2023台州高二下学期期末考试数学试题含解析

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台州市2022学年第二学期高二年级期末质量评估试题
数学
2023.07
命题：毕里兵（台州中学） 丁君斌（台州一中）
审题：杨俊（天台中学）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（ ）
A. 40种 B. 396种 C. 22种 D. 18种
2. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 复数（i为虚数单位）的实部为（ ）
A. 2 B. C. D.
4. 第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为（ ）
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
5. 在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的函数，，记在上的个极值点为，且，则（ ）
A. 奇函数 B. 为偶函数
C. 在单调递减 D. 在单调递减
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 满足方程的的值可能为（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知，，，，，均大于0，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D.
11 对，设，其中，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（ ）
A 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13. 若随机变量，则___________.
14. 某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值___________.
（参考数据：若，则，）
15. 若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为.设事件 “函数为奇函数”， “函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点”，则____________.
16. 已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则____________
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某学习小组有4个男生和3个女生.从这7人中选3人参加数学竞赛.
（1）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，那么有多少种选法?
（2）如果3人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法?
18. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.
（1）求的值；
（2）求展开式中含项的系数.
19. 在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意两个作为向量的起点和终点.
（1）当时，求；
（2）记事件 “”，求.
20. 台州是中国黄金海岸线上的一个年轻的滨海城市，位于浙江省沿海中部，上海经济区的最南翼，旅游资源非常丰富，历史上有“海上名山”之美称.C为某海岛所在位置，A为游船码头，B为游客中心，AB表示海岸线，且，.为更好的发展海上旅游资源，某旅游公司计划修建海上观光栈道，观光栈道由CD和线段，组成，其中所在的圆以A为圆心，以1km为半径.游客先从游船码头A乘船到海岛C游玩，返回时可乘船返回A，也可通过栈道，返回到A或者经由栈道，到B.设.
（1）若，求BD的长度.
（2）AC为游船线路，不需要另加投资.已知修建栈道，的成本为每千米2百万元，修建栈道的成本为每千米百万元.旅游公司的投资预算不超过5百万元，则预算是否足够?说明理由.
21. 袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换.
（1）若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
（2）记，求随机变量的分布列及数学期望.
22. 已知函数.（e为自然对数的底数，）
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若，证明：存在实数使得方程恰有三个不同的根，且.