2022-2023学年四川省泸州市龙马潭区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市龙马潭区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中是二次根式的是( )
A. −7B. 32mC. x2+1D. a2−1
2. 式子 x+3x−3有意义的条件是( )
A. x≥−3B. x≠3C. x≥−3且x≠3D. x>3
3. 下列运算中，正确的是( )
A. 6a−5a=1B. a2⋅a3=a6
C. (−12)−1=2D. 18− 8= 2
4. 矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为2，则矩形的较长边的长为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
5. 在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4B. 1：2：1：2C. 1：1：2：2D. 1：2：2：1
6. 下列条件中能判断四边形是菱形的是( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线互相垂直且平分
C. 对角线相等D. 对角线相等且互相平分
7. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm
8. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A. 9B. 10C. 4 2D. 2 17
9. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC等于( )
A. 14B. 4C. 14或4D. 9或5
10. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11. 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=136°，则∠PFE的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 22°
D. 44°
12. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为( )
A. 43 2
B. 4−2 2
C. 2
D. 2−2
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 计算： 8× 6= ______ ．
14. 若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为______．
15. 若|a−b+1|与 a+2b+4互为相反数，则a−2b=______．
16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 12+ 279− 13．
(2)( 2+ 3)2−( 2+ 3)( 2− 3)．
18. (本小题6.0分)
计算：(−12)−2−(−1)2012×(π− 2)0− (−4)2+ 25．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−xx+1)÷x2−2x+1x2−1，其中x= 3+1．
20. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点且BE=DF，求证：四边形AECF为平行四边形．
21. (本小题7.0分)
如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
22. (本小题8.0分)
如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货船相遇在点P处.则A港与B港相距多少海里？
23. (本小题8.0分)
在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
24. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD//CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
25. (本小题12.0分)
如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，延长BC到点E，使CE=6，连接DE．
(1)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
(2)若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.被开方数小于0，无意义，故A不是二次根式；
B.是三次根式，故B不是二次根式；
C.根指数是2，且被开方数是非负数，故C是二次根式；
D.被开方数有可能小于0，故D不是二次根式．
故选：C．
根据二次根式的定义(根指数是2，被开方数是非负数)判断即可．
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义(形如 a(a≥0)的式子叫二次根式)是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵式子 x+3x−3有意义，
∴x+3≥0且x−3≠0，
解得x≥−3且x≠3．
故选：C．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、6a−5a=a，
故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，
故B不符合题意；
C、(−12)−1=−2，
故C不符合题意；
D、 18− 8= 2，
故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，负整数指数幂，对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的计算，合并同类项，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵矩形的两条对角线相等且互相平分，如图所示：

∴AO=BO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB，
∵AC=2，
∴AO=1，
∴AB=1，
∴BC= AC2−AB2= 3，
∴矩形的较长边长为 3．
故选：B．
根据矩形的性质和两条对角线的夹角为60°，得出△AOB是等边三角形，再根据对角线长为2，然后利用勾股定理即可求出矩形较长的边长．
此题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键，是一道基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由于平行四边形对角相等，
所以对角的比值数应该相等，
其中A，C，D都不满足，只有B满足．
故选：B．
根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个．
主要考查了平行四边形的性质．其性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】B
【解析】解：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形，且对角线互相垂直的平行四边形为菱形，
所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：B．
可根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，然后进行选择．
本题主要考查了对菱形判定方法的理解，解题关键是掌握菱形的判定方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=3cm，
∵BC=AD=5cm，
∴EC=BC−BE=5−3=2cm，
故选：B．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8.【答案】B
【解析】解：如图(1)，AB= 42+(6+4)2= 116；
如图(2)，AB= 62+(4+4)2= 100=10．
116>10，故选B．
将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．
此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．
9.【答案】C
【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：
BD2=AB2−AD2=152−122=81，
∴BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2−AD2=132−122=25，
∴CD=5，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
(2)钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：
BD2=AB2−AD2=152−122=81，
∴BD=9，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：
CD2=AC2−AD2=132−122=25，
∴CD=5，
∴BC的长为BD−CD=9−5=4．
故BC长为14或4．
故选：C．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD−CD．
本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10.【答案】C
【解析】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD=C′D=AB=4，∠C=∠C′=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠C=∠C′=90°，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
∠AEB=∠C′ED∠A=∠C′=90°AB=C′D,
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE(AAS)，
∴BE=DE，
设DE=BE=x，则AE=8−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴DE的长为5．
故选：C．
先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8−x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到EP=12AD，FP=12BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：∴EP=12AD，
同理，FP=12BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=136°，
∴∠PFE=∠PEF=22°，
故选C．

12.【答案】B
【解析】
【分析】
通过正方形的边长求出OD长度，过E点作EH⊥AD，根据角平分线的性质可得EH=EO，证△DHE≌△DOE(AAS)，可得HD=OD，从而得到AH长度，证△AHE是等腰直角三角形，可得OE=EH=HA，则可求OE长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AO⊥DO，∠DAE=45∘，OD=2 2．
过E点作EH⊥AD，又DE平分∠ODA，
∴EH=OE，∠HDE=∠ODE
在△DHE和△DOE中
∠DHE=∠DOE=90°∠HDE=∠ODEEH=EO
∴△DHE≌△DOE(AAS)
∴HD=OD=2 2．
∴AH=AD−HD=4−2 2．
∵∠DAE=45∘，∠AHE=90°
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴HE=AH．
∴OE=HE=AH=4−2 2．
故选：B．
13.【答案】4 3
【解析】解： 8× 6
= 6×8
= 48
=4 3．
故答案为：4 3．
根据二次根式的乘法直接计算即可．
本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式乘法是解决本题的关键．
14.【答案】 41或3
【解析】解：根据勾股定理，当4和5都是直角边时，则第三边是 42+52= 41；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为： 41或3．
考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．
考查了勾股定理，此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
15.【答案】0
【解析】解：∵|a−b+1|与 a+2b+4互为相反数，
∴|a−b+1|+ a+2b+4=0，
∴a−b+1=0a+2b+4=0，
解得：a=−2b=−1，
∴a−2b=−2−2×(−1)=0．
故答案为：0．
由题意可得|a−b+1|+ a+2b+4=0，利用非负数的性质可得关于a，b的方程组，解方程组，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查解二元一次方程组，非负数性质，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16.【答案】 3
【解析】解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
∴AE′=AE=BE=1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′=60°，
∴∠E′EB=120°，
∵BE=EE′，
∴∠EE′B=30°，
∴∠AE′B=90°，
BE′= AB2−AE′2= 3，
∵PE+PB=BE′，
∴PE+PB的最小值是： 3．
故答案为： 3．
根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．
此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1) 12+ 279− 13
=2 3+3 39− 33
=2 3+ 33− 33
=2 3；
(2)( 2+ 3)2−( 2+ 3)( 2− 3)
=2+2 6+3−(2−3)
=5+2 6+1
=6+2 6．
【解析】(1)先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式计算，再加减运算即可求解．
本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟记完全平方公式和平方差公式，正确求解是解答的关键．
18.【答案】解：(−12)−2−(−1)2012×(π− 2)0− (−4)2+ 25
=4−1×1−4+5
=4−1−4+5
=4．
【解析】先计算负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂以及算术平方根，然后进行乘除运算，最后加减运算即可求解．
本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂以及算术平方根，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
19.【答案】解：(1−xx+1)÷x2−2x+1x2−1
=x+1−xx+1⋅(x+1)(x−1)(x−1)2
=1x+1⋅(x+1)(x−1)(x−1)2
=1x−1，
当x= 3+1时，原式=1 3+1−1= 33．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】证明：连接OA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．

【解析】根据平行四边形的判定与性质证明结论即可．
本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解答的关键．
21.【答案】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=12⋅AD⋅AB+12DB⋅BC，
=12×4×3+12×12×5=36．
所以需费用36×200=7200(元)．
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
22.【答案】解：作PC⊥AB于点C，
∵∠PAC=45°，AP=10海里，
∴PC=AC=5 2海里，
∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，
∴∠PBC=30°，
∴BC= 3PC=5 6海里，
∴AB=AC+BC=(5 2+5 6)海里，
答：A港与B港相距(5 2+5 6)海里，
【解析】先作PC⊥AB于点C，根据甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，求出∠PAC和AP，从而得出PC的值，得出BC的值，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∵BE//DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC= FC2+FB2= 32+42=5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
(2)根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 102−82=6，
∴DE=2OD=12，
∴菱形AECD的面积=12AC⋅DE=12×16×12=96．
【解析】(1)证四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，再证∠AED=∠ADE，则AD=AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，再求出AC=16，则OA=OC=8，然后由勾股定理得OD=6，则DE=2OD=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=12，
若△ABP与△DCE全等，则BP=CE或AP=CE，
当△ABP≌△DCE，即BP=CE=6时，
则t=6÷2=3；
当△ABP≌△CDE，即AP=CE=6时，
则t=BC+CD+DP2=12+8+62=13．
∴当t=3或13时，△ABP与△DCE全等．
；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=12，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，CE=6，
∴DE= DC2+CE2=10，
若△PDE为等腰三角形，则PD=DE或PE=DE或PD=PE，
当PD=DE时，

∵PD=DE，DC⊥BE，
∴PC=CE=6，
∴t=BC−PC2=12−62=3；
当PE=DE=10时，

∵BP=BC+CE−PE=12+6−10=8，
∴t=82=4，
当PD=PE时，

∴PE=PC+CE=6+PC，
∴PD=6+PC，
在Rt△PDC中，PD2=CD2+PC2，
∴(6+PC)2=64+PC2，
∴PC=73，
∵BP=BC−PC，
∴BP=12−73=293，
∴t=293÷2=296．
综上所述，当t=3或4或296时，△PDE为等腰三角形．
【解析】(1)分△ABP≌△DCE和△ABP≌△CDE两种情况讨论，根据时间路程的关系可求t的值；
(2)根据勾股定理可求DE的长；分PD=DE或PE=DE或PD=PE三种情况讨论，可求t的值．
本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形和等腰三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．