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物理必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动导学案及答案
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微专题29 竖直面内的圆周运动
1．“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点最小速度vmin＝.2.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束，在最高点最小速度为0，但速度为是球对杆有压力还是拉力的分界点.3.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，通常由动能定理联系物体在两点的速度．
1.(2023·山西大同市调研)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg(g为重力加速度)，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身重力的一半，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B. C. D.
答案 B
解析 由题意可知，在最高点座椅对乘客的支持力大小为，根据牛顿第二定律可得＋mg＝m，解得v＝，故B正确，A、C、D错误．
2．(2023·北京市东城区模拟)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度自由摆下，当细绳与钉子相碰后继续向右做摆长更小的摆动．不计空气阻力，假设小球碰钉子前后无机械能损失，有关摆球在整个摆动过程中，下列说法正确的是( )
A．小球碰钉子之后，绳上拉力减小
B．碰后小球向心加速度大小不变
C．碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度
D．碰后小球最大摆角小于碰前释放摆球的摆角
答案 C
解析 由于小球碰钉子前后无机械能损失，可知细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，根据牛顿第二定律可得FT－mg＝m，可得FT＝mg＋m，可知小球碰钉子之后，绳上拉力增大，A错误；根据向心加速度与线速度关系a＝，细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，可知碰后小球向心加速度大小变大，B错误；细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，说明小球在整个摆动过程都满足机械能守恒，故碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度，设碰前释放摆球的摆角为θ1，半径为r1，碰后小球最大摆角为θ2，半径为r2，则有mgr1(1－cos θ1)＝mgr2(1－cos θ2)，又r1>r2，可得cos θ1>cos θ2，即θ1<θ2，C正确，D错误．
3.(多选)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BC
解析 小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球所受重力在背离圆心方向的分力F′的合力提供向心力，即FN－F′＝ma′，因此，外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．
4．如图所示，一质量为m的小球分别在甲、乙两种竖直固定轨道内做圆周运动．若两轨道内壁均光滑，半径均为R，重力加速度为g，小球可视为质点，空气阻力不计，则( )
A．小球通过轨道甲最高点时的最小速度为零
B．小球通过管道乙最高点时的最小速度为
C．小球以最小速度通过轨道甲最高点时受到轨道弹力大小为mg
D．小球以最小速度通过管道乙最高点时受到轨道弹力大小为mg
答案 D
解析 小球通过轨道甲最高点时，当轨道对小球的弹力等于零时，小球的速度最小，最小为，故A、C错误；小球通过管道乙最高点时，因为外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故B错误，D正确．
5．如图所示，将过山车经过两段弯曲轨道的过程等效简化成如图所示两个圆周的一部分(RA
A．在A点时合力方向竖直向上
B．在B点时合力方向竖直向下
C．在A点时所受摩擦力比在B点时大
D．在B点时所需向心力比在A点时大
答案 C
解析 过山车在两段弯曲轨道中所做的运动不是匀速圆周运动，经过A点或B点时，其合力并不指向圆心，选项A、B错误；过山车经过A点的速度大于B点的速度，在A点根据向心力公式有FNA－mg＝m，过山车在A点对轨道的压力FNA′＝FNA＝mg＋m，由题图可知，过山车在最高点B时是在轨道的外侧运动，根据向心力公式有mg－FNB＝m，对轨道的压力FNB′＝FNB＝mg－m，故FNA′>FNB′，又摩擦力Ff＝μFN，因动摩擦因数处处相等，所以FfA>FfB，选项C正确；因半径RAvB，则由向心力公式Fn＝m可知，在A点向心力较大，选项D错误．
6．(2023·重庆市南开中学高三月考)如图所示，质量为4 kg、半径为0.5 m的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A、B两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg.某时刻，A、B两球分别位于圆环最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56 N．则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
答案 C
解析 对A球，合力提供向心力，设环对A球的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，大小为28 N．设B球对环的力为FB′，由环的受力平衡可得FB′＋28 N＋m环g＝－56 N，解得FB′＝－124 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B球的力FB为124 N、方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝6 m/s，故选C.
7．(2023·海南西南大学东方实验中学模拟)汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象．如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球．当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v.已知汽车的质量为M，小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
C．甲图中力传感器的示数大小为FT1＝mg－
D．乙图中力传感器的示数大小为FT2＝mg＋
答案 A
解析 当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图甲中汽车对桥面的压力大于汽车所受重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图乙中汽车对桥面的压力小于汽车所受重力，故A正确，B错误；对题图甲中的小球受力分析如图(a)所示，根据牛顿第二定律得FT1－mg＝，则力传感器的示数大小为FT1＝mg＋，故C错误；对题图乙中的小球受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律得mg－FT2＝，则力传感器的示数大小为FT2＝mg－，故D错误．
8．(多选)如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一可视为质点的小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力．小球运动到最高点时绳对小球的拉力F与小球速度的平方v2的图像如图乙所示，已知重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的有( )
A．小球运动到最高点的最小速度为1 m/s
B．小球的质量为0.1 kg
C．细绳长为0.2 m
D．当小球在最高点的速度为 m/s时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7 N
答案 ABD
解析 在最高点，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，解得F＝m－mg，根据纵轴截距有－mg＝－1 N，可知质量为m＝0.1 kg，根据图像的斜率为＝1 kg/m，可得绳长为L＝0.1 m，故B正确，C错误；根据绳—球模型可知小球运动到最高点且速度最小时拉力为零，只有重力提供向心力，有mg＝m，解得最小速度为vmin＝＝1 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝ m/s时，根据动能定理有mg·2L＝mv22－mv12，在最低点由牛顿第二定律有F′－mg＝m，联立解得小球运动到最低点时细绳的拉力大小为F′＝7 N，故D正确．
9.(多选)如图所示，长为0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O连接．现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为mg，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为mg
D．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向
答案 AD
解析 小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，则FT－mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，选项A正确；小球通过最高点时FT′＋mg＝mω2r，解得FT′＝－mg，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为mg，选项B错误；小球通过与圆心等高点时对杆的作用力大小为FT″＝＝mg，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C错误，D正确．
10．(多选)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F—v2图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.8 m
C．小球在最高点的速度为4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
答案 BD
解析 对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F1＝20 N，则m＝＝ kg＝2 kg，小球质量为m＝2 kg，故A错误；当F2＝0时，由重力提供向心力可得mg＝，结合题图乙可知R＝＝0.8 m，故B正确；小球在最高点的速度大小为4 m/s(大于2 m/s)，小球受圆环的弹力方向向下，且F3＋mg＝，解得F3＝20 N，故C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F4－mg＝m，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝mv42，由以上两式得F4＝5mg，代入数据得F4＝100 N，故D正确．
微专题29 竖直面内的圆周运动
1．“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点最小速度vmin＝.2.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束，在最高点最小速度为0，但速度为是球对杆有压力还是拉力的分界点.3.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，通常由动能定理联系物体在两点的速度．
1.(2023·山西大同市调研)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg(g为重力加速度)，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身重力的一半，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B. C. D.
答案 B
解析 由题意可知，在最高点座椅对乘客的支持力大小为，根据牛顿第二定律可得＋mg＝m，解得v＝，故B正确，A、C、D错误．
2．(2023·北京市东城区模拟)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度自由摆下，当细绳与钉子相碰后继续向右做摆长更小的摆动．不计空气阻力，假设小球碰钉子前后无机械能损失，有关摆球在整个摆动过程中，下列说法正确的是( )
A．小球碰钉子之后，绳上拉力减小
B．碰后小球向心加速度大小不变
C．碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度
D．碰后小球最大摆角小于碰前释放摆球的摆角
答案 C
解析 由于小球碰钉子前后无机械能损失，可知细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，根据牛顿第二定律可得FT－mg＝m，可得FT＝mg＋m，可知小球碰钉子之后，绳上拉力增大，A错误；根据向心加速度与线速度关系a＝，细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，可知碰后小球向心加速度大小变大，B错误；细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，说明小球在整个摆动过程都满足机械能守恒，故碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度，设碰前释放摆球的摆角为θ1，半径为r1，碰后小球最大摆角为θ2，半径为r2，则有mgr1(1－cos θ1)＝mgr2(1－cos θ2)，又r1>r2，可得cos θ1>cos θ2，即θ1<θ2，C正确，D错误．
3.(多选)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BC
解析 小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球所受重力在背离圆心方向的分力F′的合力提供向心力，即FN－F′＝ma′，因此，外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．
4．如图所示，一质量为m的小球分别在甲、乙两种竖直固定轨道内做圆周运动．若两轨道内壁均光滑，半径均为R，重力加速度为g，小球可视为质点，空气阻力不计，则( )
A．小球通过轨道甲最高点时的最小速度为零
B．小球通过管道乙最高点时的最小速度为
C．小球以最小速度通过轨道甲最高点时受到轨道弹力大小为mg
D．小球以最小速度通过管道乙最高点时受到轨道弹力大小为mg
答案 D
解析 小球通过轨道甲最高点时，当轨道对小球的弹力等于零时，小球的速度最小，最小为，故A、C错误；小球通过管道乙最高点时，因为外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故B错误，D正确．
5．如图所示，将过山车经过两段弯曲轨道的过程等效简化成如图所示两个圆周的一部分(RA
A．在A点时合力方向竖直向上
B．在B点时合力方向竖直向下
C．在A点时所受摩擦力比在B点时大
D．在B点时所需向心力比在A点时大
答案 C
解析 过山车在两段弯曲轨道中所做的运动不是匀速圆周运动，经过A点或B点时，其合力并不指向圆心，选项A、B错误；过山车经过A点的速度大于B点的速度，在A点根据向心力公式有FNA－mg＝m，过山车在A点对轨道的压力FNA′＝FNA＝mg＋m，由题图可知，过山车在最高点B时是在轨道的外侧运动，根据向心力公式有mg－FNB＝m，对轨道的压力FNB′＝FNB＝mg－m，故FNA′>FNB′，又摩擦力Ff＝μFN，因动摩擦因数处处相等，所以FfA>FfB，选项C正确；因半径RA
6．(2023·重庆市南开中学高三月考)如图所示，质量为4 kg、半径为0.5 m的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A、B两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg.某时刻，A、B两球分别位于圆环最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56 N．则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
答案 C
解析 对A球，合力提供向心力，设环对A球的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，大小为28 N．设B球对环的力为FB′，由环的受力平衡可得FB′＋28 N＋m环g＝－56 N，解得FB′＝－124 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B球的力FB为124 N、方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝6 m/s，故选C.
7．(2023·海南西南大学东方实验中学模拟)汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象．如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球．当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v.已知汽车的质量为M，小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
C．甲图中力传感器的示数大小为FT1＝mg－
D．乙图中力传感器的示数大小为FT2＝mg＋
答案 A
解析 当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图甲中汽车对桥面的压力大于汽车所受重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图乙中汽车对桥面的压力小于汽车所受重力，故A正确，B错误；对题图甲中的小球受力分析如图(a)所示，根据牛顿第二定律得FT1－mg＝，则力传感器的示数大小为FT1＝mg＋，故C错误；对题图乙中的小球受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律得mg－FT2＝，则力传感器的示数大小为FT2＝mg－，故D错误．
8．(多选)如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一可视为质点的小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力．小球运动到最高点时绳对小球的拉力F与小球速度的平方v2的图像如图乙所示，已知重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的有( )
A．小球运动到最高点的最小速度为1 m/s
B．小球的质量为0.1 kg
C．细绳长为0.2 m
D．当小球在最高点的速度为 m/s时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7 N
答案 ABD
解析 在最高点，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，解得F＝m－mg，根据纵轴截距有－mg＝－1 N，可知质量为m＝0.1 kg，根据图像的斜率为＝1 kg/m，可得绳长为L＝0.1 m，故B正确，C错误；根据绳—球模型可知小球运动到最高点且速度最小时拉力为零，只有重力提供向心力，有mg＝m，解得最小速度为vmin＝＝1 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝ m/s时，根据动能定理有mg·2L＝mv22－mv12，在最低点由牛顿第二定律有F′－mg＝m，联立解得小球运动到最低点时细绳的拉力大小为F′＝7 N，故D正确．
9.(多选)如图所示，长为0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O连接．现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为mg，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为mg
D．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向
答案 AD
解析 小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，则FT－mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，选项A正确；小球通过最高点时FT′＋mg＝mω2r，解得FT′＝－mg，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为mg，选项B错误；小球通过与圆心等高点时对杆的作用力大小为FT″＝＝mg，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C错误，D正确．
10．(多选)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F—v2图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.8 m
C．小球在最高点的速度为4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
答案 BD
解析 对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F1＝20 N，则m＝＝ kg＝2 kg，小球质量为m＝2 kg，故A错误；当F2＝0时，由重力提供向心力可得mg＝，结合题图乙可知R＝＝0.8 m，故B正确；小球在最高点的速度大小为4 m/s(大于2 m/s)，小球受圆环的弹力方向向下，且F3＋mg＝，解得F3＝20 N，故C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F4－mg＝m，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝mv42，由以上两式得F4＝5mg，代入数据得F4＝100 N，故D正确．
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