2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知z=2+i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列化简不正确的是(    )
A. cos82°sin52°+sin82°cos128°=−12
B. sin15°sin30°sin75°=18
C. cos215°−sin215°= 32
D. tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘= 3
3. 已知tanα=12，tanβ=−17，则tan(2α+β)的值为(    )
A. −34 B. −3117 C. 1 D. 3117
4. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|OA|=|AB|，则向量CA在向量BC上的投影向量为(    )
A. 14BC B. 34BC C. −14BC D. −34BC
5. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是(    )

A. AC−AE=BF B. AC+AE=12AD
C. AD⋅AB=AD⋅DE D. AD=2(AB+AF)
6. 若平面向量a，b的夹角为60°，且|a|=2|b|，则(    )
A. a⊥(b+a) B. b⊥(b−a) C. b⊥(b+a) D. a⊥(b−a)
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(    )
A. 40 2海里 B. 40 3海里 C. 80 3海里 D. 80 2海里
8. 已知cosα=17，cos(α+β)=−1114，且α，β∈(0,π2)，则β=(    )
A. −π6 B. π6 C. −π3 D. π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于复数z=21−i的四个命题，其中为真命题的是(    )
A. |z|= 2
B. z2=2i
C. z的共轭复数为−1+i
D. z是关于x的方程x2−2x+2=0的一个根
10. 下列说法不正确的是(    )
A. 若|a|=|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a，b满足|a|>|b|，且同向，则a>b
C. 若|a|≠|b|，则a与b可能是共线向量
D. 若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线
11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=ac，且cos(A−C)=cosB+12，延长BA至D.则下面结论正确的是(    )
A. B=π3
B. A=π6
C. 若CD=6，则△ACD周长的最大值为4 3+6
D. 若BD=6，则△ACD面积的最大值为9 34
12. 在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是(    )

A. AE⋅AF=3 32 B. AF在AE上的投影向量是34AE
C. AC=34AE+12AF D. |AC|= 7
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数iz2+i=−1+2i，则z−的虚部为______ ．
14. 若cos(π6−α)=23，则cos(5π3+2α)= ______ ．
15. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|= 3，|2a−b|=5，则|a+3b|= ______ ．
16. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a= 3，且sinC=2sinB，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；则△ABC的面积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z1=i−a，z2=1−i，其中a是实数．
(1)若z12=−2i，求实数a的值；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+…+(z1z2)2022．
18. (本小题12.0分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)
(1)若|c|=4 5，且a//c，求c的坐标；
(2)若|b|= 3，且a+2b与2a−b垂直，求a与b的夹角θ的余弦值cosθ．
19. (本小题12.0分)
已知tan(α−π4)=13．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin(π−2α)cos2α+sin2α+1的值．
20. (本小题12.0分)
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．

21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1．
(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=12， 2a= 3b，c=1+ 3，求△ABC的面积．
22. (本小题12.0分)
如图，某小区有一块空地△ABC，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF，E，F在边BC上(E,F不与B，C重合，且E在B，F之间)，且∠EAF=π4．
(1)若BE=10 2，求EF的值；
(2)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小.设∠EAB=θ，试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵z=2+i，
∴z−=2−i，
∴在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．
故选：D．
先求得复数的共轭复数，写出在复平面内对应的点的坐标，从而得出结论．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：A：cos82°sin52°−sin82°cos52°=sin(52°−82°)=sin(−30°)=−12，正确；
B：sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin230°=18，正确；
C：cos215°−sin215°=cos30°= 32，正确．
D：tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=tan(48°+72°)=tan(120°)=− 3，错误．
故选：D．
A逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C倍角余弦公式化简；D和角正切公式化简求值．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．

3.【答案】C 
【解析】解：因为tanα=12，tanβ=−17，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=12−171−12⋅(−17)=5141514=13，
所以tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]=tanα+tan(α+β)1−tanα⋅tan(α+β)=12+131−12×13=1．
故选：C．
由tanα=12，tanβ=−17，可得tan(α+β)=13，再由tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]及两角和的正切公式求解即可．
本题考查了两角和的正切公式及整体思想，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：∵2AO=AB+AC，
∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，
如图：

又|AB|=|AO|，∴△ABO为等边三角形，
∴∠ACB=30°，∴|CA|=|BC|cos30°= 32|BC|，
向量CA在向量BC上的投影为：−|CA|cos30°=− 32|BC|× 32=−34|BC|，
故向量CA在向量BC上的投影向量为−34BC．
故选：D．
根据条件作图可得△ABO为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可．
本题主要考查投影向量的定义，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】解：对A，AC−AE=AC+EA=EC，显然由图可得EC与BF为相反向量，故 A错误；
对B，由图易得|AE|=|AC|，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，
 AC+AE=2AH与AD共线且同方向，易知△EDH，△AEH均为含π6的直角三角形，
故|EH|= 3|DH|，|AH|= 3|EH|=3|DH|，则|AD|=4|DH|，
∴2|AH|=6|DH|，∴2|AH||AD|=32，∴AC+AE=32AD，故B错误；

 对C，∠C=∠ABC=2π3，|AB|=|BC|=|DC|，∵∠BDC=∠DBC=π6，则∠ABD=π2，
又∵AD//BC，∠DAB=π3，|AD|=2|AB|，∴AD⋅AB=|AD||AB|cosπ3=2|AB|2×12=|AB|2，
∵∠ADE=∠DAB=π3，|DE|=|AB|，∴AD与DE所成角为2π3，
∴AD⋅DE=|AD||DE|cos2π3=−|AB|2，故C错误；
对D，由图知，AB+AF=AO，AD=2AO，∴AD=2(AB+AF)，故D正确．

故选：D．
根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A利用向量减法运算结合图形即可判断，对B借助图形和共线向量的定义即可判断，对C利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D结合图形即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

6.【答案】B 
【解析】解：由题意可得a⋅b=2|b|⋅|b|cos60°=|b|2，
∴b⋅(b−a)=b2−a⋅b=0，
∴b⊥(b−a)，
故选：B．
由题意可得a⋅b=|b|2，再根据b⋅(b−a)=0，可得 b⊥(b−a)，从而得到答案．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，属于基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：由题意作出图形：∠SAB=40°，∠SAC=70°，则∠BAC=30°，
由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，
所以BCsin30∘=ABsin45∘，则BC=40 2海里．
故选：A．
由题意作出示意图，应用正弦定理求出B，C两点间的距离即可．
本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：由0<α,β<π2，则0<α+β<π，又cos(α+β)=−1114<0，
故π2<α+β<π，
所以sin(α+β)=5 314，而cosα=17，则sinα=4 37，cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−1198+6098=12，
又0<β<π2，则β=π3．
故选：D．
根据已知得sin(α+β)=5 314、sinα=4 37，再由cosβ=cos[(α+β)−α]及角的范围即可求角的大小．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于中档题．

9.【答案】ABD 
【解析】解：因为z=21−i=2(1+i)1−i2=1+i，所以|z|= 2，故A正确；
因为z2=(1+i)2=2i，故B正确；
因为z的共轭复数为1−i，故C错误；
因为方程x2−2x+2=(x−1)2+1=0，
所以方程x2−2x+2=0的根为1±i，故D正确．
故选：ABD．
利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解．
本题主要考查复数的相关概念以及复数的运算，属于基础题．

10.【答案】ABD 
【解析】解：对于A项，|a|=|b|只能说明a、b的长度相等，不能判断它们的方向，因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，|a|≠|b|只能说明a、b的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，AB与CD平行，可能AB//CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：ABD．
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D．
本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：∵cos(A−C)=cosB+12=−cos(A+C)+12，
∴cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC−sinAsinC=2cosAcosC=12，解得：cosAcosC=14，
由b2=ac得：sin2B=sinAsinC，∴14−sin2B=cosAcosC−sinAsinC=cos(A+C)=−cosB，
∴sin2B−cosB−14=−cos2B−cosB+34=0，解得：cosB=−32(舍)或cosB=12，
∵B∈(0,π)，∴B=π3，A正确；
∵cos(A−C)=cosB+12=1，A−C∈(−π,π)，∴A−C=0，即A=C，
∴△ABC为等边三角形，∴A=π3，B错误；

∵A=π3，∴∠CAD=2π3，
在△ACD中，由余弦定理得：CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos∠CAD=(AC+AD)2−AC⋅AD=36，
∴(AC+AD)2−36=AC⋅AD≤(AC+AD2)2(当且仅当AC=AD=2 3时取等号)，
解得：AC+AD≤4 3，∴△ACD周长的最大值为4 3+6，C正确；
设AD=m(0 则当m=3时，S△ACD取得最大值 34×9=9 34，D正确．
故选：ACD．
利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得cosAcosC=14，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得cosB，进而知A正确；将cosB的值代入已知等式可求得A=C，知△ABC为等比三角形，得B错误；在△ACD中，利用余弦定理和基本不等式可求得AC+AD的最大值，进而知C正确；设AD=m(0 本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】BC 
【解析】解：对于A选项，由平面向量数量积的定义可得AE⋅AF=|AE|⋅|AF|cos60°=2×3×12=3，A错；
对于C选项，因为BE=2EC，即AE−AB=2AC−2AE，可得3AE=AB+2AC，①
又因为CF=FD，即AF−AC=AD−AF，
可得2AF=AC+AD=AC+(AC−AB)=2AC−AB，②
又①②可得4AC=3AE+2AF，故AC=34AE+12AF，C对；
对于B选项，AF在AE上的投影向量|AF|cos60°⋅AE|AE|=3×12×12AE=34AE，B对；
对于D选项，由4AC=3AE+2AF可得16|AC|2=(3AE+2AF)2=9AE2+4AF2+12AE⋅AF=9×22+4×32+12×3=108，故|AC|=3 32，D错．
故选：BC．
利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项．
本题考查平面向量数量积相关知识，属于中档题．

13.【答案】−4 
【解析】解：由题意得z=(−1+2i)(2+i)i=(−4+3i)ii⋅i=3+4i，
则z−=3−4i，所以z−的虚部为−4．
故答案为：−4．
先化简复数，再求得其共轭复数，然后利用复数的概念求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

14.【答案】−19 
【解析】解：由cos(5π3+2α)=cos[2π−2(π6−α)]=cos(π3−2α)=2cos2(π6−α)−1=89−1=−19，
故答案为：−19．
利用诱导公式将cos(5π3+2α)转化cos[2π−2(π6−α)]=cos2(π6−α)，再由二倍角的余弦公式求解即可．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．

15.【答案】 22 
【解析】解：由|2a−b|=5可知(2a−b)2=25，即4|a|2−4a⋅b+|b|2=25，
又|a|=2，|b|= 3，解得a⋅b=−32，
故|a+3b|= (a+3b)2= |a|2+6a⋅b+9|b|2= 22．
故答案为： 22．
|2a−b|=5两边平方，求出a⋅b，从而利用|a+3b|= (a+3b)2求出答案．
本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16.【答案】 32 
【解析】解：因为sinC=2sinB，
所以由正弦定理可得c=2b，
又(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，
由正弦定理可得b2+c2−2bc=a2−bc，整理可得b2+c2−a2=bc，
所以cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3，
又a= 3，
所以由a2=b2+c2−2bccosA，可得3=b2+4b2−2b×2b×12，
解得b=1，c=2，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×1×2× 32= 32．
故答案为： 32．
由正弦定理化简已知等式可得c=2b，可得b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合A∈(0,π)，可求A=π3，进而利用余弦定理可求b的值，可求c的值，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17.【答案】解：(1)z12=a2−1−2ai=−2i，
∴a2−1=0−2a=−2，解得a=1；
(2)z1z2=i−a1−i=(i−a)(1+i)2=12[−1−a+(1−a)i]，且z1z2是纯虚数，
∴−1−a=0且1−a≠0，a=−1，
∴z1z2=i，(z1z2)2=−1,(z1z2)3=−i,(z1z2)4=1，(z1z2)5=i，
∴z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+(z1z2)4=0，2022=2+4×505，
∴z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+…+(z1z2)2022=i−1． 
【解析】(1)可求出z12=a2−1−2ai，从而得出a2−1=0−2a=−2，然后解出a的值即可；
(2)根据z1z2为纯虚数可得出a=−1，从而得出z1z2=i，然后可得出函数y=ix，x∈N*的周期为4，且2022=2+4×505，z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+(z1z2)4=0，从而得出z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+…+(z1z2)2022=i−1．
本题考查了复数的乘法和除法运算，周期函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)设c=(x,y)，
则 x2+y2=4 5y=2x，解得：x=4y=8或x=−4y=−8，
所以c=(4,8)或c=(−4,−8)；
(2)|a|= 22+12= 5，
∵(a+2b)⋅(2a−b)=0，
2a2+3a⋅b−2b2=2|a|2+3|a||b|cosθ−2|b|2=0，
整理为2×5+3× 5× 3×cosθ−2×3=0，
解得：cosθ=−445 15． 
【解析】(1)首先设c=(x,y)，根据条件，建立方程组，求c的坐标；(2)利用(a+2b)⋅(2a−b)=0，以及向量数量积的公式求cosθ的值．
本题考查平面向量坐标法的应用，属于中档题．

19.【答案】解：(Ⅰ)∵tan(α−π4)=13．
∴tan(α−π4)=tanα−11+tanα=13，
解得tanα=2．
(Ⅱ)sin(π−2α)cos2α+sin2α+1
=sin2α2cos2α+sin2α
=2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα
=2tanα2+2tanα
=2×22+2×2=23． 
【解析】(Ⅰ)由tan(α−π4)=tanα−11+tanα=13，能求出tanα．
(Ⅱ)由sin(π−2α)cos2α+sin2α+1=sin2α2cos2α+sin2α=2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=2tanα2+2tanα，能求出结果．
本题考查三角函数值的求法，考查正切加法定理、考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20.【答案】解：因为∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=20m，
所以∠CBD=60°，
△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BCsin45∘，
即20sin60∘=BCsin45∘，
所以BC=20 63，
Rt△ABC中，tan30°=ABBC，
所以AB= 33×20 63=20 23． 
【解析】由已知结合正弦定理先求出BC，然后结合锐角三角函数定义可求AB．
本题主要考查了正弦定理及三角函数定义的应用，属于基础题．

21.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1= 32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，
∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6, 7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
∴函数f(x)的值域为[−12,1]．
(2)由(1)知，f(A)=sin(2A+π6)=12，
∵0 ∵ 2a= 3b，∴ 2sinA= 3sinB= 2× 32，∴sinB= 22，
又0 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 32× 22+12× 22= 6+ 24，
又∵csinC=4 2=bsinB，∴b=2，∴S△ABC=12bcsinA=3+ 32． 
【解析】(1)先将函数f(x)利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得f(x)=sin(2x+π6)，再根据x的取值，求得值域；
(2)根据第一问求得角A=π3，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积．
本题考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换和解三角形，考查了转化思想和整体思想，属中档题．

22.【答案】解：(1)由题意可得BC= AB2+AC2=50 2，
设∠EAB=θ∈(0,π4)，则∠FAC=π4−θ，∠AFC=π2+θ，
在△EAB中，由余弦定理AE2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cos∠ABE，
则AE2=502+(10 2)2−2×50×10 2× 22=1700，即AE=10 17，
由正弦定理可得BEsin∠EAB=AEsin∠ABE，
可得sin∠EAB=BE⋅sin∠ABEAE=10 2× 2210 17= 1717，
即sinθ= 1717，θ∈(0,π4)，可得cosθ= 1−sin2θ=4 1717，
在△ACF中，sin∠FAC=sin(π4−θ)=sinπ4cosθ−cosπ4sinθ= 22×4 1717− 22× 1717=3 3434，
sin∠AFC=sin(π2+θ)=cosθ=4 1717，由正弦定理CFsin∠FAC=ACsin∠AFC，
可得CF=AC⋅sin∠FAC sin∠AFC=50×3 34344 1717=75 24，
故EF=BC−BE−CF=50 2−10 2−75 24=85 24.故EF的值85 24；
(2)设∠EAB=θ∈(0,π4)，则∠AEB=3π4−θ，∠AFC=π2+θ，
由正弦定理ABsin∠AEB=AEsin∠ABE，
可得AE=AB⋅sin∠ABEsin∠AEB=50× 22sin(3π4−θ)=25 2sin(3π4−θ)，
在△ACF中，由正弦定理AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，
可得AF=AC⋅sin∠ACFsin∠AFC=50× 22sin(π2+θ)=25 2cosθ，
故△AEF的面积S△AEF=12AE⋅AFsin∠EAF=12×25 2sin(3π4−θ)×25 2cosθ× 22=625 22( 22cosθ+ 22sinθ)cosθ=625sinθcosθ+cos2θ=1250sin2θ+cos2θ+1=1250 2sin(2θ+π4)+1，
∵θ∈(0,π4)，∴2θ+π4∈(π4,3π4)，∴ 22 ∴S△AEF=1250 2sin(2θ+π4)+1≥1250 2+1=1250( 2−1)，
当且仅当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，等号成立，
故△AEF面积的最小值为1250( 2−1)． 
【解析】本题考查正余弦定理，考查三角函数性质，属于难题．
(1)在△AEB中，利用余弦定理、正弦定理求得sinθ，在△ACF中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求CF，即可得结果；
(2)利用正弦定理用θ表示AE，AF，再结合条件得到S△AEF，最后根据三角函数的性质求最值即可．