重难点8-2 圆锥曲线综合问题6大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点8-2 圆锥曲线综合问题6大题型

圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。

一、定值问题处理方法
1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
而、定点问题常用方法技巧
1、参数无关法
把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法
对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、最值问题的一般解题步骤

三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．


【题型1 圆锥曲线的定点问题】
【例1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点.


【变式1-1】（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.


【变式1-2】（2023·山东济宁·统考二模）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.


【变式1-3】（2023·河北邯郸·统考二模）已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标.


【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离比到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率互为倒数的两条直线分别与曲线交于点，和点，，记线段和线段的中点分别为，，证明：直线过定点.


【变式1-5】（2023·贵州·统考模拟预测）已知抛物线：，直线与抛物线C只有1个公共点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.


【题型2 圆锥曲线的定直线问题】
【例2】（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．


【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，)，直线，相交于点Q．证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．


【变式2-2】（2023·湖北·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
（1）若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
（2）若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由


【变式2-3】（2023·山西·统考二模）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）
（1）求双曲线的方程；
（2）设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.


【变式2-4】（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
（1）求E的标准方程：
（2）设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．


【题型3 圆锥曲线的定值问题】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.


【变式3-1】（2023·河南安阳·统考二模）关于椭圆有如下结论：“若点在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程为”设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，动点在椭圆位于第一象限的部分上，过点作椭圆的切线分别与过和的椭圆的切线相交于点和，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知坐标原点和点，直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于、两点，证明：为定值．


【变式3-2】（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线相交于点，且，求证：.


【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考二模）过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．


【变式3-4】（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，左、右焦点为，，点为椭圆上异于，的动点，且的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线交椭圆于，两点（与，不重合）证明：直线与直线的交点的横坐标为定值.


【题型4 距离与面积的最值范围】
【例4】（2023·湖南永州·统考三模）已知椭圆：，其右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，.
（1）求证：为定值.
（2）若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求面积的最小值.


【变式4-1】（2023·江西南昌·统考二模）已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，上顶点为B，过点的直线斜率分别为，直线与直线的交点分别为B，P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C的另一个交点为Q，直线与x轴的交点为R，记的面积为，的面积为，求的取值范围．


【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．


【变式4-3】（2023·广东佛山·统考二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．


【变式4-4】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为．

（1）判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由；
（2）设焦点F到直线AB的距离为d，求的取值范围．


【题型5 斜率与倾斜角的最值范围】
【例5】（2023·湖北十堰·统考二模）已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，且，求k的取值范围．


【变式5-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆相交于两点（其中在第一象限），且与关于轴对称，延长交椭圆于点.

（1）设直线的斜率分别为，证明：为定值；
（2）求直线的斜率的最小值.


【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
（1）求的标准方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．


【变式5-3】（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，，，分别为的上、下顶点，P为上在第一象限内的一点，直线，的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）设的右顶点为A，过A的直线与交于另外一点B，与垂直的直线与交于点M，与y轴交于点N，若，且（O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．


【变式5-4】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，．
（i）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围．


【题型6 与向量有关的最值范围】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．

（1）求C的方程．
（2）如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围


【变式6-1】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为．
（1）设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值．
（2）过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：．


【变式6-2】（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）已知直线与曲线交于、两点，为坐标原点.
（1）当时，有，求曲线的方程；
（2）当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值；
（3）已知点，当，变化时，动点满足，求动点的纵坐标的变化范围.


【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．


【变式6-4】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.



（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，证明：在轴上存在定点，使得直线，关于轴对称.


2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．

（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．


3．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知椭圆：（），长轴为，离心率为，是椭圆上的动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上另两个动点，求面积的最大值.


4．（2023·四川资阳·统考模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程．
（2）过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．


5．（2023·广西南宁·统考二模）已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线交y轴于M，直线变y轴于N.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）证明：存在定点T，使得，且.


6．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：，且椭圆C2过椭圆C1的焦点，过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点.
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）若存在直线l，使得，求t的取值范围.


7．（2023·江西上饶·统考二模）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．


8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.

（1）判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
（2）若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.