
A. 反比例函数y2的解析式是y2=−8x
B. 当x<−2或0
D. 正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
11. 若关于x的方程k1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x的一次不等式组x−12−2x≤1x+k≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是( )
A. −5 B. −6 C. −7 D. −8
12. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0)，OB=4 5，点P是对角线OB上的一个动点，D(0,1)，当CP+DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0,0)
B. (1,12)
C. (65,35)
D. (107,57)
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 已知反比例函数y=kx的图象经过点(−3,4)，则k的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−1,2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______).
15. 已知a2+3a−3=0，则代数式a2+9a2的值是______ ．
16. 如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°.若OE2=2+ 3，则正方形ABCD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：38−(π−3)0+(−12)−2+| 2−1|；
(2)解分式方程：x+1x−1−4x2−1=1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2+x+14=0．
19. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=OC，AB//DC
∴ ______
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO
∴ ______
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC
∴ ______
∴ ______
又∵AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
20. (本小题10.0分)
为了纪念中国人民志愿军抗美援朝的胜利，近年来涌现了很多相关题材的电影作品，《长津湖》和《金刚川》正是其中优秀的代表.为了了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分，并通过整理和分析，给出了部分信息．
《长津湖》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数、众数和中位数情况统计表
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.5
9
b
《金刚川》
7.9
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中的a、b、c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校观看过这两部作品的学生对哪部作品评价更高？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校有2000名学生观看过这两部影片，若他们都对这两部作品进行评分，请你估计这两部作品一共可得到多少个满分？
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连结BE、DF．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB=6，AD=8，求四边形BFDE的周长．
22. (本小题10.0分)
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
(1)A型自行车去年每辆售价多少元？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
23. (本小题10.0分)
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|=a(a≥0)−a(a<0).小东结合上面的学习过程，对函数y=|32x−3|+12x−5的图象与性质进行了探究．
(1)化简函数的表达式：当x≥2时，y= ______ ，当x<2时，y= ______ ；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：______ ；
(3)已知函数y=2x(x>0)的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|32x−3|+12x−5=2x的近似解______ .(精确到0.1)
24. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
(1)若DP=2AP=4，CP= 17，CD=5，求△ACD的面积．
(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD= 2CM+2CE．
25. (本小题10.0分)
已知直线l1：y=−x+b与x轴交于点A，直线l2：y=13x−163与x轴交于点B.直线l1、l2交于点C.且点C的横坐标为1．
(1)如图甲，过点A作x轴的垂线，P(x,2)为垂线上的一个点，Q是y轴上的一个动点，连结PQ、CP、CQ.若S△CPQ=5，求此时点Q的坐标；
(2)若点P在过点A作x轴的垂线上，Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；
(3)如图乙，点E的坐标为(−2,0)，将直线l1绕点C旋转，使旋转后得到的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵分式6xx−5有意义，
∴x−5≠0，
∴x≠5，
故选：B．
直接利用分式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000164=1.64×10−6．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=60°，∠B=120°，
∵∠B=∠D
∴∠D=120°，
故选：C．
由平行四边形ABCD，可知∠A+∠B=180°，而∠A：∠B=1：2，所以∠A=60°，∠B=120°，又因为∠B=∠D，所以可求出∠D的度数．
本题考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分且相等进行分析即可．
【解答】
解：A.平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；
B.矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；
C.菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；
D.正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：A、(ab)2=a2b2≠a2b，故本选项错误；
B、1a+1b=a+bab≠2a+b，故本选项错误；
C、x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y，故本选项正确；
D、−x−yx−y=−x+yx−y≠−1，故本选项错误．
故选：C．
根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
6.【答案】D
【解析】解：不等式kx+b>3的解集是x>2．
故选：D．
不等式kx+b>3的解集就是图象在x>2的部分，据此即可求解．
此题为一次函数与不等式的简单应用，搞清楚交点意义和图象的相对位置是关键．
7.【答案】B
【解析】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：
240x=300x+6．
故选：B．
设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工(x+6)个，根据甲加工240个零件所用的时间与乙加工300个零件所用的时间相等，列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找到合适的等量关系．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=60°，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AE=AD，
∴∠EAD=30°，
∵AD=AB=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=180°−30°2=75°，
∴∠CDE=90°−∠ADE=15°．
故选：D．
根据正方形的性质和等边三角形的性质，可以得到∠EAD的度数，再根据等腰三角形的性质，可以得到∠ADE的度数，然后即可求得∠CDE的度数，本题得以解决．
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
由折叠得∠BA′M=∠BAM=90°，点B与A关于直线BM对称，点A′与点A关于直线BM对称，
∴EF垂直平分AB，BM垂直平分AA′，
∴AN=BN，AN=A′N，AM=A′M，
∴BN=A′N，
∴∠NBA′=∠NA′B，
∵∠A′MN+∠NBA′=90°，∠MA′N+∠NA′B=90°，
∴∠A′MN=∠MA′N，
∴MN=A′N，
∴BN=MN，
∵BE=AE，
∴EN//AM，EN=12AM，
∴AM=2EN=2×1=2，
∴A′M=2，
∵∠AMN=∠A′MN，∠AMN=∠A′NM，
∴∠A′MN=∠A′NM，
∴A′N=A′M=2，
∴BN=A′N=2，
∵∠BEN=90°，
∴BE= BN2−EN2= 22−12= 3，
故选：B．
由折叠得∠BA′M=∠BAM=90°，EF垂直平分AB，BM垂直平分AA′，则AN=BN，AN=A′N，AM=A′M，所以BN=A′N，则∠NBA′=∠NA′B，即可推导出∠A′MN=∠MA′N，则MN=A′N，所以BN=MN，由三角形的中位线定理得EN//AM，EN=12AM，则AM=2EN=2，再证明∠A′MN=∠A′NM，则A′N=A′M=2，所以BN=A′N=2，由勾股定理得BE= BN2−EN2= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，
∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8x，故A错误，不符合题意；
∵两个函数图象的另一个交点为(−2,−4)，
∴当x<−2或0
故选：B．
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：分式方程去分母得：−k=3−2x+2，
解得：x=k+52，
由分式方程有非负实数解，得到k+52≥0，且k+52≠1，
解得：k≥−5且k≠−3，
不等式组整理得：x≥−1x≤2−k，
由不等式组有解，得到2−k≥−1，即k≤3，
综上，k的范围为−5≤k≤3，且k≠−3，即整数k=−5，−4，−2，−1，0，1，2，3，
则所有满足题意整数k的值的和为−6，
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k的范围，由不等式有解确定出k的范围，进而确定出k的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2 5，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中，AG= OA2−OG2= 52−(2 5)2= 5，
∴AC=2 5，
∵OA⋅BK=12⋅AC⋅OB，
∴BK=4，AK= AB2−BK2=3，
∴点B坐标(8,4)，
∴直线OB解析式为y=12x，直线AD解析式为y=−15x+1，
由y=12xy=−15x+1解得x=107y=57，
∴点P坐标(107,57).
故选：D．
如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K.首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
本题考查菱形的性质、轴对称−最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
13.【答案】−12
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−3,4)，
∴k=−3×4=−12．
故答案为−12．
把(−3,4)代入函数解析式y=kx，即可求k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
14.【答案】1；−2
【解析】
【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
直接利用关于y轴对称点的性质得出点A′坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】
解：∵点A的坐标是(−1,2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，
∴A′(1,2)，
∵将点A′向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：(1,−2)．
故答案为：1，−2．
15.【答案】15
【解析】解：∵a2+3a−3=0，
∴a2+3a=3，
∴a+3=3a，
∴a−3a=−3，
∴(a−3a)2=9，
∴a2−2⋅a⋅3a+9a2=9，
∴a2−6+9a2=9，
∴a2+9a2=9+6=15，
故答案为：15．
根据已知易得a−3a=−3，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥ED交ED的延长线于N，
∵OM⊥CE，ON⊥ED，∠CED=90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∴∠MON=90°，∠CMO=∠N=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠COD=90°，
∵∠MON=90°，∠COD=90°，
∴∠MOD+∠DON=90°，∠COM+∠MOD=90°，
∴∠COM=∠DON，
在△COM和△DON中，
∠COM=∠DON∠CMO=∠N=90°,OC=OD
∴△COM≌△DON(AAS)，
∴OM=ON，CM=DN，
∴四边形OMEN为正方形，
设正方形OMEN的边长为a，
则OM=ME=EN=ON=a，
在Rt△OEN中，ON=EN=a，OE2=2+ 3，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：a2+a2=2+ 3，
解得：a= 3+12(舍去负值)，
∴EN=a= 3+12，
设DE=x，
在Rt△CDE中，DE=x，∠DCE=30°，
∴CD=2x，
由勾股定理得：CE= CD2−DE2= 3x，
∵EN=DE+DN=x+DN，ME=CE−CM= 3x−DN，
∴x+DN= 3x−DN，
∴DN=( 3−1)x2，
∴EN=x+DN=( 3+1)x2，
∴( 3+1)x2= 3+12，
∴x=1，
∴CD=2x=2，
∴S正方形ABCD=CD2=4．
故答案为：4．
首先过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥ED交ED的延长线于N，先证四边形OMEN为正方形，并求出正方形OMEN的边长 3+12，再设DE=x，在Rt△CDE中可得CD=2x，CE= 3x，然后根据EN=x+DN，ME= 3x−DN得DN=( 3−1)x2，进而得EN=( 3+1)x2= 3+12，据此可求出x=1，据此可得正方形ABCD的面积．
此题主要考查了正方形的性质和判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是过点O作CE，ED的垂线构造正方形．
17.【答案】解：(1)原式=2−1+4+ 2−1
=4+ 2；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
18.【答案】解：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1
=2x+1+(x−1)(x+1)x+1÷x+2(x+1)2
=x2+2xx+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+2)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+1)
=x2+x，
∵x满足x2+x+14=0，
∴x2+x=−14，
当x2+x=−14时，原式=−14．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】∠BAO=∠DCO ∠EAO=∠FCO △AEO≌△CFO(ASA) OE=OF
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，AB//DC，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO，
∴∠EAO=∠FCO，
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO=∠DCO，∠EAO=∠FCO，△AEO≌△CFO(ASA)，OE=OF．
(1)利用尺规作出图形即可；
(2)证明△AEO≌△CFO(ASA)，推出OE=OF，可得结论．
本题考查作图−基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20.【答案】解：(1)《金刚川》调查得分为“10分”所占的百分比为：1−10%−20%−20%−126°360∘=15%，即a=15，
《长津湖》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为8+92=8.5，因此中位数是8.5，即b=8.5，
《金刚川》调查得分出现次数最多的是8分，共出现7次，因此众数是8，即c=8，
答：a=15，b=8.5，c=8；
(2)《长津湖》，理由为：《长津湖》调查得分的平均数、中位数、众数均比《金刚川》高；
(3)2000×(420+15%)=700(人)，
答：这两部作品一共可得到700个满分．
【解析】(1)根据《金刚川》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值，
(2)通过平均数、中位数、众数的比较得出答案；
(3)求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OED=∠OFB，
∵O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中，
∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△DOE≌△BOF(AAS)．
(2)∵AD//BC，点E、点F分别在AD、BC上，
∴DE//BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴BE=DE=BF=DF，
∵∠A=90°，AB=6，AD=8，
∴AB2+AE2=BE2，AE=8−DE=8−BE，
∴62+(8−BE)2=BE2，
解得BE=254，
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×254=25，
∴四边形BFDE的周长为25．
【解析】(1)由矩形的性质得AD//BC，则∠OED=∠OFB，而∠DOE=∠BOF，OD=OB，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△DOE≌△BOF；
(2)由△DOE≌△BOF，得DE=BF，则四边形BFDE是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE是菱形，由勾股定理得62+(8−BE)2=BE2，求得BE=254，则四边形BFDE的周长为25．
此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△DOE≌△BOF是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由题意，得
80000x=80000(1−10%)x−200，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1800−1500)a+(2400−1800)(60−a)，
y=−300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60−a≤2a，
∴a≥20．
∵y=−300a+36000，
∴k=−300<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y有最大值
∴B型车的数量为：60−20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
23.【答案】2x−8 −x−2 不唯一，比如y最小值是−4，x≥2时y随x的增大而增大等； x=4.3
【解析】解：(1)x≥2时，y=32x−3+12x−5=2x−8，
x<2时，y=−32x+3+12x−5=−x−2；
(2)图象如下图：
性质不唯一，比如y最小值是−4，x≥2时y随x的增大而增大等；
(3)画出图象估计交点横坐标近似值：x=4.2．
(1)根据x的范围去绝对值就可得到答案；
(2)描点画出图象，观察图象可以得到性质；
(3)画出图象，观察近似值即可．
本题是绝对值和函数的综合题，考查了函数图象及交点坐标与方程的解的关系．
24.【答案】(1)解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4−x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2−PG2=17−x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2−GD2=52−(4−x)2=9+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4=12；
(2)证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，
∴CM=NE，
又∵NF= 22NE= 22MC，
∴AF= 22MC+EC，
∴AD= 2MC+2EC．
【解析】(1)作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4−x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果；
(2)连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF= 22NE= 22MC，得出AF= 22MC+EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)直线l2：y=13x−163，令x=1，则y=−5，故C(1,−5)，
把C(1,−5)代入直线l1：y=−x+b，得：b=−4，则l1为：y=−x−4，所以A(−4,0)，
所以点P坐标为(−4,2)，
如图，设直线AC交y轴于点M，
设yPC：y=mx+t得：2=−4m+t−5=m+t，解得m=−75t=−185，
∴yPC=−75x−185，即M(0,−185).
S△CPQ=12QM×(xC−xP)=12(yQ+185)×5=5，解得：yQ=−85，
∴Q的坐标为(0,−85)；
(2)确定C关于过A垂线的对称点C′(−9,−5)、A关于y轴的对称点A′(4,0)，
连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，
将点A′、C′点的坐标代入一次函数表达式：y=k′x+b′得：4k′+b′=0−9k′+b′=−5，
解得k′=513b′=−2013，
则直线A′C′的表达式为：y=513x−2013，
∴点P的坐标为(−4,−4013)；
(3)将E(−2,0)，C(1,−5)点坐标代入一次函数表达式，同理可得直线l3表达式为：y=−53x−103，
①当点M在直线l4上方时，设点N(n,−5)，点M(s,−53s−103)，点B(16,0)，
过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，
∵∠RMN+∠RNM=90°，∠RMN+∠SMB=90°，
∴∠SMB=∠RNM，
∠MRN=∠MSB=90°，MN=MB，
∴△MSB≌△NRM(AAS)，
∴RN=MS，RM=SB，
即−53s−103+5=16−ss−n=−53s−103，解得：s=−432n=−54，
故点N的坐标为(−54,−5)，
②当点M在l4下方时，
同理可得：N(−314,−5)，
综上，点N的坐标为(−54,−5)或(−314,−5)．
【解析】(1)确定yPC=−75x−185，即M(0,−185)，S△CPQ=12QM×(xC−xP)=12(yQ+185)×5=5，即可求解；
(2)确定C关于过A垂线的对称点C′、A关于y轴的对称点A′，连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，即可求解，
(3)分点M在直线l4上方，点M在l4下方，两种情况分别求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点的对称性、三角形全等、面积的计算，等腰直角三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
2022-2023学年重庆市北碚区天府中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式6xx−5有意义，则x满足的条件是( )
A. x=5 B. x≠5 C. x=0 D. x≠0
2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为( )
A. 1.64×10−5 B. 1.64×10−6 C. 16.4×10−7 D. 0.164×10−5
3. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠D等于( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 下列命题正确的是( )
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分
5. 小明在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )
A. (ab)2=a2b B. 1a+1b=2a+b C. x2−y2x−y=x+y D. −x−yx−y=−1
6. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则不等式kx+b>3的解集为( )
A. x<−2.5
B. x>−2.5
C. x<2
D. x>2
7. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是( )
A. 240x=300x−6 B. 240x=300x+6 C. 240x−6=300x D. 240x+6=300x
8. 如图，正方形ABCD的一边AB为边向下作等边三角形ABE，则∠CDE的度数是( )
A. 30°
B. 25°
C. 20°
D. 15°
9. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM、BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则BE的长为( )
A. 32 B. 3 C. 2 3 D. 2
10. 已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是( )
A. 反比例函数y2的解析式是y2=−8x
B. 当x<−2或0
D. 正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
11. 若关于x的方程k1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x的一次不等式组x−12−2x≤1x+k≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是( )
A. −5 B. −6 C. −7 D. −8
12. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0)，OB=4 5，点P是对角线OB上的一个动点，D(0,1)，当CP+DP最短时，点P的坐标为( )
A. (0,0)
B. (1,12)
C. (65,35)
D. (107,57)
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 已知反比例函数y=kx的图象经过点(−3,4)，则k的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−1,2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______).
15. 已知a2+3a−3=0，则代数式a2+9a2的值是______ ．
16. 如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°.若OE2=2+ 3，则正方形ABCD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：38−(π−3)0+(−12)−2+| 2−1|；
(2)解分式方程：x+1x−1−4x2−1=1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2+x+14=0．
19. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=OC，AB//DC
∴ ______
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO
∴ ______
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC
∴ ______
∴ ______
又∵AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
20. (本小题10.0分)
为了纪念中国人民志愿军抗美援朝的胜利，近年来涌现了很多相关题材的电影作品，《长津湖》和《金刚川》正是其中优秀的代表.为了了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分，并通过整理和分析，给出了部分信息．
《长津湖》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数、众数和中位数情况统计表
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.5
9
b
《金刚川》
7.9
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中的a、b、c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校观看过这两部作品的学生对哪部作品评价更高？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校有2000名学生观看过这两部影片，若他们都对这两部作品进行评分，请你估计这两部作品一共可得到多少个满分？
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连结BE、DF．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB=6，AD=8，求四边形BFDE的周长．
22. (本小题10.0分)
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
(1)A型自行车去年每辆售价多少元？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
23. (本小题10.0分)
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|=a(a≥0)−a(a<0).小东结合上面的学习过程，对函数y=|32x−3|+12x−5的图象与性质进行了探究．
(1)化简函数的表达式：当x≥2时，y= ______ ，当x<2时，y= ______ ；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：______ ；
(3)已知函数y=2x(x>0)的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|32x−3|+12x−5=2x的近似解______ .(精确到0.1)
24. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
(1)若DP=2AP=4，CP= 17，CD=5，求△ACD的面积．
(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD= 2CM+2CE．
25. (本小题10.0分)
已知直线l1：y=−x+b与x轴交于点A，直线l2：y=13x−163与x轴交于点B.直线l1、l2交于点C.且点C的横坐标为1．
(1)如图甲，过点A作x轴的垂线，P(x,2)为垂线上的一个点，Q是y轴上的一个动点，连结PQ、CP、CQ.若S△CPQ=5，求此时点Q的坐标；
(2)若点P在过点A作x轴的垂线上，Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；
(3)如图乙，点E的坐标为(−2,0)，将直线l1绕点C旋转，使旋转后得到的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵分式6xx−5有意义，
∴x−5≠0，
∴x≠5，
故选：B．
直接利用分式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000164=1.64×10−6．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=60°，∠B=120°，
∵∠B=∠D
∴∠D=120°，
故选：C．
由平行四边形ABCD，可知∠A+∠B=180°，而∠A：∠B=1：2，所以∠A=60°，∠B=120°，又因为∠B=∠D，所以可求出∠D的度数．
本题考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分且相等进行分析即可．
【解答】
解：A.平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；
B.矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；
C.菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；
D.正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：A、(ab)2=a2b2≠a2b，故本选项错误；
B、1a+1b=a+bab≠2a+b，故本选项错误；
C、x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y，故本选项正确；
D、−x−yx−y=−x+yx−y≠−1，故本选项错误．
故选：C．
根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
6.【答案】D
【解析】解：不等式kx+b>3的解集是x>2．
故选：D．
不等式kx+b>3的解集就是图象在x>2的部分，据此即可求解．
此题为一次函数与不等式的简单应用，搞清楚交点意义和图象的相对位置是关键．
7.【答案】B
【解析】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：
240x=300x+6．
故选：B．
设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工(x+6)个，根据甲加工240个零件所用的时间与乙加工300个零件所用的时间相等，列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找到合适的等量关系．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=60°，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AE=AD，
∴∠EAD=30°，
∵AD=AB=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=180°−30°2=75°，
∴∠CDE=90°−∠ADE=15°．
故选：D．
根据正方形的性质和等边三角形的性质，可以得到∠EAD的度数，再根据等腰三角形的性质，可以得到∠ADE的度数，然后即可求得∠CDE的度数，本题得以解决．
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
由折叠得∠BA′M=∠BAM=90°，点B与A关于直线BM对称，点A′与点A关于直线BM对称，
∴EF垂直平分AB，BM垂直平分AA′，
∴AN=BN，AN=A′N，AM=A′M，
∴BN=A′N，
∴∠NBA′=∠NA′B，
∵∠A′MN+∠NBA′=90°，∠MA′N+∠NA′B=90°，
∴∠A′MN=∠MA′N，
∴MN=A′N，
∴BN=MN，
∵BE=AE，
∴EN//AM，EN=12AM，
∴AM=2EN=2×1=2，
∴A′M=2，
∵∠AMN=∠A′MN，∠AMN=∠A′NM，
∴∠A′MN=∠A′NM，
∴A′N=A′M=2，
∴BN=A′N=2，
∵∠BEN=90°，
∴BE= BN2−EN2= 22−12= 3，
故选：B．
由折叠得∠BA′M=∠BAM=90°，EF垂直平分AB，BM垂直平分AA′，则AN=BN，AN=A′N，AM=A′M，所以BN=A′N，则∠NBA′=∠NA′B，即可推导出∠A′MN=∠MA′N，则MN=A′N，所以BN=MN，由三角形的中位线定理得EN//AM，EN=12AM，则AM=2EN=2，再证明∠A′MN=∠A′NM，则A′N=A′M=2，所以BN=A′N=2，由勾股定理得BE= BN2−EN2= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，
∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8x，故A错误，不符合题意；
∵两个函数图象的另一个交点为(−2,−4)，
∴当x<−2或0
故选：B．
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：分式方程去分母得：−k=3−2x+2，
解得：x=k+52，
由分式方程有非负实数解，得到k+52≥0，且k+52≠1，
解得：k≥−5且k≠−3，
不等式组整理得：x≥−1x≤2−k，
由不等式组有解，得到2−k≥−1，即k≤3，
综上，k的范围为−5≤k≤3，且k≠−3，即整数k=−5，−4，−2，−1，0，1，2，3，
则所有满足题意整数k的值的和为−6，
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k的范围，由不等式有解确定出k的范围，进而确定出k的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2 5，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中，AG= OA2−OG2= 52−(2 5)2= 5，
∴AC=2 5，
∵OA⋅BK=12⋅AC⋅OB，
∴BK=4，AK= AB2−BK2=3，
∴点B坐标(8,4)，
∴直线OB解析式为y=12x，直线AD解析式为y=−15x+1，
由y=12xy=−15x+1解得x=107y=57，
∴点P坐标(107,57).
故选：D．
如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K.首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
本题考查菱形的性质、轴对称−最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
13.【答案】−12
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−3,4)，
∴k=−3×4=−12．
故答案为−12．
把(−3,4)代入函数解析式y=kx，即可求k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
14.【答案】1；−2
【解析】
【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
直接利用关于y轴对称点的性质得出点A′坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】
解：∵点A的坐标是(−1,2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，
∴A′(1,2)，
∵将点A′向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：(1,−2)．
故答案为：1，−2．
15.【答案】15
【解析】解：∵a2+3a−3=0，
∴a2+3a=3，
∴a+3=3a，
∴a−3a=−3，
∴(a−3a)2=9，
∴a2−2⋅a⋅3a+9a2=9，
∴a2−6+9a2=9，
∴a2+9a2=9+6=15，
故答案为：15．
根据已知易得a−3a=−3，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥ED交ED的延长线于N，
∵OM⊥CE，ON⊥ED，∠CED=90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∴∠MON=90°，∠CMO=∠N=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠COD=90°，
∵∠MON=90°，∠COD=90°，
∴∠MOD+∠DON=90°，∠COM+∠MOD=90°，
∴∠COM=∠DON，
在△COM和△DON中，
∠COM=∠DON∠CMO=∠N=90°,OC=OD
∴△COM≌△DON(AAS)，
∴OM=ON，CM=DN，
∴四边形OMEN为正方形，
设正方形OMEN的边长为a，
则OM=ME=EN=ON=a，
在Rt△OEN中，ON=EN=a，OE2=2+ 3，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：a2+a2=2+ 3，
解得：a= 3+12(舍去负值)，
∴EN=a= 3+12，
设DE=x，
在Rt△CDE中，DE=x，∠DCE=30°，
∴CD=2x，
由勾股定理得：CE= CD2−DE2= 3x，
∵EN=DE+DN=x+DN，ME=CE−CM= 3x−DN，
∴x+DN= 3x−DN，
∴DN=( 3−1)x2，
∴EN=x+DN=( 3+1)x2，
∴( 3+1)x2= 3+12，
∴x=1，
∴CD=2x=2，
∴S正方形ABCD=CD2=4．
故答案为：4．
首先过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥ED交ED的延长线于N，先证四边形OMEN为正方形，并求出正方形OMEN的边长 3+12，再设DE=x，在Rt△CDE中可得CD=2x，CE= 3x，然后根据EN=x+DN，ME= 3x−DN得DN=( 3−1)x2，进而得EN=( 3+1)x2= 3+12，据此可求出x=1，据此可得正方形ABCD的面积．
此题主要考查了正方形的性质和判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是过点O作CE，ED的垂线构造正方形．
17.【答案】解：(1)原式=2−1+4+ 2−1
=4+ 2；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
18.【答案】解：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1
=2x+1+(x−1)(x+1)x+1÷x+2(x+1)2
=x2+2xx+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+2)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+1)
=x2+x，
∵x满足x2+x+14=0，
∴x2+x=−14，
当x2+x=−14时，原式=−14．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】∠BAO=∠DCO ∠EAO=∠FCO △AEO≌△CFO(ASA) OE=OF
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，AB//DC，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO，
∴∠EAO=∠FCO，
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO=∠DCO，∠EAO=∠FCO，△AEO≌△CFO(ASA)，OE=OF．
(1)利用尺规作出图形即可；
(2)证明△AEO≌△CFO(ASA)，推出OE=OF，可得结论．
本题考查作图−基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20.【答案】解：(1)《金刚川》调查得分为“10分”所占的百分比为：1−10%−20%−20%−126°360∘=15%，即a=15，
《长津湖》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为8+92=8.5，因此中位数是8.5，即b=8.5，
《金刚川》调查得分出现次数最多的是8分，共出现7次，因此众数是8，即c=8，
答：a=15，b=8.5，c=8；
(2)《长津湖》，理由为：《长津湖》调查得分的平均数、中位数、众数均比《金刚川》高；
(3)2000×(420+15%)=700(人)，
答：这两部作品一共可得到700个满分．
【解析】(1)根据《金刚川》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值，
(2)通过平均数、中位数、众数的比较得出答案；
(3)求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OED=∠OFB，
∵O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中，
∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△DOE≌△BOF(AAS)．
(2)∵AD//BC，点E、点F分别在AD、BC上，
∴DE//BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴BE=DE=BF=DF，
∵∠A=90°，AB=6，AD=8，
∴AB2+AE2=BE2，AE=8−DE=8−BE，
∴62+(8−BE)2=BE2，
解得BE=254，
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×254=25，
∴四边形BFDE的周长为25．
【解析】(1)由矩形的性质得AD//BC，则∠OED=∠OFB，而∠DOE=∠BOF，OD=OB，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△DOE≌△BOF；
(2)由△DOE≌△BOF，得DE=BF，则四边形BFDE是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE是菱形，由勾股定理得62+(8−BE)2=BE2，求得BE=254，则四边形BFDE的周长为25．
此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△DOE≌△BOF是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由题意，得
80000x=80000(1−10%)x−200，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1800−1500)a+(2400−1800)(60−a)，
y=−300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60−a≤2a，
∴a≥20．
∵y=−300a+36000，
∴k=−300<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y有最大值
∴B型车的数量为：60−20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x−200)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
23.【答案】2x−8 −x−2 不唯一，比如y最小值是−4，x≥2时y随x的增大而增大等； x=4.3
【解析】解：(1)x≥2时，y=32x−3+12x−5=2x−8，
x<2时，y=−32x+3+12x−5=−x−2；
(2)图象如下图：
性质不唯一，比如y最小值是−4，x≥2时y随x的增大而增大等；
(3)画出图象估计交点横坐标近似值：x=4.2．
(1)根据x的范围去绝对值就可得到答案；
(2)描点画出图象，观察图象可以得到性质；
(3)画出图象，观察近似值即可．
本题是绝对值和函数的综合题，考查了函数图象及交点坐标与方程的解的关系．
24.【答案】(1)解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4−x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2−PG2=17−x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2−GD2=52−(4−x)2=9+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4=12；
(2)证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，
∴CM=NE，
又∵NF= 22NE= 22MC，
∴AF= 22MC+EC，
∴AD= 2MC+2EC．
【解析】(1)作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4−x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果；
(2)连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF= 22NE= 22MC，得出AF= 22MC+EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)直线l2：y=13x−163，令x=1，则y=−5，故C(1,−5)，
把C(1,−5)代入直线l1：y=−x+b，得：b=−4，则l1为：y=−x−4，所以A(−4,0)，
所以点P坐标为(−4,2)，
如图，设直线AC交y轴于点M，
设yPC：y=mx+t得：2=−4m+t−5=m+t，解得m=−75t=−185，
∴yPC=−75x−185，即M(0,−185).
S△CPQ=12QM×(xC−xP)=12(yQ+185)×5=5，解得：yQ=−85，
∴Q的坐标为(0,−85)；
(2)确定C关于过A垂线的对称点C′(−9,−5)、A关于y轴的对称点A′(4,0)，
连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，
将点A′、C′点的坐标代入一次函数表达式：y=k′x+b′得：4k′+b′=0−9k′+b′=−5，
解得k′=513b′=−2013，
则直线A′C′的表达式为：y=513x−2013，
∴点P的坐标为(−4,−4013)；
(3)将E(−2,0)，C(1,−5)点坐标代入一次函数表达式，同理可得直线l3表达式为：y=−53x−103，
①当点M在直线l4上方时，设点N(n,−5)，点M(s,−53s−103)，点B(16,0)，
过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，
∵∠RMN+∠RNM=90°，∠RMN+∠SMB=90°，
∴∠SMB=∠RNM，
∠MRN=∠MSB=90°，MN=MB，
∴△MSB≌△NRM(AAS)，
∴RN=MS，RM=SB，
即−53s−103+5=16−ss−n=−53s−103，解得：s=−432n=−54，
故点N的坐标为(−54,−5)，
②当点M在l4下方时，
同理可得：N(−314,−5)，
综上，点N的坐标为(−54,−5)或(−314,−5)．
【解析】(1)确定yPC=−75x−185，即M(0,−185)，S△CPQ=12QM×(xC−xP)=12(yQ+185)×5=5，即可求解；
(2)确定C关于过A垂线的对称点C′、A关于y轴的对称点A′，连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，即可求解，
(3)分点M在直线l4上方，点M在l4下方，两种情况分别求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点的对称性、三角形全等、面积的计算，等腰直角三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
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