河南省商丘市第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了已知全集，集合满足，则，命题，下列函数中，值域是的函数是，已知为奇函数，则，若则，已知函数，则函数的零点的个数是，若，则下列不等式成立的是，设，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
商丘市第一高级中学2022-23学年第二学期期末考试
高二数学试卷
一､单选题（共8题，每题5分，共40分）
1.已知全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知是定义域为的奇函数，时，，则（ ）
A.0 B.-1 C.-2 D.2
4.下列函数中，值域是的函数是（ ）
A. B.
C. D.
5.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知为奇函数，则（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.若则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，则函数的零点的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二､多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）
9.若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若且，则
11.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水放在室温为的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据：）
A.函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B.当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟
C.若，则
D.这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
12.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（共4题，每题5分，共20分）
13.已知或，若是的充分不必要条件，则的取值范围是__________.
14.若函数同时具有下列性质：①；②当时，.请写出的一个解析式__________.
15.若，则实数的取值范围是__________.
16.定义在上的函数满足，当时，，则函数有__________个零点.
四､解答题（共6题，17题10分，共它每题12分，共70分）
17.若二次函数的图象的对称轴为，最小值为-1，且.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
18.设.若，求的取值范围.
19.（1）求不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集，其中.
20.设为实数，已知
（1）若函数，求的值；
（2）当时，求证：函数在上是单调递增函数；
（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
21.已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的图象与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.
22.已知函数和.
（1）若存在零点，求实数的取值范围；
（2）当函数和有相同的最小值时，求.
参考答案：
1-8DACB CDAD
9.AC
利用不等式的性质判断，利用作差法判断D.
对于A：当时，成立；
对于：当时，不成立；
对于C：当时，，即成立；
对于D：，
，即不成立.
故选：AC.
10.ACD
利用不等式的基本性质､基本不等式､函数的单调性即可判断出结论.
解：若，则，所以，故A正确；
若，则，则，故B不正确；
若，则，故C正确；
设函数，则在上单调递增，若则，且，，则，故正确.
故选：ACD.
11.BCD
对，利用指对互化即可判断；对，将数据代入公式即得到；对，根据，
解出值，再代入数据即可判断；对，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.
对，由，得，
所以，整理得.A项错误；
对，由题意可知.
，B项正确；
对C，由，得，即，则.C项正确；
对，设这壸水从冷却到所需时间为分钟，则，
设这壶水从冷却到所需时间为分钟，
则，
因为，所以项正确.
故选：BCD.
12.BD
由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性.
对于①，对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；
对于②，对于定义域内的任意，当时，恒有在定义域内是减函数；
对于A：，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；
对于B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：是奇函数，并且在上是增函数，所以不是“理想函数”；
对于D：，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，在都是减函数，
且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD
13.
依题意可得推得出推不出，即可求出参数的取值范围；
解：因为是的充分不必要条件，所以推得出推不出，
又或，
所以，即；
故答案为：
14.（答案不唯一）
由已知确定函数可为指数函数､增函数，随机写出一个即可.
因为，故指数函数满足运算，又当时，，故指数函数底数应大于1，函数可为：.故答案为：
15.
由幂函数的定义域与单调性即可解出不等式.
解：由幂函数的定义域为，
且满足，
函数为偶函数，
又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，
又由，则满足，解得或且，
实数的取值范围，
故答案为：.
16.7
由题意可得的周期为4，画出的图象，由，得，所以将问题转化为的图象与交点的个数，由图象可得答案.
因为定义在上的函数满足，
所以是以4为周期的周期函数，
因为当时，，
所以的图象如图所示，
由，得，
所以将问题转化为的图象与交点的个数，
因为，
，
所以的图象与的图象共有7个交点，
所以有7个零点，
故答案为：7

17.（1）（2）
（1）由为二次函数，可设
图象的对称轴为，最小值为-1，且，

.
（2），即在上恒成立，
又当时，有最小值0，
，
实数的取值范围为.
18.，或
由，得.
由，得.于是，有四种可能，
即.
以下对分类讨论：
①若，则，解得；
②若，则，解得.
此时可化为，
所以，这与是矛盾的；
③若，则由②可知，；
④若，则，解得.
综上可知，的取值范围，或.
19.（1）或；（2）见解析
（1）可化为，即，解得或，所以不等式的解集为或.
（2）当时，不等式的解集为，
当时，不等式可化为，不等式的解集为，
当时，不等式可化为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为或，
当即时，不等式的解集为或.
20.（1）；（2）证明过程见解析；（3）.
（1）；
（2），当时，解析式可化简为：，设是上任意两个不相等的实数，则有
，
因为，所以，因此有
，所以函数是上的递增函数；
（3）当时，而，所以，因为，所以有在恒成立，设，对称轴为：，故在上是增函数，要想恒成立，只需
该不等式恒成立，故；
当时，，此时函数是单调递增函数，要想在上恒成立，只需这与矛盾，故不成立；
当时，，
当时，函数是单调递增函数，当时，由（2）可知函数是单调递增函数，所以函数在时，最小值为
要想在上恒成立，只需，而，所以，综上所述：的取值范围为：.
21.（1）
（2）
（1）由，
，
；
（2）由题方程只有一解，
即有且只有一个实根，
令，则，
从而方程有且只有一个正实根，
当时，（舍去），
当时，若，则或，
但时，根，舍去.时，根为，符合题意.
若，则，解得，
从而所求的范围是.
22.（1）（2）
（1）因为，所以，
①当时，，此时在单调递增，
，所以在存在唯一零点，
所以在存在唯一零点；
②当时，，所以在无零点；
③当时，，
此时在单调递减，单调递增，
所以，且，
若存在零点，则只需要即可，
所以，
由①②③可得，实数的取值范围；
（2）由（1）知，且.
函数的定义域为，导函数，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.