精品解析：重庆市南开中学校高二下学期期中数学试题

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重庆南开中学高级高二（下）半期考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知数列的通项公式为，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2. 曲线的图像在处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 16 D. 18
5. 函数，的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
7. 定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 设等比数列的前项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10. 已知等差数列的首项为29，公差为，其前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则最大
B. 若最大，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知函数，对于满足的任意，，下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D.
12. 函数，且对任意恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 函数有极大值点
C. 曲线上存在不同的两点，，使在处切线垂直
D. 若方程在区间上有且只有一个实数根，则满足条件的的最大整数为4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上）
13. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，二十四节气又分为12个节气和12个中气，一一相间，二十四节气与季节、月份的关系如下表：
季节
春 Spring
夏 Summer
秋 Autumn
冬 Winter
月份
二月
FEB
三月
MAR
四月
APR
五月
MAY
六月
JUN
七月
JUL
八月
AUG
九月
SEP
十月
OCT
11月
NOV
12月
DEC
一月
JAN
节气
立春
惊蛰
清明
立夏
芒种
小暑
立秋
白露
寒露
立冬
大雪
小寒
中气
雨水
春分
谷雨
小满
夏至
大暑
处暑
秋分
霜降
小雪
冬至
大寒
二十四节气反映了太阳的周年视运动，在公历中它们的日期是相对固定的，现行的二十四节气每一个分别相应于太阳在黄道上每运动15°所到达的一定位置.如春分太阳位于黄经0度，清明太阳位于黄经15度，谷雨太阳位于黄经30度，则夏至太阳位于黄经___________度.
14. 已知数列满足，，，则__________.
15. 若是函数的一个极值点，则实数___________.
16. 对于数列，记，，，则称是“下界数列”，令，是的下界数列，则_____________；
（参考公式：）
四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列的前项和为，，且满足，.
（1）求通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.
19. 四棱锥中，底面，四边形正方形，.

（1）求证：平面平面；
（2）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知椭圆，经过点，且右准线为.

（1）求椭圆的方程；
（2）若过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，直线交右准线于点，右准线交轴于点，记，的面积分别为，，求的最大值.
21. 设数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
22 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有唯一的极值点，
①求实数取值范围；
②证明：