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2022-2023学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了下列式子中属于最简二次根式的是，下列运算正确的是，已知点等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝±6 B．4﹣3＝1 C．÷＝6 D．×＝6
3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数（单位：环）及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定
6．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b﹣（x+a）＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
8．如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，连结AG并延长，交BC于点E．连结BF，若AE＝2，BF＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二.填空题（每小题3分，共15分
11．写出一个y随x增大而减小的一次函数 ．
12．直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，1），将它向下平移5个单位后所得直线的解析式是 ．
13．周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 m/min．
14．在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 ．
15．如图是一张长方形纸片ABCD，已知CD＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则剪下的等腰三角形EFP中，其中一条边EP最长是 cm．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
18．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
19．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 ；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 ．
21．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b．现画出了它的图象为直线l，如图．数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式．
（2）请在图中画出直线l′（不要求列表计算），并求出直线l和l′的交点坐标．
（3）求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．
22．2020年是特殊的一年，2021年仍受疫情影响，“摆地摊”成为了恢复经济的有效方式．临近春节，小明计划购进春联和“福”字进行地摊销售，这两种商品的进价和售价如下表所示：
春联
“福字”
进价（元/件）
3
5
售价（元/件）
5
8
小明计划购进春联和“福”字共100件进行销售．设小明购进春联x件，销售完全部春联和“福”字后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明共有资金340元，若要求销售完这100件春联和“福”字所获得的利润不少于216元，请说明小明有几种进货方式？他怎样进货，可以使得利润最大？
23．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC边上的点A′处．得到折痕BE；根据以上操作：
①写出图①中一个45°的角： ；
②判断四边形AEA'B的形状，并证明；
（2）拓展应用：操作二：如图②，矩形纸片ABCD中，若AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点N，交AD边于点F，把纸片展平，请求出线段AN的取值范围．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式判断方法：被开方数中不含分母，分母中不含根号，被开方数中不含能开的尽方的因式，判断即可．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝2，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝±6 B．4﹣3＝1 C．÷＝6 D．×＝6
【分析】根据二次根式的性质对对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断，根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A、原式＝6，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝6，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数（单位：环）及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定
【分析】由一次函数性质可得y随x增大而减小，进而求解．
解：∵y＝﹣3x+b中﹣＜＞0，
∴y随x增大而减小，
∵﹣2＜3，
∴m＞n，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数性质，解题关键是掌握一次函数性质．
6．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．
解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b﹣（x+a）＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
【分析】不等式kx+b﹣（x+a）＞0的解集是一次函数y1＝kx+b在y2＝x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
解：由图象可知，不等式kx+b﹣（x+a）＞0的解集是x＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B． C． D．
【分析】根据菱形的性质得出AB，进而解答即可．
解：连接OC，交AB于E，
∵四边形OACB是菱形，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，
∴AB⊥OC，∠AOC＝60°，AB＝2AE，
∴AE＝（cm），
∴AB＝2（cm），
∴橡皮筋再次被拉长了（4﹣2）cm，
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AE的长解答．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，连结AG并延长，交BC于点E．连结BF，若AE＝2，BF＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【分析】设BF与AE交于O点，由作图知，AB＝AF，AE平分∠BAF，则AO⊥BF，BO＝BF＝，再说明AB＝BE，从而得出AO的长，最后利用勾股定理可得答案．
解：设BF与AE交于O点，
由作图知，AB＝AF，AE平分∠BAF，
∴AO⊥BF，BO＝BF＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAF，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵BO⊥AE，
∴AO＝AE＝，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，尺规作一个角的角平分线等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】作OH⊥AB于H，由正方形的性质可以证明△OBP≌△OCQ（ASA）得到PO＝QO，因此△OPQ是等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出PH的长，由等腰直角三角形的性质得到OH的长，由勾股定理求出OP的长，即可得到PQ的长．
解：作OH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BOP+∠EOC＝90°，
∵OQ⊥OP，
∴∠QOC+∠EOC＝90°，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠ABO＝∠OCB＝45°，
∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，
∵OB＝OC，
∴△OBP≌△OCQ（ASA），
∴PO＝QO，
∴△OPQ是等腰直角三角形，
∵OH⊥AB，EB⊥AB，
∴BE∥OH，
∴PB：BH＝PE：OE，
∵OE＝PE，
∴PB＝BH，
∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，
∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，
∴PB＝BH＝1，
∴PH＝PB+BH＝2，
∴OP＝＝＝，
∴PQ＝PO＝．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明△OBP≌△OCQ，得到△OPQ是等腰直角三角形．
二.填空题（每小题3分，共15分
11．写出一个y随x增大而减小的一次函数 y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一 ．
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数小于0即可．
解：例如：y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一．
【点评】此题比较简单，考查的是一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
12．直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，1），将它向下平移5个单位后所得直线的解析式是 y＝﹣2x+2 ．
【分析】将（3，1）代入y＝﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
解：将（3，1）代入y＝﹣2x+b，
得：1＝﹣6+b，
解得：b＝7，
∴y＝﹣2x+7，
将直线y＝﹣2x+7向下平移5个单位后所得直线的解析式是y＝﹣2x+7﹣5，即y＝﹣2x+2，
故答案为：y＝﹣2x+2．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
13．周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 100 m/min．
【分析】根据题意可知小辉家与图书馆的距离为1500m，去图书馆花了20分钟，回来时用了15分钟，再根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可求解．
解：由题意，得：
小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．
故答案为：100．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
14．在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 直角三角形 ．
【分析】由（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，推出a2＝52+b2，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
解：∵（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，
∴a2﹣52﹣b2＝0，
即a2＝52+b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．如图是一张长方形纸片ABCD，已知CD＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则剪下的等腰三角形EFP中，其中一条边EP最长是 2 cm．
【分析】由矩形的性质得AB＝CD＝8cm，∠A＝∠B＝∠D＝90°，由AE＝1cm，BF＝3cm，求得EF＝4cm，EB＝7cm，再分三种情况讨论，一是点P在AD边上，则EP＝EF＝4cm；二是点P在DC边上，作PG⊥AB于点G，则四边形AGPD是矩形，所以PG＝AD＝6cm，则EP＝FP，所以EG＝FG＝2cm，由勾股定理求得EP＝2cm；三是点P在BC边上，则PF＝EF＝4cm，所以PB＝＝cm，EP＝＝2cm，可知边EP最长是2cm．
解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝8cm，AD＝6cm，
∴AB＝CD＝8cm，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝8﹣1﹣3＝4（cm），EB＝AB﹣AE＝8﹣1＝7（cm），
如图1，点P在AD边上，
∵∠PEF＞∠A，
∴∠PEF＞90°，
∴EP＝EF＝4cm；
如图2，点P在DC边上，
作PG⊥AB于点G，则∠AGP＝90°，
∴四边形AGPD是矩形，
∴PG＝AD＝6cm，
∴EP≥6cm，
∴EP＞EF，
∴EP＝FP，
∴EG＝FG＝EF＝×4＝2（cm），
∴EP＝＝＝2（cm）；
如图3，点P在BC边上，
∵∠PFE＞∠B，
∴∠PFE＞90°，
∴PF＝EF＝4cm，
∴PB＝＝＝（cm），
∴EP＝＝＝2（cm），
∵2cm＞2cm＞4cm，
∴边EP最长是2cm，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，应注意分类讨论数学思想的运用．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据运算法则计算即可；
（2）根据运算法则计算即可．
解：（1）原式＝﹣（﹣2）
＝5+；
（2）原式＝（）（）
＝（）
＝2﹣．
【点评】本题考查的是二次根式混合运算，熟知二次根式的运算法则是解答此题的关键．
17．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ 1.6 m，BC＝ 3 m，CD＝ 1 m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 4 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
18．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 正确 ，琪琪的思路 正确 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
【分析】（1）嘉嘉通过先证明四边形是平行四边形，再通过“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来证明矩形，琪琪通过“三个角是直角的四边形是矩形”来证明矩形，都是正确的，
（2）按照嘉嘉的方法，先通过菱形的性质，得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据AF＝CE，得到BF＝DE，且BF∥DE，得到四边形DFBE是平行四边形，通过BE⊥CD，得到角为90°，得到矩形．
解：（1）故答案为：正确，正确；
（2）我选择嘉嘉思路：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵FA＝EC，
∴BF＝DE．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°
∴四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查菱形的性质和矩形的判定方法，通过不同的判定方法均可判定四边形是矩形．
19．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1﹣其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
解：（1）九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴．
∵成绩为9的学生有2名，最多，
∴c＝96．
九年级（2）班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40．
故答案为：40，94，96；
（2）选派九年级（2）班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，九年级（2）班的方差为50.4，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级（2）班．
（3）解：九年级（2）班D组的人数为10×40%＝4人，
∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有3+4＝7人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数是人．
【点评】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 菱形 ；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 6 ．
【分析】（1）证明四边形ADCE是平行四边形，得出∠ADC＝90°，由矩形的判定可得出四边形ADCE是矩形，由矩形的性质可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质得出AD＝CD＝BD，根据菱形的判定可得出答案；
②求出BC＝4，由勾股定理求出AC＝3，由菱形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝ED．
（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴四边形ADCE是菱形，
故答案为菱形；
②∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∵AB＝5，
∴AC＝＝3，
∴四边形ADCE的面积为．
故答案为6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b．现画出了它的图象为直线l，如图．数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式．
（2）请在图中画出直线l′（不要求列表计算），并求出直线l和l′的交点坐标．
（3）求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）首先写出直线l′的解析式，再根据一次函数的性质画出直线l′，将两个函数的解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴，解得，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3，
图象如图所示，
由，解得，
所以直线l和l′的交点坐标为（1，4）；
（3）直线l和l′与y轴围成的三角形的面积是×（3﹣1）×1＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，三角形的面积，求出直线l的解析式是解题的关键．
22．2020年是特殊的一年，2021年仍受疫情影响，“摆地摊”成为了恢复经济的有效方式．临近春节，小明计划购进春联和“福”字进行地摊销售，这两种商品的进价和售价如下表所示：
春联
“福字”
进价（元/件）
3
5
售价（元/件）
5
8
小明计划购进春联和“福”字共100件进行销售．设小明购进春联x件，销售完全部春联和“福”字后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明共有资金340元，若要求销售完这100件春联和“福”字所获得的利润不少于216元，请说明小明有几种进货方式？他怎样进货，可以使得利润最大？
【分析】（1）由y＝春联利润+“福”字利润，可得解析式；
（2）由获得的利润不少于216元，列出不等式组可求x的范围，再根据一次函数的性质可求解．
解：（1）由题意可得y＝（5﹣3）x+（8﹣5）（100﹣x）＝﹣x+300；
（2）根据题意得：，
解得：80≤x≤84，且x为整数，
∴x可以取80、81、82、83、84，
∴共有5种方式，
∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有最大值，
答：共有5种进货方式，购进80件春联，20件福字可以使得利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
23．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC边上的点A′处．得到折痕BE；根据以上操作：
①写出图①中一个45°的角： ∠ABE或∠AEB或∠A'BE或∠A'EB ；
②判断四边形AEA'B的形状，并证明；
（2）拓展应用：操作二：如图②，矩形纸片ABCD中，若AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点N，交AD边于点F，把纸片展平，请求出线段AN的取值范围．
【分析】（1）①判断四边形AEA'B的形状是正方形即可得出结论；
②先证四边形AEA'B是矩形，然后证四边形AEA'B是正方形即可；
（2）根据A'N＞BN，求出AN的最小值，根据N点与B点重合时AN有最大值求出最大值，即可得出AN的取值范围．
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABA'＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴四边形AEA'B是矩形，
又∵AB＝BA'，
∴四边形AEA'B的形状是正方形，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠A'BE＝∠A'EB＝45°，
故答案为：∠ABE或∠AEB或∠A'BE或∠A'EB；
②四边形AEA'B的形状是正方形，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABA'＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴四边形AEA'B是矩形，
又∵AB＝BA'，
∴四边形AEA'B的形状是正方形；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AN＝A'N，
在Rt△A'NB中，A'N＞BN，
∴AN＞10﹣AN，
即AN＞5，
∵点N在AB上，
∴当点N与点B重合时，AN有最大值为10，
∴5＜AN≤10．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的判定和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
2022-2023学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝±6 B．4﹣3＝1 C．÷＝6 D．×＝6
3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数（单位：环）及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定
6．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b﹣（x+a）＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
8．如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，连结AG并延长，交BC于点E．连结BF，若AE＝2，BF＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二.填空题（每小题3分，共15分
11．写出一个y随x增大而减小的一次函数 ．
12．直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，1），将它向下平移5个单位后所得直线的解析式是 ．
13．周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 m/min．
14．在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 ．
15．如图是一张长方形纸片ABCD，已知CD＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则剪下的等腰三角形EFP中，其中一条边EP最长是 cm．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
18．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
19．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 ；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 ．
21．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b．现画出了它的图象为直线l，如图．数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式．
（2）请在图中画出直线l′（不要求列表计算），并求出直线l和l′的交点坐标．
（3）求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．
22．2020年是特殊的一年，2021年仍受疫情影响，“摆地摊”成为了恢复经济的有效方式．临近春节，小明计划购进春联和“福”字进行地摊销售，这两种商品的进价和售价如下表所示：
春联
“福字”
进价（元/件）
3
5
售价（元/件）
5
8
小明计划购进春联和“福”字共100件进行销售．设小明购进春联x件，销售完全部春联和“福”字后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明共有资金340元，若要求销售完这100件春联和“福”字所获得的利润不少于216元，请说明小明有几种进货方式？他怎样进货，可以使得利润最大？
23．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC边上的点A′处．得到折痕BE；根据以上操作：
①写出图①中一个45°的角： ；
②判断四边形AEA'B的形状，并证明；
（2）拓展应用：操作二：如图②，矩形纸片ABCD中，若AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点N，交AD边于点F，把纸片展平，请求出线段AN的取值范围．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式判断方法：被开方数中不含分母，分母中不含根号，被开方数中不含能开的尽方的因式，判断即可．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝2，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝±6 B．4﹣3＝1 C．÷＝6 D．×＝6
【分析】根据二次根式的性质对对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断，根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A、原式＝6，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝6，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
3．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数（单位：环）及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定
【分析】由一次函数性质可得y随x增大而减小，进而求解．
解：∵y＝﹣3x+b中﹣＜＞0，
∴y随x增大而减小，
∵﹣2＜3，
∴m＞n，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数性质，解题关键是掌握一次函数性质．
6．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．
解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b﹣（x+a）＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
【分析】不等式kx+b﹣（x+a）＞0的解集是一次函数y1＝kx+b在y2＝x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
解：由图象可知，不等式kx+b﹣（x+a）＞0的解集是x＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B． C． D．
【分析】根据菱形的性质得出AB，进而解答即可．
解：连接OC，交AB于E，
∵四边形OACB是菱形，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，
∴AB⊥OC，∠AOC＝60°，AB＝2AE，
∴AE＝（cm），
∴AB＝2（cm），
∴橡皮筋再次被拉长了（4﹣2）cm，
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AE的长解答．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，连结AG并延长，交BC于点E．连结BF，若AE＝2，BF＝2，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【分析】设BF与AE交于O点，由作图知，AB＝AF，AE平分∠BAF，则AO⊥BF，BO＝BF＝，再说明AB＝BE，从而得出AO的长，最后利用勾股定理可得答案．
解：设BF与AE交于O点，
由作图知，AB＝AF，AE平分∠BAF，
∴AO⊥BF，BO＝BF＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAF，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵BO⊥AE，
∴AO＝AE＝，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，尺规作一个角的角平分线等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】作OH⊥AB于H，由正方形的性质可以证明△OBP≌△OCQ（ASA）得到PO＝QO，因此△OPQ是等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出PH的长，由等腰直角三角形的性质得到OH的长，由勾股定理求出OP的长，即可得到PQ的长．
解：作OH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BOP+∠EOC＝90°，
∵OQ⊥OP，
∴∠QOC+∠EOC＝90°，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠ABO＝∠OCB＝45°，
∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，
∵OB＝OC，
∴△OBP≌△OCQ（ASA），
∴PO＝QO，
∴△OPQ是等腰直角三角形，
∵OH⊥AB，EB⊥AB，
∴BE∥OH，
∴PB：BH＝PE：OE，
∵OE＝PE，
∴PB＝BH，
∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，
∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，
∴PB＝BH＝1，
∴PH＝PB+BH＝2，
∴OP＝＝＝，
∴PQ＝PO＝．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明△OBP≌△OCQ，得到△OPQ是等腰直角三角形．
二.填空题（每小题3分，共15分
11．写出一个y随x增大而减小的一次函数 y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一 ．
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数小于0即可．
解：例如：y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x或y＝﹣x+1等，答案不唯一．
【点评】此题比较简单，考查的是一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
12．直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，1），将它向下平移5个单位后所得直线的解析式是 y＝﹣2x+2 ．
【分析】将（3，1）代入y＝﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
解：将（3，1）代入y＝﹣2x+b，
得：1＝﹣6+b，
解得：b＝7，
∴y＝﹣2x+7，
将直线y＝﹣2x+7向下平移5个单位后所得直线的解析式是y＝﹣2x+7﹣5，即y＝﹣2x+2，
故答案为：y＝﹣2x+2．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
13．周日、小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从图书馆回家的速度为 100 m/min．
【分析】根据题意可知小辉家与图书馆的距离为1500m，去图书馆花了20分钟，回来时用了15分钟，再根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可求解．
解：由题意，得：
小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．
故答案为：100．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
14．在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 直角三角形 ．
【分析】由（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，推出a2＝52+b2，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
解：∵（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，
∴a2﹣52﹣b2＝0，
即a2＝52+b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．如图是一张长方形纸片ABCD，已知CD＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则剪下的等腰三角形EFP中，其中一条边EP最长是 2 cm．
【分析】由矩形的性质得AB＝CD＝8cm，∠A＝∠B＝∠D＝90°，由AE＝1cm，BF＝3cm，求得EF＝4cm，EB＝7cm，再分三种情况讨论，一是点P在AD边上，则EP＝EF＝4cm；二是点P在DC边上，作PG⊥AB于点G，则四边形AGPD是矩形，所以PG＝AD＝6cm，则EP＝FP，所以EG＝FG＝2cm，由勾股定理求得EP＝2cm；三是点P在BC边上，则PF＝EF＝4cm，所以PB＝＝cm，EP＝＝2cm，可知边EP最长是2cm．
解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝8cm，AD＝6cm，
∴AB＝CD＝8cm，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝8﹣1﹣3＝4（cm），EB＝AB﹣AE＝8﹣1＝7（cm），
如图1，点P在AD边上，
∵∠PEF＞∠A，
∴∠PEF＞90°，
∴EP＝EF＝4cm；
如图2，点P在DC边上，
作PG⊥AB于点G，则∠AGP＝90°，
∴四边形AGPD是矩形，
∴PG＝AD＝6cm，
∴EP≥6cm，
∴EP＞EF，
∴EP＝FP，
∴EG＝FG＝EF＝×4＝2（cm），
∴EP＝＝＝2（cm）；
如图3，点P在BC边上，
∵∠PFE＞∠B，
∴∠PFE＞90°，
∴PF＝EF＝4cm，
∴PB＝＝＝（cm），
∴EP＝＝＝2（cm），
∵2cm＞2cm＞4cm，
∴边EP最长是2cm，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，应注意分类讨论数学思想的运用．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据运算法则计算即可；
（2）根据运算法则计算即可．
解：（1）原式＝﹣（﹣2）
＝5+；
（2）原式＝（）（）
＝（）
＝2﹣．
【点评】本题考查的是二次根式混合运算，熟知二次根式的运算法则是解答此题的关键．
17．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ 1.6 m，BC＝ 3 m，CD＝ 1 m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 4 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
18．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 正确 ，琪琪的思路 正确 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
【分析】（1）嘉嘉通过先证明四边形是平行四边形，再通过“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来证明矩形，琪琪通过“三个角是直角的四边形是矩形”来证明矩形，都是正确的，
（2）按照嘉嘉的方法，先通过菱形的性质，得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据AF＝CE，得到BF＝DE，且BF∥DE，得到四边形DFBE是平行四边形，通过BE⊥CD，得到角为90°，得到矩形．
解：（1）故答案为：正确，正确；
（2）我选择嘉嘉思路：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵FA＝EC，
∴BF＝DE．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°
∴四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查菱形的性质和矩形的判定方法，通过不同的判定方法均可判定四边形是矩形．
19．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1﹣其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
解：（1）九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴．
∵成绩为9的学生有2名，最多，
∴c＝96．
九年级（2）班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40．
故答案为：40，94，96；
（2）选派九年级（2）班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，九年级（2）班的方差为50.4，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级（2）班．
（3）解：九年级（2）班D组的人数为10×40%＝4人，
∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有3+4＝7人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数是人．
【点评】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 菱形 ；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 6 ．
【分析】（1）证明四边形ADCE是平行四边形，得出∠ADC＝90°，由矩形的判定可得出四边形ADCE是矩形，由矩形的性质可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质得出AD＝CD＝BD，根据菱形的判定可得出答案；
②求出BC＝4，由勾股定理求出AC＝3，由菱形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝ED．
（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴四边形ADCE是菱形，
故答案为菱形；
②∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∵AB＝5，
∴AC＝＝3，
∴四边形ADCE的面积为．
故答案为6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b．现画出了它的图象为直线l，如图．数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线l的解析式．
（2）请在图中画出直线l′（不要求列表计算），并求出直线l和l′的交点坐标．
（3）求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）首先写出直线l′的解析式，再根据一次函数的性质画出直线l′，将两个函数的解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴，解得，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3，
图象如图所示，
由，解得，
所以直线l和l′的交点坐标为（1，4）；
（3）直线l和l′与y轴围成的三角形的面积是×（3﹣1）×1＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，三角形的面积，求出直线l的解析式是解题的关键．
22．2020年是特殊的一年，2021年仍受疫情影响，“摆地摊”成为了恢复经济的有效方式．临近春节，小明计划购进春联和“福”字进行地摊销售，这两种商品的进价和售价如下表所示：
春联
“福字”
进价（元/件）
3
5
售价（元/件）
5
8
小明计划购进春联和“福”字共100件进行销售．设小明购进春联x件，销售完全部春联和“福”字后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明共有资金340元，若要求销售完这100件春联和“福”字所获得的利润不少于216元，请说明小明有几种进货方式？他怎样进货，可以使得利润最大？
【分析】（1）由y＝春联利润+“福”字利润，可得解析式；
（2）由获得的利润不少于216元，列出不等式组可求x的范围，再根据一次函数的性质可求解．
解：（1）由题意可得y＝（5﹣3）x+（8﹣5）（100﹣x）＝﹣x+300；
（2）根据题意得：，
解得：80≤x≤84，且x为整数，
∴x可以取80、81、82、83、84，
∴共有5种方式，
∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有最大值，
答：共有5种进货方式，购进80件春联，20件福字可以使得利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
23．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC边上的点A′处．得到折痕BE；根据以上操作：
①写出图①中一个45°的角： ∠ABE或∠AEB或∠A'BE或∠A'EB ；
②判断四边形AEA'B的形状，并证明；
（2）拓展应用：操作二：如图②，矩形纸片ABCD中，若AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点N，交AD边于点F，把纸片展平，请求出线段AN的取值范围．
【分析】（1）①判断四边形AEA'B的形状是正方形即可得出结论；
②先证四边形AEA'B是矩形，然后证四边形AEA'B是正方形即可；
（2）根据A'N＞BN，求出AN的最小值，根据N点与B点重合时AN有最大值求出最大值，即可得出AN的取值范围．
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABA'＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴四边形AEA'B是矩形，
又∵AB＝BA'，
∴四边形AEA'B的形状是正方形，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠A'BE＝∠A'EB＝45°，
故答案为：∠ABE或∠AEB或∠A'BE或∠A'EB；
②四边形AEA'B的形状是正方形，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABA'＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴四边形AEA'B是矩形，
又∵AB＝BA'，
∴四边形AEA'B的形状是正方形；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AN＝A'N，
在Rt△A'NB中，A'N＞BN，
∴AN＞10﹣AN，
即AN＞5，
∵点N在AB上，
∴当点N与点B重合时，AN有最大值为10，
∴5＜AN≤10．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的判定和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
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