江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析

这是一份江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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南昌二中2019—2020学年度下学期第一次月考
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少( )
A. 2人 B. 4人 C. 5人 D. 1人
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意抽取比例为，∴30岁以上的员工应抽人，故选A
考点：本题考查了分层抽样的运用
点评：熟练掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题
2.在数列中，=1，，则的值为（ ）
A. 99 B. 100 C. 199 D. 200
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知数列为等差数列，根据通项求即可.
【详解】,
是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项，属于容易题.
3.向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.
【详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，
要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，
即点所在区域面积为，
由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.
故选：C.
【点睛】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.
4.阅读下列程序：

若输入5，则程序运行的结果为 (　　)
A. 1 B. 10
C. 25 D. 26
【答案】D
【解析】
【详解】当a＝5时，条件a>5不成立，故执行ELSE后面的语句b＝a2＋1＝26.
故选：D
考点：含有条件语句程序.
5.设、满约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出约束条件的可行域，利用简单的线性规划即可求解.
【详解】由、满约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
化目标函数为，
由图可得，当直线过点时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.
6.的内角的对边分别是且满足，则是（ ）
A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理统一为角，利用三角恒等变换化简，即可求解.
【详解】由正弦定理得：
,
即
，
，
,
,

，
所以是直角三角形，
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦公式，诱导公式，属于中档题.
7.若，则按右侧程序框图运行时，得到的( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
试题分析：若输入P=0.8，因为，满足条件，进入循环：
第一次循环：，满足条件，进入循环；
第二次循环：，满足条件，进入循环；
第三次循环：，不满足条件，结束循环，此时输出n的值为4.
考点：程序框图．
点评：对于循环程序框图，如果循环次数不是太多，我们可以一一列出，如果循环次数较多，我们应该寻找规律．
8.已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. () B. () C. () D. ()
【答案】A
【解析】
【分析】
恒等式成立转化为求的最大值，根据均值不等式可求出的最大值即可.
【详解】正数，满足,
,当且仅当时，等号成立，
即，
恒成立，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，不等式恒成立，属于容易题.
9.在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，选基底，表示向量即可求解.
【详解】由等腰梯形中，，为的中点可知，
,①
②
①+②得：,
即，
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题.
10.在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差中项可化简求，再根据等比中项求出即可得解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
由，
解得，
所以在等比数列中，，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了等差中项、等比中项的性质，属于中档题.
11.小明家的晚报在下午任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率，某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号，编号为01，编号为02，依此类推，编号为90．在随机数表中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间，如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的无效数据（例如下表中的第一个四位数6548中的65不符合晚报时间）．按照从左向右，读完第一行，再从左向右读第二行的顺序，读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为（ ）
6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186
8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意读取满足条件的数据，找出左边的两位数小于右边的两位数的个数，则答案可求.
【详解】按要求读取到以下共6个数据: 1176 4685 0950 4356 4531 1157 ，
其中晚报到达时间早于晚餐时间的是1176 4685 0950 4356 1157共5个数据，
所以晚报在晚餐开始之前被送到的概率为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用随机数模拟方法来计算概率，关键是对题意的理解,属于中档题.
12.在锐角三角形ABC中,若，且满足关系式，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由结合同角三角函数基本关系，可求出B，根据正余弦定理由可得b,再利用余弦定理及均值不等式求最大值，代入面积公式即可.
【详解】由得,
所以，
即,
解得,
由锐角三角形知,
，
，
即，
得，
，当且仅当时等号成立，
解得，
,当且仅当时等号成立，
故选：C
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于难题.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知向量，若，则实数_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由向量加法的坐标公式可得，又由可得，解得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，向量，
则，
若，则，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．
14.在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.
【答案】38
【解析】
【分析】
根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．
【详解】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，
，解得：，
，
则他们成绩的方差等于38.
故答案为：38．
【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别.
15.在中，，，若此三角形有两解，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到，再根据三角形有两解，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为在中，，，
由正弦定理可得：，
即，
又三角形有两解，所以只需，即.
故答案为
【点睛】本题主要考查由三角形解的个数求参数，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
16.设等差数列的前项和为，且，，若 恒成立，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由条件求出等差数列的首项和公差，写出前n项和，通过裂项相消法求的和，由恒成立可得的最小值.
【详解】，
，
即，
由知，，
即，
所以，
，
，
，
，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，裂项相消法，恒成立问题，属于难题.
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知向量满足：，，.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用向量的数量积公式求解；（2）借助向量模的概念建立方程求解.
试题解析：
（1）设向量与的夹角为，
∵，∴，
所以，∵，∴；
（2）由，得，
∴，.
考点：向量的模的概念和数量积公式等有关知识的综合运用．
18.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求续驶里程在的车辆数；
（2）求续驶里程的平均数；
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.
【答案】（1）5辆；（2）170；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据所有长方形面积之和为1，求得未知数，计算出区间长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可；
（2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果；
（3）先计算出在中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得.
【详解】由题意可知，
∴，
故续驶里程在的车辆数为：
（2）由直方图可得：
续航里程的平均数为：.
（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为3，分别记为，
续驶里程在的车辆数为2，分别记为，
事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”
从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：
共10种情况，
事件包含的可能有共 6种情况，
则.
【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题.
19.经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0．1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】（1）速度30时，最大车流量为11．3；（2）
【解析】
试题分析：（1）将车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系（v＞0）化简为，应用基本不等式即可求得v为多少时，车流量最大及最大车流量；（2）依题意，解不等式，即可求得答案
试题解析：（1）由题意有

当且仅当，即时上式等号成立，
此时（千辆/小时）
（2）由条件得，整理得，
即，∴
故当千米/小时时车流量最大，且最大车流量11．3千辆/小时
若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在所表示的范围内．（12分）
考点：1．分式不等式解法；2．根据实际问题选择函数类型
20.在中，角、、所对的边分别为、、.
（1）若、、成等比数列，且，求的值；
（2）若、、成等差数列，且，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化切为弦函数可得，根据、、成等比数列可得，化简为，由同角三角函数关系求解即可；
（2）由条件可得,利用正弦定理可得，，写出周长，利用三角函数求值域即可.
【详解】（1）∵cosB=，
，
、、成等比数列，
，
由正弦定理得，

；
（2），、、成等差数列，
可得，即，，
由正弦定理，
即，，
，
，
的周长为




，
，
，
则，
所以，，
所以的周长的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，等差中项、等比中项，正弦定理，属于中档题.
21.自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
760
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0

对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：





m
n
82.5
3998.9
570.5

（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
【答案】（1），，；（2）二次函数模型回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
【点睛】本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
22.已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和Sn；
（3）若集合中含有4个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由，可得，利用累乘法可得；
（2）利用错位相乘法求数列的和即可；
（3）根据（2）问题转化为的解个数为4，判断的单调性即可求解,
【详解】（1）由题意得，
当时，
，
又也满足上式，故；
（2）由（1）可得 ①
∴ ②
① ②，得，
所以;
（3）由（2）可得，
所以，即.
令
则，，，，，
因为,
所以，当时，，即.
因为集合含有4个元素，所以的解个数为4，
因为，
所以
【点睛】本题主要考查了错位相减法、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、集合的性质，考查了推理能力与计算能力,属于难题.