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精品解析：四川省成都石室中学高三下学期入学考试理科数学试题
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成都石室中学下期高入学考试
理科数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面上的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象先向左平移，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5 给出下列命题：
（1）设a，b，c为实数，若，则；
（2）设，则的取值范围是；
（3）当时，的最小值是4．
其中真命题的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（ ）
A. 6 B. 14 C. 26 D. 44
7. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
11. 已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在中，，且对于，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线的焦点到准线的距离是__________.
14. 二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．
15. 已知圆：与圆：，点A，B在圆上，且，线段AB的中点为D，O为坐标原点，当最大时，直线OD被圆截得的弦长为______．
16. 将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列表示第n次操作后余下的区间段长度．
（1）______；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，数列的前n项积为，满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18. 第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽人温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；
喜欢足球运动
不喜欢足球运动
合计
男生
女生
合计
（2）以样本的频率作为总体的概率，若从该校所有男生中随机抽取3人，抽到不喜欢足球运动的人数为，求的分布列和期望．
附表：
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
其有，，．
19. 多面体如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
（1）求证：平面平面CDE；
（2）求二面角的正弦值．
20. 已知椭圆C：离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线为椭圆C在点P处切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）点O为坐标原点，当和面积之和取最大值时，求直线的方程．
21. 已知函数，．
（1）求证：存在唯一零点；
（2）设，若存在，使得，试比较和的大小．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在极坐标系中，若点A为曲线：上一动点，点B在射线AO上，且满足，记动点B轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若过极点的直线交曲线C和曲线分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
成都石室中学下期高入学考试
理科数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面上的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象先向左平移，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5 给出下列命题：
（1）设a，b，c为实数，若，则；
（2）设，则的取值范围是；
（3）当时，的最小值是4．
其中真命题的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（ ）
A. 6 B. 14 C. 26 D. 44
7. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
11. 已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在中，，且对于，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线的焦点到准线的距离是__________.
14. 二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．
15. 已知圆：与圆：，点A，B在圆上，且，线段AB的中点为D，O为坐标原点，当最大时，直线OD被圆截得的弦长为______．
16. 将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列表示第n次操作后余下的区间段长度．
（1）______；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，数列的前n项积为，满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18. 第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽人温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；
喜欢足球运动
不喜欢足球运动
合计
男生
女生
合计
（2）以样本的频率作为总体的概率，若从该校所有男生中随机抽取3人，抽到不喜欢足球运动的人数为，求的分布列和期望．
附表：
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
其有，，．
19. 多面体如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
（1）求证：平面平面CDE；
（2）求二面角的正弦值．
20. 已知椭圆C：离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线为椭圆C在点P处切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）点O为坐标原点，当和面积之和取最大值时，求直线的方程．
21. 已知函数，．
（1）求证：存在唯一零点；
（2）设，若存在，使得，试比较和的大小．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在极坐标系中，若点A为曲线：上一动点，点B在射线AO上，且满足，记动点B轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若过极点的直线交曲线C和曲线分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
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