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2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）(含解析)
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这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，则（ ）
A．|z1+1|＝|z1|
B．z1的共轭复数为z2
C．复数z1z2对应的点位于第二象限
D．复数为纯虚数
2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
3．若，则y'＝（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．方程+＝10，化简的结果是（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0
9．已知函数f（x）的导函数是f′（x），对任意的x∈R，f′（x）＜1，若f（﹣1）＝1，则f（x）＞x+2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）
10．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．x＝1是f（x）的极小值点
B．f（﹣2）＞f（﹣1）
C．函数f（x）在（﹣1，1）上有极大值
D．函数f（x）有三个极值点
11．C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|＝5a，且∠PFO＝120°，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．设F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线l：x﹣3y+c＝0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点若•（）＝0，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
14．若函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在（1，f（1））处的切线斜率为，则实数a＝ ．
15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（1，0），则|FM|＝ ．
16．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为 ．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．求适合下列条件的曲线的标准方程．
（1）实轴长为8，焦点坐标为（0，5），求双曲线的标准方程；
（2）焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
18．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
20．已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线y＝kx﹣1（k∈R）与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）＝x2lnx+x2．
（1）求f（x）的极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣3，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求点B的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为xy＝9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|OA|•|OB|＝12，求θ0．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，则（ ）
A．|z1+1|＝|z1|
B．z1的共轭复数为z2
C．复数z1z2对应的点位于第二象限
D．复数为纯虚数
【分析】求复数的模判断A；由共轭复数的定义判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断C与D．
解：∵z1＝2+i，z2＝1﹣2i，
∴|z1+1|＝|3+i|＝，|z1|＝，|z1+1|≠|z1|，故A错误；
，，故B错误；
z1z2＝（2+i）（1﹣2i）＝2﹣4i+i+2＝4﹣3i，则复数z1z2对应的点的坐标为（4，﹣3），位于第四象限，故C错误；
＝，∴复数为纯虚数，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
【分析】根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．
解：A项中，f（﹣x）＝tan（﹣x ）＝﹣tanx＝﹣f（x），
则 f（x）＝tanx 是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
B项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
C项中，f（﹣x）＝（﹣x）﹣cos（﹣x）＝﹣x﹣cosx≠±f（x），则f（x）为非奇非偶函数，不符合；
D项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，
又y＝ex在x∈R上单调递增，y＝e﹣x在x∈R上单调递减，则f（x）在x∈R上单调递增，符合．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
3．若，则y'＝（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】由常数的导数为0即可得解．
解：∵，
∴y'＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
可得＝，可得e＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属基础题．
5．方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分y≥1和y＜1去绝对值后画出函数图象，则答案可求．
解：由方程x+|y﹣1|＝0，得．
∴方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是：
故选：A．
【点评】本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了函数图象的作法，是中档题．
6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
解：①当mn＞0时，
例如：当m＝n＝1时，方程mx2+ny2＝1的曲线不是椭圆而是圆，
∴充分性不成立，
②当方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆时，
则m，n都大于0，且m≠n，得到mn＞0，∴必要性成立，
∴mn＞0是方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，属于基础题．
7．方程+＝10，化简的结果是（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．
解：方程+＝10，
表示平面内到定点F1（2，0）、F2（﹣2，0）的距离的和是常数10（10＞4）的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，
∴a＝5，c＝2，b＝＝；
∴椭圆的方程是＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．
8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0
【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x＝1代入，即可求解．
解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx（x＞0），
∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，
解得f′（1）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9．已知函数f（x）的导函数是f′（x），对任意的x∈R，f′（x）＜1，若f（﹣1）＝1，则f（x）＞x+2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）
【分析】令g（x）＝f（x）﹣x﹣2，利用导数可得函数g（x）的单调性，由已知可得g（﹣1）＝0，则问题转化为g（x）＞g（﹣1），答案可求．
解：令g（x）＝f（x）﹣x﹣2，则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，则g（x）单调递减，
又f（﹣1）＝1，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+1﹣2＝1+1﹣2＝0，
f（x）＞x+2⇔f（x）﹣x﹣2＞0⇔g（x）＞g（﹣1），得x＜﹣1．
∴f（x）＞x+2的解集是（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是基础题．
10．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．x＝1是f（x）的极小值点
B．f（﹣2）＞f（﹣1）
C．函数f（x）在（﹣1，1）上有极大值
D．函数f（x）有三个极值点
【分析】根据y＝f'（x）的图象判断f'（x）的正负，进而得到f（x）的单调性，再结合极值点的定义逐个判断各个选项即可．
解：由y＝f'（x）的图象可知，当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，
当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，
所以f（﹣2）＞f（﹣1），x＝﹣3是f（x）的极大值点，故B正确，
当x∈（﹣1，1）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在（﹣1，1）上没有极大值，且x＝1不是f（x）的极小值点，
故A，C错误，
因为x＝﹣1是f（x）的极小值点，x＝﹣3是f（x）的极大值点，x＝1不是f（x）的极值点，
所以f（x）有2个极值点，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
11．C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|＝5a，且∠PFO＝120°，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据已知判断P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|＝7a．然后在△PFF1中，根据余弦定理即可得出a，c的齐次方程，可得离心率的方程，求解即可得出答案．
解：设双曲线左焦点为F1，由已知可得P在双曲线右支上，如图所示：
根据双曲线的定义得|PF1|﹣|PF|＝2a，则|PF1|＝7a，
由题意得∠PFF1＝∠PFO＝120°，
在△PFF1中，|PF1|＝7a，|PF|＝5a，|FF1|＝2c，
由余弦定理得，即，
∴2c2+5ac﹣12a2＝0，
两边同时除以a2得2e2+5e﹣12＝0，解得或e＝﹣4（不合题意，舍去），
故．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．设F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线l：x﹣3y+c＝0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点若•（）＝0，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由向量数量积的性质，推得|F2M|＝|F2N|，由双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，结合离心率公式，可得所求值．
解：若•（）＝0，即（﹣）•（+）＝0，
可得2＝2，即有|F2M|＝|F2N|，
设|NF2|＝m，由双曲线的定义可得|NF1|＝m+2a，|MF1|＝m﹣2a，
则|MN|＝4a，取MN的中点H，连接HF2，可得HF2⊥MN，
|HF2|＝，
在直角三角形HF1F2中，tan∠HF1F2＝＝＝，
解得m＝a，
由2ccos∠HF1F2＝|HF1|＝m＝a，即有2c•＝a，
可得e＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程．
解：因为|PA|+|PB|＝10＞|AB|＝8，
由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A（﹣4，0），B（4，0）为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以c＝4，a＝5，b2＝a2﹣c2＝9，
所以点P的轨迹方程是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆定义在轨迹方程求解中的应用，属于基础题．
14．若函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在（1，f（1））处的切线斜率为，则实数a＝ ．
【分析】求出函数f（x）的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求．
解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以f'（x）＝，
所以f（x）在x＝1处的切线斜率k＝f'（1）＝1﹣a＝，
解得a＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（1，0），则|FM|＝ ．
【分析】由题意可得AM⊥AF，直线AM的方程，进而可得M的坐标，可求|FM|．
解：由抛物线C：x2＝8y方程可得2p＝8，所以p＝4，焦点F的坐标为F（0，2）．
设A（1，0），直线AF的斜率为kAF＝＝﹣2，因为以线段FM为直径的圆过点A，
所以AM⊥AF，所以直线AM的斜率为，
直线AM的方程为，
联立，解得，
∴|FM|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属基础题．
16．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为 ．
【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解．
解：圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过O点时，此时体积最大，如图所示：
设此时正方形的边长为2a，
，
设该四棱锥的高为PZ＝h（2＜h＜4），
则OZ＝h﹣2，
由勾股定理可知，OZ2+VZ2＝OV2，即（h﹣2）2+2a2＝4，
该四棱锥的体积为：＝＝，
设f（h）＝（h3﹣4h2），
则f'（h）＝﹣2h（h﹣），
当时，f'（h）＞0，f（h）单调递增，
当时，f'（h）＜0，f（h）单调递减，
故当h＝时，函数f（h）有最大值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．求适合下列条件的曲线的标准方程．
（1）实轴长为8，焦点坐标为（0，5），求双曲线的标准方程；
（2）焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
【分析】（1）由题意可知，双曲线为实轴在y轴上的双曲线，并求得c与a的值，代入隐含条件求得b，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．
（2）由题意设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），再由焦点到准线的距离为2，得p＝2，则抛物线方程可求．
解：（1）∵双曲线焦点坐标（0，5），
∴双曲线为实轴在y轴上的双曲线，且c＝5，
又实轴长为8，即2a＝8，得a＝4，
∴b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，则b＝3，
∴双曲线标准方程为：﹣＝1；
（2）由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
且p＝2，则抛物线方程为：y2＝4x．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，并考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题．
18．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
【分析】（1）利用f′（1）＝0，f′（2）＝0，可求得a，b的值．
（2）结合（1）求得f（x）在区间[0，3]上的最值，由此确定正确结论．
解：（1）f′（x）＝6x2+6ax+3b，
依题意，
解得a＝﹣3，b＝4，
此时f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在区间（﹣∞，1），（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增；在区间（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减．
所以f（x）在x＝1处取得极大值，在x＝2处取得极小值，符合题意．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，f（0）＝1，f（1）＝6，f（2）＝5，f（3）＝10，
由（1）知，f（x）在区间[0，3]上的最大值为10，最小值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
【分析】（1）设AB＝x，推得PA＝AC＝2x，由等腰三角形的性质可得AF⊥PC，再由三垂线定理可得CD⊥PC，结合三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理，由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH，MH，由三垂线定理和三角形的中位线定理推得∠EHM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，二面角E﹣AC﹣B的平面角与∠EHM互补．运用直角三角形的三角函数的定义，计算可得所求值．
解：（1）证明：设AB＝x，可得PA＝2x，
在直角三角形ABC中，AC＝＝2x，
所以△PAC是等腰三角形，
又F是PC的中点，可得AF⊥PC，
由PA⊥平面ABCD，CD⊥AC，
AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理可得CD⊥PC，
由于EF是△PCD的中位线，可得CD∥EF，
所以EF⊥PC，
又EF∩AF＝F，所以PC⊥平面AEF，
又PC⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面AEF；
（2）取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH，MH，
由EM∥PA，PA⊥平面ABCD，可得EM⊥平面ABCD，
又MH∥CD，CD⊥AC，可得MH⊥AC，
因为HM是斜线EH在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理可得AC⊥EM，
所以∠EHM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，
二面角E﹣AC﹣B的平面角与∠EHM互补．
在△ACD中，AC＝2x，∠ACD＝90°，∠ADC＝30°，
可得CD＝2x，
在直角三角形EHM中，MH＝x，EM＝x，
可得tan∠EHM＝＝，
即有∠EHM＝30°，
则二面角E﹣AC﹣B的大小为150°．
【点评】本题考查面面垂直的判定和二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线y＝kx﹣1（k∈R）与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由椭圆的性质，直接求出a，b的值；
（2）联立直线方程与椭圆方程，设出点Q的坐标，表示出QC，QD的斜率，直接计算即可解出．
解：（1）由题意可知b＝2，
且a2＝b2+c2，
∴a＝2，b＝2，
∴椭圆E的方程为；
（2）由（1）知椭圆方程为，
设Q（0，m），C（x1，y1），D（x2，y2），
，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6＝0，
∴，，
kQCkQD＝＝，
化简得kQCkQD＝，
为使其为定值则令，解得m＝±2，
∴Q（0，2）或Q（0，﹣2）．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，属中档题．
21．已知函数f（x）＝x2lnx+x2．
（1）求f（x）的极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解．
解：（1）函数f（x）＝x2lnx+x2的定义域为（0，+∞），又f'（x）＝2xlnx+x+2x＝x（2lnx+3），
令f'（x）＜0得，令f'（x）＞0得，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）在处取得极小值，无极大值．
（2）由得xlnx﹣x2+x≥mex，
即对任意的，恒成立，
令，，则，
令φ（x）＝lnx﹣x+2，则，
所以当时φ'（x）＞0，当x＞1时φ'（x）＜0，
所以φ（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又，φ（1）＝1＞0，φ（e2）＝4﹣e2＜0，
所以当时φ（x）在（1，e2）内存在唯一的零点x0，
所以当时φ（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，x0）时φ（x）＞0，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时φ（x）＜0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以，，
因为φ（x0）＝lnx0﹣x0+2＝0，所以lnx0﹣x0+1＝﹣1，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣3，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求点B的极径．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径．
解：（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，得：x2+y2＝4x﹣3，
所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；
（2）设B（ρ，θ），ρ＞0，则由题意可知A（2ρ，θ），
将A，B坐标代入方程ρ2＝4ρcosθ﹣3得：，
∴4ρ2﹣2ρ2＝3，得（负值舍去），
∴B的极径为．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为xy＝9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|OA|•|OB|＝12，求θ0．
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M和N的极坐标方程；
（2）将θ＝θ0代入曲线M和N的方程，求得和|OA|＝ρ＝4cosθ0，结合题意求得tanθ0＝1，即可求解．
【解答】（1）解：由，可得y2＝﹣x2+4x（y≥0），
即x2+y2＝4x（0≤x≤4，y≥0），
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为．
由xy＝9，可得ρ2cosθsinθ＝9，即ρ2sin2θ＝18，
即曲线N的极坐标方程为ρ2sin2θ＝18．
（2）解：将θ＝θ0代入ρ2sin2θ＝18，可得，
将θ＝θ0代入ρ＝4cosθ，可得|OA|＝ρ＝4cosθ0，
则，
因为|OA|⋅|OB|＝12，所以tanθ0＝1，
又因为，所以．
【点评】本题考查极坐标与参数方程的应用，属中档题．
2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，则（ ）
A．|z1+1|＝|z1|
B．z1的共轭复数为z2
C．复数z1z2对应的点位于第二象限
D．复数为纯虚数
2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
3．若，则y'＝（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．方程+＝10，化简的结果是（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0
9．已知函数f（x）的导函数是f′（x），对任意的x∈R，f′（x）＜1，若f（﹣1）＝1，则f（x）＞x+2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）
10．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．x＝1是f（x）的极小值点
B．f（﹣2）＞f（﹣1）
C．函数f（x）在（﹣1，1）上有极大值
D．函数f（x）有三个极值点
11．C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|＝5a，且∠PFO＝120°，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．设F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线l：x﹣3y+c＝0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点若•（）＝0，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
14．若函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在（1，f（1））处的切线斜率为，则实数a＝ ．
15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（1，0），则|FM|＝ ．
16．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为 ．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．求适合下列条件的曲线的标准方程．
（1）实轴长为8，焦点坐标为（0，5），求双曲线的标准方程；
（2）焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
18．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
20．已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线y＝kx﹣1（k∈R）与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）＝x2lnx+x2．
（1）求f（x）的极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣3，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求点B的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为xy＝9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|OA|•|OB|＝12，求θ0．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，则（ ）
A．|z1+1|＝|z1|
B．z1的共轭复数为z2
C．复数z1z2对应的点位于第二象限
D．复数为纯虚数
【分析】求复数的模判断A；由共轭复数的定义判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断C与D．
解：∵z1＝2+i，z2＝1﹣2i，
∴|z1+1|＝|3+i|＝，|z1|＝，|z1+1|≠|z1|，故A错误；
，，故B错误；
z1z2＝（2+i）（1﹣2i）＝2﹣4i+i+2＝4﹣3i，则复数z1z2对应的点的坐标为（4，﹣3），位于第四象限，故C错误；
＝，∴复数为纯虚数，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．f（x）＝tanx B．
C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x
【分析】根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．
解：A项中，f（﹣x）＝tan（﹣x ）＝﹣tanx＝﹣f（x），
则 f（x）＝tanx 是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
B项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
C项中，f（﹣x）＝（﹣x）﹣cos（﹣x）＝﹣x﹣cosx≠±f（x），则f（x）为非奇非偶函数，不符合；
D项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，
又y＝ex在x∈R上单调递增，y＝e﹣x在x∈R上单调递减，则f（x）在x∈R上单调递增，符合．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
3．若，则y'＝（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】由常数的导数为0即可得解．
解：∵，
∴y'＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
可得＝，可得e＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属基础题．
5．方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分y≥1和y＜1去绝对值后画出函数图象，则答案可求．
解：由方程x+|y﹣1|＝0，得．
∴方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是：
故选：A．
【点评】本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了函数图象的作法，是中档题．
6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
解：①当mn＞0时，
例如：当m＝n＝1时，方程mx2+ny2＝1的曲线不是椭圆而是圆，
∴充分性不成立，
②当方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆时，
则m，n都大于0，且m≠n，得到mn＞0，∴必要性成立，
∴mn＞0是方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，属于基础题．
7．方程+＝10，化简的结果是（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．
解：方程+＝10，
表示平面内到定点F1（2，0）、F2（﹣2，0）的距离的和是常数10（10＞4）的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，
∴a＝5，c＝2，b＝＝；
∴椭圆的方程是＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．
8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0
【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x＝1代入，即可求解．
解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx（x＞0），
∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，
解得f′（1）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9．已知函数f（x）的导函数是f′（x），对任意的x∈R，f′（x）＜1，若f（﹣1）＝1，则f（x）＞x+2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）
【分析】令g（x）＝f（x）﹣x﹣2，利用导数可得函数g（x）的单调性，由已知可得g（﹣1）＝0，则问题转化为g（x）＞g（﹣1），答案可求．
解：令g（x）＝f（x）﹣x﹣2，则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，则g（x）单调递减，
又f（﹣1）＝1，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+1﹣2＝1+1﹣2＝0，
f（x）＞x+2⇔f（x）﹣x﹣2＞0⇔g（x）＞g（﹣1），得x＜﹣1．
∴f（x）＞x+2的解集是（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是基础题．
10．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．x＝1是f（x）的极小值点
B．f（﹣2）＞f（﹣1）
C．函数f（x）在（﹣1，1）上有极大值
D．函数f（x）有三个极值点
【分析】根据y＝f'（x）的图象判断f'（x）的正负，进而得到f（x）的单调性，再结合极值点的定义逐个判断各个选项即可．
解：由y＝f'（x）的图象可知，当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，
当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，
所以f（﹣2）＞f（﹣1），x＝﹣3是f（x）的极大值点，故B正确，
当x∈（﹣1，1）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在（﹣1，1）上没有极大值，且x＝1不是f（x）的极小值点，
故A，C错误，
因为x＝﹣1是f（x）的极小值点，x＝﹣3是f（x）的极大值点，x＝1不是f（x）的极值点，
所以f（x）有2个极值点，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
11．C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|＝5a，且∠PFO＝120°，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据已知判断P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|＝7a．然后在△PFF1中，根据余弦定理即可得出a，c的齐次方程，可得离心率的方程，求解即可得出答案．
解：设双曲线左焦点为F1，由已知可得P在双曲线右支上，如图所示：
根据双曲线的定义得|PF1|﹣|PF|＝2a，则|PF1|＝7a，
由题意得∠PFF1＝∠PFO＝120°，
在△PFF1中，|PF1|＝7a，|PF|＝5a，|FF1|＝2c，
由余弦定理得，即，
∴2c2+5ac﹣12a2＝0，
两边同时除以a2得2e2+5e﹣12＝0，解得或e＝﹣4（不合题意，舍去），
故．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．设F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线l：x﹣3y+c＝0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点若•（）＝0，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由向量数量积的性质，推得|F2M|＝|F2N|，由双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，结合离心率公式，可得所求值．
解：若•（）＝0，即（﹣）•（+）＝0，
可得2＝2，即有|F2M|＝|F2N|，
设|NF2|＝m，由双曲线的定义可得|NF1|＝m+2a，|MF1|＝m﹣2a，
则|MN|＝4a，取MN的中点H，连接HF2，可得HF2⊥MN，
|HF2|＝，
在直角三角形HF1F2中，tan∠HF1F2＝＝＝，
解得m＝a，
由2ccos∠HF1F2＝|HF1|＝m＝a，即有2c•＝a，
可得e＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程．
解：因为|PA|+|PB|＝10＞|AB|＝8，
由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A（﹣4，0），B（4，0）为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以c＝4，a＝5，b2＝a2﹣c2＝9，
所以点P的轨迹方程是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆定义在轨迹方程求解中的应用，属于基础题．
14．若函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在（1，f（1））处的切线斜率为，则实数a＝ ．
【分析】求出函数f（x）的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求．
解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以f'（x）＝，
所以f（x）在x＝1处的切线斜率k＝f'（1）＝1﹣a＝，
解得a＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（1，0），则|FM|＝ ．
【分析】由题意可得AM⊥AF，直线AM的方程，进而可得M的坐标，可求|FM|．
解：由抛物线C：x2＝8y方程可得2p＝8，所以p＝4，焦点F的坐标为F（0，2）．
设A（1，0），直线AF的斜率为kAF＝＝﹣2，因为以线段FM为直径的圆过点A，
所以AM⊥AF，所以直线AM的斜率为，
直线AM的方程为，
联立，解得，
∴|FM|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属基础题．
16．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为 ．
【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解．
解：圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过O点时，此时体积最大，如图所示：
设此时正方形的边长为2a，
，
设该四棱锥的高为PZ＝h（2＜h＜4），
则OZ＝h﹣2，
由勾股定理可知，OZ2+VZ2＝OV2，即（h﹣2）2+2a2＝4，
该四棱锥的体积为：＝＝，
设f（h）＝（h3﹣4h2），
则f'（h）＝﹣2h（h﹣），
当时，f'（h）＞0，f（h）单调递增，
当时，f'（h）＜0，f（h）单调递减，
故当h＝时，函数f（h）有最大值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．求适合下列条件的曲线的标准方程．
（1）实轴长为8，焦点坐标为（0，5），求双曲线的标准方程；
（2）焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
【分析】（1）由题意可知，双曲线为实轴在y轴上的双曲线，并求得c与a的值，代入隐含条件求得b，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．
（2）由题意设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），再由焦点到准线的距离为2，得p＝2，则抛物线方程可求．
解：（1）∵双曲线焦点坐标（0，5），
∴双曲线为实轴在y轴上的双曲线，且c＝5，
又实轴长为8，即2a＝8，得a＝4，
∴b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，则b＝3，
∴双曲线标准方程为：﹣＝1；
（2）由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
且p＝2，则抛物线方程为：y2＝4x．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，并考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题．
18．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
【分析】（1）利用f′（1）＝0，f′（2）＝0，可求得a，b的值．
（2）结合（1）求得f（x）在区间[0，3]上的最值，由此确定正确结论．
解：（1）f′（x）＝6x2+6ax+3b，
依题意，
解得a＝﹣3，b＝4，
此时f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在区间（﹣∞，1），（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增；在区间（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减．
所以f（x）在x＝1处取得极大值，在x＝2处取得极小值，符合题意．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，f（0）＝1，f（1）＝6，f（2）＝5，f（3）＝10，
由（1）知，f（x）在区间[0，3]上的最大值为10，最小值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
【分析】（1）设AB＝x，推得PA＝AC＝2x，由等腰三角形的性质可得AF⊥PC，再由三垂线定理可得CD⊥PC，结合三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理，由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH，MH，由三垂线定理和三角形的中位线定理推得∠EHM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，二面角E﹣AC﹣B的平面角与∠EHM互补．运用直角三角形的三角函数的定义，计算可得所求值．
解：（1）证明：设AB＝x，可得PA＝2x，
在直角三角形ABC中，AC＝＝2x，
所以△PAC是等腰三角形，
又F是PC的中点，可得AF⊥PC，
由PA⊥平面ABCD，CD⊥AC，
AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理可得CD⊥PC，
由于EF是△PCD的中位线，可得CD∥EF，
所以EF⊥PC，
又EF∩AF＝F，所以PC⊥平面AEF，
又PC⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面AEF；
（2）取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH，MH，
由EM∥PA，PA⊥平面ABCD，可得EM⊥平面ABCD，
又MH∥CD，CD⊥AC，可得MH⊥AC，
因为HM是斜线EH在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理可得AC⊥EM，
所以∠EHM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，
二面角E﹣AC﹣B的平面角与∠EHM互补．
在△ACD中，AC＝2x，∠ACD＝90°，∠ADC＝30°，
可得CD＝2x，
在直角三角形EHM中，MH＝x，EM＝x，
可得tan∠EHM＝＝，
即有∠EHM＝30°，
则二面角E﹣AC﹣B的大小为150°．
【点评】本题考查面面垂直的判定和二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线y＝kx﹣1（k∈R）与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由椭圆的性质，直接求出a，b的值；
（2）联立直线方程与椭圆方程，设出点Q的坐标，表示出QC，QD的斜率，直接计算即可解出．
解：（1）由题意可知b＝2，
且a2＝b2+c2，
∴a＝2，b＝2，
∴椭圆E的方程为；
（2）由（1）知椭圆方程为，
设Q（0，m），C（x1，y1），D（x2，y2），
，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6＝0，
∴，，
kQCkQD＝＝，
化简得kQCkQD＝，
为使其为定值则令，解得m＝±2，
∴Q（0，2）或Q（0，﹣2）．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，属中档题．
21．已知函数f（x）＝x2lnx+x2．
（1）求f（x）的极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解．
解：（1）函数f（x）＝x2lnx+x2的定义域为（0，+∞），又f'（x）＝2xlnx+x+2x＝x（2lnx+3），
令f'（x）＜0得，令f'（x）＞0得，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）在处取得极小值，无极大值．
（2）由得xlnx﹣x2+x≥mex，
即对任意的，恒成立，
令，，则，
令φ（x）＝lnx﹣x+2，则，
所以当时φ'（x）＞0，当x＞1时φ'（x）＜0，
所以φ（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又，φ（1）＝1＞0，φ（e2）＝4﹣e2＜0，
所以当时φ（x）在（1，e2）内存在唯一的零点x0，
所以当时φ（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，x0）时φ（x）＞0，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时φ（x）＜0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以，，
因为φ（x0）＝lnx0﹣x0+2＝0，所以lnx0﹣x0+1＝﹣1，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣3，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求点B的极径．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径．
解：（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，得：x2+y2＝4x﹣3，
所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；
（2）设B（ρ，θ），ρ＞0，则由题意可知A（2ρ，θ），
将A，B坐标代入方程ρ2＝4ρcosθ﹣3得：，
∴4ρ2﹣2ρ2＝3，得（负值舍去），
∴B的极径为．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为xy＝9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|OA|•|OB|＝12，求θ0．
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M和N的极坐标方程；
（2）将θ＝θ0代入曲线M和N的方程，求得和|OA|＝ρ＝4cosθ0，结合题意求得tanθ0＝1，即可求解．
【解答】（1）解：由，可得y2＝﹣x2+4x（y≥0），
即x2+y2＝4x（0≤x≤4，y≥0），
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为．
由xy＝9，可得ρ2cosθsinθ＝9，即ρ2sin2θ＝18，
即曲线N的极坐标方程为ρ2sin2θ＝18．
（2）解：将θ＝θ0代入ρ2sin2θ＝18，可得，
将θ＝θ0代入ρ＝4cosθ，可得|OA|＝ρ＝4cosθ0，
则，
因为|OA|⋅|OB|＝12，所以tanθ0＝1，
又因为，所以．
【点评】本题考查极坐标与参数方程的应用，属中档题．
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