辽宁省六校2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题 Word版含解析

这是一份辽宁省六校2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题 Word版含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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数学试题
一、单选题（共8道，每题5分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求）
1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）
A. - B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及特殊角的三角函数可得的正切值，再利用三角函数的定义列方程求解即可．
【详解】
因为角的终边上有一点，
所以，
故选：A．
【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，同时考查了三角函数的定义，属于基础题．
2.在中，角，，的对边分别为，，，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理可得答案．
【详解】由正弦定理可得，可知B正确，故选B．
【点睛】本意考查正弦定理，属于基础题．
3.在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，cosC=,选D
4.函数的定义域是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得出，解此不等式即可得出所求函数的定义域.
【详解】对于函数，，可得，解得，
因此，函数的定义域是.
故选：A.
【点睛】本题考查余弦型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除；
选项，函数在上单调递增，故排除；
选项，函数的周期是，故排除；
故选
6.设向量满足，，则等于（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】

故选B
7.已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．
【详解】由题意可知T，所以ω＝2，
函数的解析式为：f（x）＝Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0＝Atan（φ）所以φ，
图象经过（0，1），所以，1＝Atan，所以A＝1，所以f（x）＝tan（2x）则f（）＝tan（）
故答案为B.
【点睛】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．
8.已知函数的最小正周期为，且对恒成立，若函数在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简，根据周期公式与函数的最小值求出函数的解析式，从而可得函数的减区间为，利用包含关系列不等式可得结果．
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，
因对恒成立，
所以

由
可得
所以函数的减区间为
因为函数在[0，a]上单调递减，
所以，
时，，
即a的最大值是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查余弦函数周期性与单调性，属于中档题．函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间；
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
9.已知在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列条件，其中使△ABC为等腰三角形的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
选项A，由正弦值的关系可知或，错误；
选项B，由正弦值的关系可知，正确；
选项C，由正弦定理角化边可知为直角三角形，错误；
选项D，由两角和的正弦定理整理可知，正确.
【详解】选项A，或或，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，该命题是必要条件，错误；
选项B，，即△ABC为等腰三角形，正确；
选项C，，即△ABC为直角三角形，错误；
选项D，，即△ABC为等腰三角形，正确.
故选：BD
【点睛】本题考查在三角形中由三角函数的恒等变换与正弦值性质和正弦定理进行推理的背景下判定命题的充分性，属于简单题.
10.下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值即可.
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误.
故选：BC
【点睛】本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值，属于基础题.
11.给出下列命题， 其中正确命题的有：（ ）
A. 若a、b是第一象限角且a B. 不存在实数，使得；
C. 函数在单调递减；
D. 函数的图象关于点(，0)成中心对称图形．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
选项A，取特值，即可判定；
选项B，将其平方后由正弦的二倍角公式整理可知这样的角不存在；
选项C，由三角函数的性质求单调递减区间即可判定；
选项D，由三角函数的性质求对称中心即可判定.
【详解】选项A，若，此时满足a、b是第一象限角且a 选项B，因为，这样的角不存在，正确；
选项C，函数的单调递减区间为，当时，有单调递减区间，正确；
选项D，函数的对称中心的横坐标为，当时，有，此时对称中心为(，0)，正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查由三角函数解析式判定三角函数的性质及单调性与对称性，还考查了三角函数的值得比较，属于中档题.
12.如果，都是非零向量，下列判断正确有（ ）
A. 若，，则；
B. 若，则；
C. 若，则；
D. 若，则．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
选项A，由向量平行的传递性判定；
选项B，取特指时判定；
选项C，将已知关系平方可知，由向量数量积性质判定；
选项D，由已知可知的单位向量相等，则是共线向量，可判定.
【详解】选项A，由向量平行的传递性可知，正确；
选项B，当时，不成立，错误；
选项C，因为，则，所以，正确；
选项D，因为，则是共线向量，则，正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查平面向量的性质与数量积的性质判定两个向量的关系，属于简单题.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径的值.
【详解】中，，
三角形的面积，
，
故，
再由正弦定理可得，
三角形外接圆的半径，故答案为2.
【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，如果已知三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径.
14.已知，则_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
由三角函数由诱导公式与二倍角公式整理化简，再由三角函数周期性转化，最后代值求解.
【详解】由题可知，，
在三角函数中是其一个周期，则.
故答案为：0
【点睛】本题考查三角函数由诱导公式与二倍角公式整理化简并求值，属于简单题.
15.若，，则的取值范围是__________；若与的夹角为钝角，试求的取值范围_____________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由，，利用平面向量的数量积运算得到关于x函数，再利用二次函数的性质求解.根据与的夹角为钝角，则，且与不共线求解.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围是.
因为与的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
即，且，
解得或，且，
所以的取值范围是.
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16.已知，，则___________，___________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
先由，得，然后对等式两边平方，可求出，于是可得的值，再求出的值，将化简得，从而可求得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，即，
，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以


故答案为：；
【点睛】此题考查同角三角函数的关系，三角函数恒等变换公式，二倍角公式等知识，考查了运算能力，属于中档题.
四、解答题（解答应写出必要的解题步骤、文字说明等）
17.在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求与向量同方向的单位向量；（用向量的坐标表示）
（2）求向量与夹角余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出向量的坐标，进而可求得与向量同方向的单位向量为；
（2）求出向量的坐标，利用向量夹角的余弦公式可求得向量与夹角余弦值.
【详解】（1）点，，则，则，
所以，与向量同方向的单位向量为；
（2），，则，，，
所以，.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查单位向量与向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于基础题.
18.已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先利用两角和的正切公式化简，然后可解出的值；
（2）利用降幂公式和两角和的正弦公式化简，再利用同角三角函数的关系将三角函数转化为，再将的值代入可得结果.
【详解】解：（1）

（2）=
【点睛】此题考查了两角和的正弦、正切公式，降幂公式，同角三角函数的关系等知识，属于基础题.
19.函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象过点(0,1)，如图所示．

(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
【答案】（1）f1(x)＝2sin(2x＋)．（2）ymax＝2. x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
【解析】
【分析】
（1）先求周期，再求ω，根据初相得φ，根据点(0,1)求A,（2）根据图像变换得f2(x)解析式，并化简，再根据余弦函数性质求最值以及对应自变量.
【详解】(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移，
得y＝Asin(2x＋φ)的图象，于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝2.
x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
【点睛】已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
20.已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③ ；④ ．
（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求的面积．
【答案】（Ⅰ）满足①，③，④；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过余弦函数的性质可以判断①，②不能同时满足，也就可以判断出③，④能同时满足，最后判断出②不能和③，④同时满足；
（Ⅱ）利用余弦定理可以求出的值，再利用面积公式求出面积.
【详解】（Ⅰ）解：同时满足①，③，④．理由如下：
若同时满足①，②．
因为，且，所以．
所以，矛盾．
所以只能同时满足③，④．
所以，所以，故不满足②．
故满足①，③，④．
（Ⅱ）解：因为，
所以．
解得，或（舍）．
所以△的面积．
【点睛】本题考查了余弦函数的性质、余弦定理、面积公式，考查了数学推理论证能力.
21.已知，，，，(， )．
（1）若，且∥（），求的值；
（2）是否存在实数，使，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，取值范围为[-5，-1]．
【解析】
【分析】
（1）由∥（）得，再结合，从而可求出的值；
（2）若存在实数，使，则有，得，然后得，从而可求出的取值范围
【详解】解：（1）因为，，所以，
因为∥（），所以，
所以
又因为x， 故x=
（2）假设存在实数k和x，使，则，
即，
所以 ，
因，所以
【点睛】此题考查了平面向量的平行、垂直，三角函数的化简等知识，考查了计算能力，属于基础题.
22.如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设，，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），且.
【解析】
【分析】
（1）根据预先定理，先得到，再由三角形面积公式根据题意，得到，从而可得出结果；
（2）根据基本不等式求出的最小值，以及取最小值时，的值，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）在中，①，
又，即，即②，
将②代入①，得，
又，若，则不符合题意，所以，
因此；
（Ⅱ）如果是水管，
因为，
当且仅当，即时“＝”成立，
故，且.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.