八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共28页。
八年级数学（下）期末抽测试卷
（人教版）
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上．
2．答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 1，， C. 1，1，2 D. 5，12，15
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数




方差




如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 对于一次函数（，为常数，且）表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）

…

0
1
2
3
…

…

1
4
8
10
…

A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
6. 下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
7. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（ ）

A. 6 B. 5 C. 11 D. 16
8. 学校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时的学习成绩（小测、作业、提问等各项综合成绩）占，期中卷面成绩占，期末卷面成绩占，小字的三项成绩（百分制）依次是90分，90分，96分，则小明这学期的数学成绩是（　　）
A. 92分 B. 92.2分 C. 92.4分 D. 96分
9. 如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（ ）

A. 小明，小红都对 B. 小明，小红都错
C. 小明错误，小红正确 D. 小明正确，小红错误
10. 随着5G信号的快速发展，5G无人物品派送车已应用于实际生活中，图1所示为无人物品派送车前往派送点的情景．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（ ）

A. 派送车从出发点到派送点行驶的路程为
B. 在内，派送车的速度逐渐增大
C. 在内，派送车在进行匀速运动
D. 在内，派送车的平均速度为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使有意义，则x的取值范围是____________．
12. 某校超市销售黑色中性笔，它们的单价分别为1元、2元、5元、6元．某日的销售情况如图所示，则这天销售的所有黑色中性笔的单价的中位数是________元．

13. 把直线沿轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式为________．
14. 如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为______________．（不用化简）

15. 如图，正方形中，，是的中点，是线段上一点，射线交正方形的边于点，且，则的长可以为________．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16 计算：
（1）；
（2）．
17. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1．

（1）图（1）中正方形的面积为________，边长为________；
（2）在图（2）的方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置．
18. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成愤（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．课程成绩的数据分成6组：，，，，，，每组对应的人数如表：
组别






人数
2
6
12
14
18
8
b．课程成绩在这一组的是：
70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如表：
课程
平均数
中位数
众数

75.8

84.5

722
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为76分，课程成绩为71分．这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“”或“”），理由是________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过75.8分的人数．
19. 为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动．经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元．该校决定购买棵枣树和50棵石榴树．
（1）求枣树和石榴树的单价；
（2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案：
方案一：均按原价的九折销售；
方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售．如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售．
①分别求出两种方案的费用，关于m的函数表达式；
②请你帮助该校选择出最省钱的购买方案．
20. 如图，在平行四边形中，平分，平分．

（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形矩形？请写出证明过程．
21. 在平面直角坐标系中，直线与交于点．
（1）求，的值；
（2）已知点，过点作垂直于轴的直线交直线于点，交直线于点．若，直接写出的值．
22. 一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．如下图所示，小文对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为，2节这样的链条连在一起的总长度为，4节这样的链条连在一起的总长度为．

（1）请根据上图建立一个函数，表示这种型号自行车链条总长度随链条节数的变化规律；（自己确定其自变量和因变量，用字母表示，并直接写出其表达式）
（2）借助你建立的函数解决下列问题：
①求20节同样的链条按图中方式连在一起的总长；
②李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为，这段链条共有多少节？
23. 再读教材：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：）
第一步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步：展平纸片，按照所得点折出使则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：
（1）图③中_ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有黄金矩形，并选择其中一个说明理由．





八年级数学（下）期末抽测试卷
（人教版）
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔直接答在答题卷上．
2．答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行判断即可．
【详解】A、，被开方数中含能开得尽方因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握概念是解题的关键．
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 1，， C. 1，1，2 D. 5，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则化简即可．
【详解】解：A、无法合并计算，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是正确掌握二次根式的乘除运算法则．
4. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数




方差




如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
【详解】解：乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
应从乙和丁同学中选，
乙同学的方差比丁同学的小，
乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学；
故选：B
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5. 对于一次函数（，为常数，且）表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）

…

0
1
2
3
…

…

1
4
8
10
…

A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】经过观察5组自变量和相应的函数值得（-1，-2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y=3x+1，（2，8）不符合，即可判定．
【详解】解：把（-1，-2）和（0，1）代入得，
，
解得，，
∴一次函数的解析式为：y=3x+1，
∵（-1，-2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y=3x+1，当x=2时，y=7≠8，
∴这个计算有误的函数值是8，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键．
6. 下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】对角线互相平分四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（ ）

A. 6 B. 5 C. 11 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质证明，得到，结合勾股定理即可解答.
【详解】如图，根据正方形的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴正方形b的面积=正方形a的面积+正方形c的面积，
∴正方形c面积；
故选：A.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.
8. 学校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时的学习成绩（小测、作业、提问等各项综合成绩）占，期中卷面成绩占，期末卷面成绩占，小字的三项成绩（百分制）依次是90分，90分，96分，则小明这学期的数学成绩是（　　）
A. 92分 B. 92.2分 C. 92.4分 D. 96分
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解：
（分），
故选C．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权）．
9. 如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（ ）

A. 小明，小红都对 B. 小明，小红都错
C. 小明错误，小红正确 D. 小明正确，小红错误
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质都可以得到，即可证得，即可得出结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
射线是的角平分线，
故小明的说法正确；
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
射线是的角平分线，
故小红的说法正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质．
10. 随着5G信号的快速发展，5G无人物品派送车已应用于实际生活中，图1所示为无人物品派送车前往派送点的情景．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（ ）

A. 派送车从出发点到派送点行驶的路程为
B. 在内，派送车的速度逐渐增大
C. 在内，派送车在进行匀速运动
D. 在内，派送车的平均速度为
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．
【详解】解：由图象，可知为派送车从出发点到派送点，为派送车在派送点停留，为派送车从派送点返回出发点，
故派送车从出发点到派送点行驶的路程为，故选项A，C错误；
由图象，可知在内，相同时间段内增加的路程越来越少，说明派送车的速度逐渐减小，故选项B错误；
在内派送车行驶的路程为，故平均速度为，
故选项D正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：速度=路程÷时间．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使有意义，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性求解即可；
【详解】∵有意义，
∴，
解得：．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确计算是解题的关键．
12. 某校超市销售黑色中性笔，它们的单价分别为1元、2元、5元、6元．某日的销售情况如图所示，则这天销售的所有黑色中性笔的单价的中位数是________元．

【答案】2
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：因为销售1元的占比为，销售1元、2元的占比为，
所以销售的所有黑色中性笔的单价的中位数是2元；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了中位数的定义，读懂扇形统计图提供的信息、熟知中位数的概念是关键．
13. 把直线沿轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线沿轴向上平移个单位，所得直线的函数关系式为，即；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14. 如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为______________．（不用化简）

【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
15. 如图，正方形中，，是的中点，是线段上一点，射线交正方形的边于点，且，则的长可以为________．

【答案】或（写出一个即可）
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出，再分①当点在上时，利用“”证明，根据全等三角形对应角相等可得，证明，利用三角形的面积公式列式求解即可得到的长；②当点在上时，利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，则四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．
【详解】解：正方形中，，是的中点，
∴，
，
①当点在上时，如图1，

在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
②当点在上时，连接，如图2，

在和中，，
，
，
∵，且，
∴四边形是矩形，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或（写出一个即可）．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更加形象直观．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式，二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：

．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
17. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1．

（1）图（1）中正方形的面积为________，边长为________；
（2）在图（2）的方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置．
【答案】（1）5；；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）用大正方形的面积减去周围4个小直角三角形即可得到正方形的面积，由面积即可得到边边长；
（2）根据网格的特点作出边长为的正方形，再以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点P即为所求．
【小问1详解】
正方形的面积为，
∴，
∴边长为，
故答案为：5；
【小问2详解】
如图2中，正方形是所画的面积为8的格点正方形，
以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数为．

理由：∵，
∴四边形菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴正方形为，
以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
∴点表示的实数为．
【点睛】此题考查了勾股定理、正方形的判定和性质等知识， 熟练掌握勾股定理和正方形的判定是解题的关键．
18. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成愤（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．课程成绩的数据分成6组：，，，，，，每组对应的人数如表：
组别






人数
2
6
12
14
18
8
b．课程成绩在这一组的是：
70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如表：
课程
平均数
中位数
众数

75.8

84.5

72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为76分，课程成绩为71分．这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“”或“”），理由是________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过75.8分的人数．
【答案】（1）
（2）B，见解析 （3）180人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出m；
（2）从中位数的角度解答即可；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【小问1详解】
课程成绩小于70的有人，小于80的人，所以课程成绩的中位数在组内，
将在这一组的数据从小到大排列后，第30个数据是78.5，第31个数据是79，
所以中位数；
【小问2详解】
B，理由是：该学生课程成绩为76分，小于课程的中位数，而课程成绩为71分，大于课程的中位数；所以这名学生成绩排名更靠前的课程是B；
【小问3详解】
估计课程成绩超过75.8分的人数为（人）．
答：估计课程成绩超过75.8分的人数为180人．
【点睛】本题考查了数据分析和利用样本估计总体，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键．
19. 为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动．经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元．该校决定购买棵枣树和50棵石榴树．
（1）求枣树和石榴树的单价；
（2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案：
方案一：均按原价的九折销售；
方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售．如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售．
①分别求出两种方案的费用，关于m的函数表达式；
②请你帮助该校选择出最省钱的购买方案．
【答案】（1）枣树和石榴树的单价分别10元和8元
（2）①，；②当时，第一种方案省钱；当时，两种方案所需费用一样；当时，第二种方案省钱．
【解析】
【分析】（1）设枣树和石榴树的单价分别为x元和y元，根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y，即得出答案；
（2）①根据题意得出等量关系即可列出函数关系式；②根据题意和①中的函数关系，可列出相应的不等关系，从而可得出最省钱的购买方案．
【小问1详解】
设枣树和石榴树的单价分别为x元和y元，
根据题意有：，
解得：，
答：枣树和石榴树的单价分别10元和8元；
【小问2详解】
①根据题意可知：
方案一：
方案二：，
整理，得：．
②当时，∵，
∴此时第一种方案省钱；
当时，令，
解得：，
∴当时，第一种方案省钱，
当时，两种方案所需费用一样，
当时，第二种方案省钱．
综上可知当时，第一种方案省钱；当时，两种方案所需费用一样；当时，第二种方案省钱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用．解答本题的关键是明确题意，找出等量关系或不等关系，列出等式或不等式是解题关键．
20. 如图，在平行四边形中，平分，平分．

（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
【答案】（1）证明见解析
（2）当满足时，四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定即可得证；
（2）当满足时，四边形是矩形．证明思路：先根据平行四边形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据矩形的判定即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
在和中，
∵，
．
【小问2详解】
解：当满足时，四边形是矩形，证明如下：
四边形是平行四边形，
，
由（1）已证：，
，
，即，
四边形是平行四边形，
当满足时，则（等腰三角形的三线合一），
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
21. 在平面直角坐标系中，直线与交于点．
（1）求，的值；
（2）已知点，过点作垂直于轴的直线交直线于点，交直线于点．若，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点代入求得，将代入，即可求得的值；
（2），，根据，则，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入
即，
∴，
代入，即，
解得：；
【小问2详解】
解：依题意，，，
∵，
∴，
解得：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22. 一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．如下图所示，小文对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为，2节这样的链条连在一起的总长度为，4节这样的链条连在一起的总长度为．

（1）请根据上图建立一个函数，表示这种型号自行车链条总长度随链条节数的变化规律；（自己确定其自变量和因变量，用字母表示，并直接写出其表达式）
（2）借助你建立的函数解决下列问题：
①求20节同样的链条按图中方式连在一起的总长；
②李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为，这段链条共有多少节？
【答案】（1）
（2）①，②50．
【解析】
【分析】（1）设自行车链条总长度y随链条节数x的关系式为，然后运用待定系数法求解即可；
（2）①将代入（1）所得的解析式求得y的值即可；②将代入（1）所得的解析式求得x的值即可．
【小问1详解】
解：设自行车链条总长度y随链条节数x的关系式为
由题意可得： ，解得：
所以这种型号自行车链条总长度随链条节数的变化规律是．
【小问2详解】
解：①将代入解析式可得：
故20节同样的链条按图中方式连在一起的总长为；
②将代入解析式可得：，解得；
故这段链条共有50节．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式、根据函数值求自变量、根据自变量求函数值等知识点，求出节链条的长度y与每节长度x之间的关系是解答本题的关键．
23. 再读教材：宽与长比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：）
第一步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步：展平纸片，按照所得的点折出使则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：
（1）图③中_ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）黄金矩形有矩形，矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知：NC=BC=2，∠BCN=90°，点A为NC的中点，从而求出AC，然后利用勾股定理即可求出结论；

（2）根据矩形的性质和平行线的性质可得,然后根据折叠的性质可得，从而证出，即可证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证出结论；
（3）根据黄金矩形即可证出结论．
【详解】解：由题意可知：NC=BC=2，∠BCN=90°，点A为NC的中点
∴AC= NC=1
∴AB==
故答案为：；
四边形是菱形
如图，四边形是矩形，



由折叠得：




四边形是平行四边形

四边形是菱形
下图中的黄金矩形有矩形，矩形

以矩形为例，理由如下:
，
．
又

矩形是黄金矩形．
以矩形为例，理由如下:
，AM=2
．

矩形是黄金矩形．