10.1 电势能和电势-高一物理同步考点剖析讲义（人教版必修第三册）

10.1 电势能和电势

知识点1：静电力做功
（1）特点
在匀强电场中移动电荷时， 静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电
荷经过的路径无关。对于非匀强电场也是成立的。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。
（2）静电力做功过程推导

①q沿直线从A移向B，在这个过程中q受到静电力F与位移AB的夹角始终为θ，如上图所示。静电力做的功为W＝F ×cos θ×|AB|＝qE×|AM|。
②q沿折线AMB从A点移动到B点，在位移AM上静电力做功W1＝qE×|AM|，在线段MB上，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，W2＝0。则在整个移动过程中静电力对q所做的功为：W＝W1＋W2＝qE×|AM|。
③q沿任意曲线ANB从A点移动到B点，如上图所示，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想q都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的， 各小段沿电场方向移动的位移之和等于|AM|。因此，q沿任意曲线从A点移动到B点静电力所做的功也是W＝qE×|AM|。
结论：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。这个结论对于非匀强电场也是成立的。

静电力做功的特点：不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。


（5）静电平衡的特征

静电力做功的特点
1．粗细均匀的圆形绝缘环位于空间直角坐标系中的xOy平面内，其几何中心与坐标原点O重合，处于每个象限的圆环都均匀带有相同电量的电荷，电性如图所示。点1、2，3、4，5、6分别位于z、x、y轴上，它们与原点O间距相同，以下说法正确的是（　　）

A．把一个正电荷沿z轴从点2移动到点1电场力先做正功再做负功
B．把一个正电荷沿x轴从点4移动到点3电场力先做正功再做负功
C．把一个正电荷沿直线从点4移动到点6电场力先做正功再做负功
D．把一个正电荷沿直线从点5移动到点1电场力先做正功再做负功
【答案】C
【详解】A．由对称性分析可得z轴上各点电场强度都为零，在z轴上移动电荷都不做功，故A错误。B．x轴上各点电场强度方向相当于关于x轴对称的等量异种电荷电场的叠加，则电场强度方向都垂直于x轴，在x轴上移动电荷都不做功，故B错误。C．根据等量异种电荷电场分布特点可知，点4处电场强度方向沿y轴负方向，点6处电场强度方向沿x轴负方向，把一个正电荷沿直线从点4移动到点6电场力电场力与位移夹角先是锐角后是钝角，因此先做正功再做负功，故C正确。
D．根据等量异种电荷电场分布特点可推出，yOz平面电场线方向垂直与平面，则电场力方向与运动方向垂直，点5移动到点1电场力不做功，故D错误。
2．图中的虚线为真空中两个半径相同的带电金属球体之间的部分电场线，电场线关于两球心连线的垂直平分线OO'对称，a和a'、b和b'分别关于OO'对称。下列说法正确的是（　　）

A．两个金属球一定带同种电荷
B．a、a'两点的电场强度相同
C．b、b'两点的电场强度相同
D．将一电荷量为q的负电荷从a移动到a'，静电力不做功
【答案】C
【详解】A．该电场与等量异种点电荷形成的电场类似，由点电荷的电场强度特点及电场强度叠加原理可知，两个带电金属球一定带异种电荷，故A错误；BC．a、a'两点的电场强度大小相等，方向不同，b、b'两点的电场强度相同，故B错误，C正确；D．若左侧的金属球带负电，电场强度方向指向左侧，则将一带电荷量为q的负电荷从a移动到a'，静电力做正功，反之静电力做负功，故D错误。

知识点2：电势能
（1）定义
电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。
（2）电势能与电场力做功的关系
电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。
（3）大小
电势能的大小等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。
（3）零势能点的选取
通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。
（4）对电势能的理解

（5） 电势能大小的判断

（5）电势能与重力势能的比较
物理量
电势能
重力势能
定义
电场中的电荷具有的势能
重力场中的物体具有的势能
做功特点
只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量
系统性
电荷和电场
物体和地球
相对性
电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功
物体在某点的重力势能等于把物体从该点移到零势能位置时重力做的功
区别
电荷有极性
物体无极性
（6）Ep­x图像
类型
电势能与位移变化
图像

规律
反映了电势能随位移变化的规律。
曲线斜率
图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小
分析方法
①根据电势能的增减和电荷电性确定场强的方向；②根据电势能随位移的变化情况利用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化情形。
注意
只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。

电势能的概念及其相对性
3．两个可看成点电荷的物体，所带的电荷量分别为2q和，两者在空间的电场线分布如图所示，以为圆心作圆，a、b两点为圆和两电荷连线的交点，过的中心作两电荷连线的垂线，c、d两点为垂线和圆的交点，以无穷远为电势零点，点电荷在空间某点与电荷距离为r处产生的电势，以下说法正确的是（　　）

A．a点的场强小于b点的场强
B．a点的场强大于d点的场强
C．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能先减小后增大
D．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能一直减小
【答案】B
【详解】A．两点电荷在a点产生的场强方向相同，在b点产生的场强方向相反，在圆上产生的场强大小相同，2q在a点产生的场强大于在b点产生的场强，根据矢量叠加，a点的场强大于b点的场强，A错误；B．同时2q在a点产生的场强大于在d点产生的场强，且两点电荷在d点产生的夹角大于零，a点的场强大于d点的场强，B正确；CD．电势是标量，根据公式，在圆上产生的电势相等，且为负值，从a点经c点到b点，2q产生的电势越来越小，且为正值，则
电子带负电，根据可知电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能一直增大，CD错误。
4．如图所示，在x轴相距为L的两点固定两个等量正负点电荷+Q、-Q，虚线是以+Q所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列判断正确的是（　　）

A．b、d两点处的电场强度相同
B．a点的电场强度大于c点的电场强度
C．将一带正电的试探电荷+q沿圆周由a点移至c点，电荷+q的电势能减小
D．将一带负电的试探电荷-q沿圆周由b点移至c点，电荷-q的电势能减小
【答案】C
【详解】A．根据等量异种电荷的电场线分布特点可知，b、d两点处的电场强度方向不同，故A错误；B．+Q、-Q 在a点的电场强度分别为， 且方向相反，则a点电场强度为，+Q、-Q 在c点的电场强度分别为，，且方向相同，则c点电场强度分别为，可知，a点的电场强度小于c点的电场强度，故B错误；C．根据等量异种电荷电势分布特点，a点电势为正值，c点电势为零。则将一带正电的试探电荷+q沿圆周由a点移至c点，电荷+q的电势能减小，故C正确；D．同C选项，b点电势为正值，将一带负电的试探电荷-q沿圆周由b点移至c点，电荷-q的电势能增大，故D错误。
带电粒子在电场中的电势能
5．如图所示，一个正方体，其上、下、左、右表面的中心分别为E、F、G、H，在E、H两点固定电荷量为的点电荷，在G、F两点固定电荷量为的点电荷，下列说法正确的是（　　）

A．图中A、两点电势不相等
B．一带负电的试探电荷在点的电势能大于它在C点的电势能
C．一带正电的试探电荷从D点沿直线移到点其电势能先增大后减小
D．移去G、H两点的点电荷，D点和点场强不同
【答案】B
【详解】B．因距离两个负电荷G、F较近，而C点距离两个正电荷E、H较近，可知点电势低于C点的电势，则一带负电的试探电荷在点的电势能大于它在C点的电势能，选项B正确；AC．因平面ADC′B′是平面EHFG的中垂面，则平面ADC′B′是等势面，图中A、两点电势相等，一带正电的试探电荷从D点沿直线移到点其电势能不变，选项AC错误；D．移去G、H两点的点电荷，由对称性可知，D点和点场强相同，选项D错误。
6．图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带正电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定（　　）

A．M点的场强大于N点的场强
B．M点的电势低于N点的电势
C．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
D．粒子在M点的动能大于在N点的动能
【答案】C
【分析】本题考查电场强度、电势、电势能等知识，意在考查学生的分析能力。【详解】A．电场线密集的地方电场强度大，M点的场强小于N点的场强，A错误；B．沿着电场线方向电势降低，M点的电势高于N点的电势，B错误；C．正电荷在电势高的地方电势能大，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能。C正确；D．粒子由M到N电场力做正功，动能增加，故粒子在M点的动能小于在N点的动能，D错误。
利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化
7．如图所示，是竖直平面内圆的一条竖直直径，是该圆的另一条直径，，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆。带等量负电荷的相同小球从O点以相同的动能沿不同方向射出，小球能够到达圆周上任意一点。小球在经过这些点时，过点A的小球的动能最小。忽略空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）

A．可以断定电场方向由C指向A
B．小球经过圆周上的不同点时，过B点的小球的动能和电势能之和最小
C．若小球带电量和质量分别为q和m，则电场强度的最小值为
D．小球经过圆周时，机械能最小的小球应经过圆弧上的某一点
【答案】B
【详解】A．在这个电场中，小球受到重力与电场力影响，在A点动能最小，速度也最小，说明OA方向发射的小球克服合力做功最大，也就是说在这个电场跟重力场中，合力方向是OC，对O点小球受力分析，重力竖直向下，合力方向指向OC，则电场力方向指向为OB与OC之间，即电场方向应该是由O指向AD弧方向，故A错误；B．由于只有重力和电场力做功，故任何点的小球，动能、重力势能、电势能之和为定值，显然B点的重力势能最大，那么肯定B点的动能与电势能之和最小，故B正确；C．合力方向一定时，已知其中一个分力的大小和方向，则当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小，因此可知电场力垂直于OC向右时最小，最小为，则电场强度的最小值为，故C错误；D．机械能（重力势能+动能）最小，即电势能最大的地方，应该在弧线AD（劣弧）之间，故D错误。
8．如图所示，两对等量异种电荷固定在正方形的四个顶点上，K、L、M、N是正方形四边的中点，用一个小型金属箱将其中一个正电荷封闭，并将金属箱外壳接地，则（　　）

A．M、N两点处电场强度相等
B．O点处电场强度为0
C．将一带正电试探电荷从K移动至L点，电场力做功为0
D．将一带负电试探电荷从K移动至L点，电场力做正功
【答案】C
【详解】A．由于一个正电荷封闭，而M、N两点关于两个负点电荷和剩余一个正点电荷对称，所以根据电场强度的叠加可知，M、N两点处电场强度大小相等，方向不同，故A错误；B．若其中一个正电荷不封闭，O点处的电场强度为零，而现在剩余三个点电荷在O点处的合场强不为零，故B错误；CD．由于K、L两点电势相等，所以将试探电荷由K移动到L，试探电荷的电势能不发生变化，所以电场力做功为零，故C正确，D错误。
电势能-位移图像
9．如图甲，A、B是某电场中的一条电场线上的两点，一带负电的粒子从点由静止释放，仅在静电力的作用下从点运动到点，其运动的图像如图乙所示。取A点为坐标原点，且规定，方向为正方向建立轴，作出了所在直线的电场强度大小、电势、粒子的电势能，随位移的变化的图像、图像、图像，其中可能正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】AB．根据图像可知，粒子的加速度在逐渐减小，粒子所受电场力在逐渐减小，电场强度随位移在逐渐减小，AB错误；C．粒子带负电，电场力方向从指向，电场强度方向从指向，故从到电势逐渐升高，由于电场强度逐渐减小，故图像的斜率逐渐减小，C正确；
D．从到电势能逐渐减小，但由于电场力减小，图像的斜率逐渐减小，D错误。
10．一电子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0~x1段是曲线，x1~x2段是平行于x轴的直线，x2~x3段是倾斜直线，下列说法正确的是（　　）

A．从O到x1电势逐渐降低 B．x1处的电势比x3处高
C．x1~x2段电场强度不为零 D．x2~x3段的电场强度减小
【答案】A
【详解】A．电子带负电，电势能越大，电势越低，由图可知，从O到x1电势能增大，则电势逐渐降低，A正确；B．电子在x1处的电势能比x3处大，则x1处的电势比x3处低，B错误；C．x1~x2段电势能不变，电场力不做功，则电场强度为零，C错误；D．x2~x3段电势能随距离均匀较小，电场力做功等于电势能的减少量，则电场力不变，电场强度不变，D错误。

知识点3：电势
（1） 定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。

（2） 表达式：，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。
（3） 对电势的理解


①电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。
解释：从下图φ－x上可知该图像的斜率为电场强度，斜率为零时电势可以不为零。（从数学积分角度，电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为零）

②沿电场线线方向电势逐减降低。
解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。

③沿着电场线方向电势降低最快。
解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。

（4）电势高低判断方法

（5）电势与电势能的比较

电势φ
电势能Ep
定义
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值
电荷在电场中具有的能叫做电势能
单位
伏特V
焦耳J
物理意义
反映电场能的性质的物理量
反映电荷在电场中某点所具有的能量
影响因素
电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关
电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的
大小
规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。
对于正点电荷，其电势能的正负跟电势
的正负相同；对于负点电荷，其电势能
的正负跟电势的正负相反。
联系
φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。
（6） φ－x图线
①正负点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)，如下图所示：

②两个等量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示：

两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图象，如下图所示：


特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。
③两个异种量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示：


特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。
④分析方法：
典型图像
分析思路

可以直接判断各点电势的大小，根据电势高低关系确定电场强度的方向；图线的斜率的绝对值为电场强度的大小，当图线存在极值时，表示电场强度为零；分析电荷移动时电势能的变化；判断电场类型，如果图像是曲线（场强大小变化），该电场为非匀强电场；如果图像是倾斜的直线（场强大小不变），该电场为匀强电场。

电势的概念、定义式、单位和物理意义
11．如图所示，空间中存在A、B、C、D四个点恰好构成一个棱长为a的正四面体，其中在水平面上的A、B、C三个顶点各固定一个电荷量为的点电荷，另一个质量为m的点电荷M恰好可以静止在D点。把该点电荷M从D点移动到无穷远处，电场力做功为W。不考虑点电荷M对电场的影响，无穷远处电势为零，静电力常量为k，重力加速度为，则D点处的电势为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过D点做平面ABC的垂线DO，如图所示

由几何关系可得，，，根据点电荷M恰好可以静止在D点，设点电荷M的电荷量，可得，代入数据，解得
把该点电荷M从D点移动到无穷远处，电场力做功为W，即D点处的电势能为W，由公式可得D点处的电势为。
12．如图甲所示直线是一条电场线，A、B是该线上的两点。一正电荷由A点以一定初速度沿电场线从A运动到B，运动过程中的v-t图线如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．A、B两点的加速度相比一定是
B．A、B两点的电势相比一定是
C．A、B两点的场强大小相比一定是
D．该电荷在两点的电势能大小相比一定是
【答案】A
【详解】A C．由v—t图线的斜率表示加速度，则正电荷加速度逐渐减小，该电场为场强逐渐减小，EA > EB，C错误；A正确；BD．正电荷从A点运动到B点，速度减小，则电场力做负功，电势能增加，场强方向由B点指向A点，根据沿电场线电势降低，故，BD错误。
电势高低的判断
13．如图所示，带箭头的直线是某一电场中的一条电场线，在这条线上有A、B两点，用EA、EB表示A、B两处的场强，φA、φB表示A、B两处的电势，则（　　）

A．A、B两处的场强方向相同
B．因为A、B在一条电场线上，且电场线是直线，所以
C．电场线从A指向B，所以
D．沿着电场线方向，电势升高，所以
【答案】A
【详解】A．A、B两处的场强方向相同，均由A点指向B点，A正确；BC．只有一条电场线，无法判断电场强度的大小，BC错误； D．沿着电场线方向，电势降低，所以，D错误。
14．如图所示，在水平向右、大小为的匀强电场中，在点固定一电荷量为的正电荷，、、、为以为圆心、半径为的同一圆周上的四点，、连线与电场线平行，、连线与电场线垂直，则（    ）

A．A点和C点的电场强度相同
B．点电场强度大小可能为0
C．将一正电荷从沿圆周移动到，电势能不变
D．、、、四个点中点电势最高
【答案】B
【详解】A．点电荷在A、C两点产生的电场强度大小相等、方向相反，根据电场强度的叠加法则可知A点和C点的电场强度大小相同但方向不同，故A错误；B．点电荷在D点产生的电场强度与匀强电场的电场强度方向相反，若两者大小相等，则D点电场强度大小为0，故B正确；C．将一正电荷从沿圆周移动到，点电荷的电场对正电荷q做功为零，匀强电场对正电荷q做正功，所以正电荷q的电势能减小，故C错误；D．在点电荷的电场中，A、B、C、D四点电势相等，在匀强电场中，沿电场线电势降低，所以、、、四个点中点电势最低，D点电势最高，故D错误。
电势变化与电场线分布的关系
15．某电场的电场线分布如图所示，则（　　）

A．电荷P带负电
B．c点的电势低于d点的电势
C．正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
【答案】C
【详解】A．电场线从正电荷出发，由电场线分布可知，电荷P带正电，故A错误；B．由沿着电场线的方向电势逐渐降低，可知c点的电势高于d的电势，故B错误；C．因c点的电场线较d点密集，可知c点的场强较大，正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力，故C正确；
D．a点的电场线比b点较稀疏，则a点的电场强度小于b点的电场强度，故D错误。
16．如图所示，曲线为一带负电的粒子在某点电荷产生的电场中的部分运动轨迹，P点为轨迹的最低点，以P点为坐标原点建立直角坐标系，粒子的运动轨迹关于y轴对称，Q点是第Ⅰ象限内轨迹上的一点。粒子只受电场力的作用。下列说法正确的是（　　）

A．点电荷一定带负电
B．点电荷一定在y轴负半轴上的某处
C．Q点的电势一定比P点的电势高
D．粒子在P、Q两点的动能与电势能之和一定相等
【答案】D
【详解】AB．做曲线运动的粒子，受力的方向总是指向运动轨迹凹侧，根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，利用轨迹的对称性可知，若点电荷在带负电，一定在y轴的负半轴某处；若点电荷在带正电，一定在y轴的正半轴某处，A、B错误；C．沿着电场线，电势逐渐降低，若点电荷带负电，可知Q点比P点的电势高；若点电荷带正电，由于无法判断Q点和P点到正点电荷的距离大小，因此无法判断Q点与P点电势的高低，C错误；D．由于在整个运动过程中，只有电场力做功，因此粒子在P点和Q点的动能与电势能之和保持不变，D正确。
带电体周围的电势分布
17．如图所示，为两个带等量正电荷的固定点电荷，竖直线为两点电荷连线的中垂线，O点为垂足，。现将一带正电液滴从A点由静止释放，液滴到达B点时的速度大小为v且能到达O点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．在中垂线上，O点的电势最低
B．液滴从A点运动到点的过程中机械能先增大后减小
C．液滴到达点时的速度大小为
D．液滴到达点时的速度大小为
【答案】C
【详解】A. 根据等量正电荷周围的电势分布可知，在中垂线上，O点的电势最高，选项A错误；B. 液滴从A点运动到点的过程中，电场力先做负功，后做正功，则机械能先减小后增大，选项B错误；C. 因B点和B′点的电势相同，则液滴在两点的电势能相同，则从B到B′由动能定理
，解得液滴到达点时的速度大小为，选项C正确；D. 因A点和A′点的电势相同，则液滴在两点的电势能相同，则从A到A′由动能定理，，解得液滴到达A′点时的速度大小为，选项D错误。
18．两半径相等的半球球壳Ⅰ和Ⅱ彼此靠的很近，间距可忽略，两半球壳均匀带有正电荷，电荷量均为q，O为球心，A为球壳外一点，AO＝d，如图所示，AO垂直于两半球截面。球壳Ⅰ在A点形成的电场强度为E1，规定距O点无限远处电势为零，下列说法不正确的是（　　）

A．O点电场强度为零
B．球壳Ⅰ在O点形成的电场强度方向水平向右
C．球壳Ⅱ在A点形成的电场强度大小为
D．球壳Ⅰ和球壳Ⅱ在A点形成的电势相等
【答案】D
【详解】A．球壳靠的很近，形成类静电屏蔽，内部场强为零，故A正确；B．由于带正电，根据对称性可以判断，球壳Ⅰ在O点形成的电场强度方向水平向右，故B正确；C．把两球壳看成整体，在A点形成的电场强度为，方向沿OA从O指向A两球壳在A点分别形成的电场强度方向均沿OA从O指向A，则有E＝E1＋E2，解得，球壳Ⅱ在A点形成的电场强度大小为
故C正确；D．电势是标量，球壳Ⅰ和球壳Ⅱ所带的正电荷量相等，壳Ⅱ距A点距离近，形成的电势高，故D错误。
电势-位移图像的物理意义
19．一电子只在静电力作用下沿+x方向运动，其所在位置处的电势Φ随位置x变化的图线如图中抛物线所示，下列说法正确的是（　　）

A．x1与x3，处的电场方向相同
B．从x1运动到x2，电场力对电子做正功
C．电子在x1处的速率小于在x3处的速率
D．电子从x2运动到x3，加速度逐渐减小
【答案】C
【详解】A．根据电势变化可知，x1的电场方向沿x轴正方向，x3处的电场方向沿x轴负方向，A错误；B．从x1运动到x2，电势降低，电子电势能增大，故电场力对电子做负功，B错误；C．电子运动过程中仅电场力做功，故电子电势能与动能的总和不变，电子在x1处的电势能大于在x3处的电势能，故电子在x1处的速率小于在x3处的速率，C正确；D．由图像的斜率变化可知，电子从x2运动到x3，加速度逐渐增大，D错误。
20．如图甲所示，在轴上固定两个电量分别为+3q、-q的点电荷，其中负电荷固定在坐标原点，两电荷的间距为L。如图乙所示是两电荷所形成的电场的电势在轴上的分布图像，规定无限远处电势为0，则轴上电势最高为的点距离坐标原点的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】图像上任意一点切线斜率的绝对值都表示电场强度的大小，由图乙可知轴上电势为的点，对应的切线斜率为零，则此点处的电场强度为零。设该点到坐标原点的距离为，则的点电荷在该点产生的电场强度的大小为，的点电荷在该点处产生的电场强度的大小为，该点的场强为零，所以可知正负电荷在该点产生的场强大小相等、方向相反，合场强为零，则有，解得。
等量同种电荷周围电势的分布
21．如图所示，在两个等量负点电荷形成的电场中，O点是两电荷连线的中点，a、b是该线上的两点，c、d是两电荷连线中垂线上的两点，acbd为一菱形。则下列说法正确的是（　　）

A．a点的场强一定大于b点的场强
B．a点的场强一定大于O点的场强
C．负粒子从c点运动到d点，电场力做负功
D．负粒子从c点运动到d点，电场力不做功
【答案】B
【详解】AB．由等量同种电荷电场的分布可知，Ea与Eb大小相等，大于，故A错误，B正确；CD．由等量同种电荷等势面的分布可知，从c到d，电势先降低再升高，负粒子从c点运动到d点，其电势能先升高再降低，所以电场力先做负功再做正功，总功为0，故CD错误。
22．两个等量同种正点电荷固定于光滑水平面上，两点电荷连线的中垂线上有A、B、C三点如图所示（中垂线也在水平面内），一个带电小物块从C点由静止释放，沿路径C-B-A运动，小物块运动过程中的加速度a、速度v、电势能Ep以及从C→A的电势随时间变化的关系图像可能正确的是（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A．因等量同种电荷连线的中垂线上各点的场强不等，物块沿路径C-B-A运动时，所受的电场力可能一直增加，也可能先增加后减小，且变化不是均匀增加的，则加速度随时间的变化不是直线，选项A错误；B．物块沿路径C-B-A运动时，加速度先增加后减小或一直增大，则v-t图像的斜率先增加后减小或逐渐增大，选项B正确；C．带电小物块从C点由静止释放，沿路径C-B-A运动，则电场力一定是做正功，则电势能一直减小，选项C错误；D．距离正电荷越近，电势越高，则从C→A的电势逐渐降低，选项D错误。
等量异种电荷周围电势的分布
23．如图所示是等量异种点电荷形成电场中的一些点，O是两电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则（　　）

A．B、O、C三点比较，O点场强最弱，B点电势最高
B．E、O、F三点比较，O点电势最高、场强最弱
C．A、D两点场强相同，电势相同
D．正试探电荷沿连线的中垂线由E点运动到F点，电场力先做负功后做正功
【答案】A
【详解】A．根据等量异种电荷的电场线分布规律可知，B、O、C三点位置处，O点处电场线分布要稀疏一些，即B、O、C三点比较，O点场强最弱，B、O、C三点位置处的电场线由，根据沿电场线电势降低，可知，B点电势最高，A正确；B．根据等量异种点电荷的等势线分布规律可知，中垂线本身就是一条等势线，即E、O、F三点电势相等，根据等量异种电荷的电场线分布规律可知，E、O、F三点位置处，O点处电场线分布要密集一些，即O点场强最大，B错误；C．A、D对O对称，根据等量异种电荷的电场线分布规律可知，A、D两点位置处场强大小相等，方向相同，即这两位置的场强相同，根据等量异种电荷的电场线分布规律可知，A位置处电场线由A处指向无穷远，即A位置的电势比无穷远沿高，而D位置处电场线由无穷远指向D位置，即D位置的电势比无穷远沿低，则A点电势比D点高，C错误；D．根据等量异种点电荷的等势线分布规律可知，中垂线本身就是一条等势线，则正试探电荷沿连线的中垂线由E点运动到F点，电场力不做功，D错误。
24．空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P为正电荷。P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间电势差相等，a、b、c、d为电场中的4个点。下列说法正确的是（    ）

A．P、Q两点处的电荷带同种电荷
B．c点与d点场强方向相同，a点电场强度大于b点电场强度
C．a点电势高于b点电势，c点电势等于d点电势
D．电子在a点电势能比在b点的电势能大
【答案】C
【详解】A．由等势面作出电场线，可知P、Q两点处的电荷带异种电荷，故A错误；

B．c点与d点场强方向相同为水平向右，a点电场强度小于b点电场强度，故B错误；C．电场线从高电势面指向低电势面，所以a点电势高于b点电势，c点电势等于d点电势，故C正确；D．a点电势高于b点电势，由可知电子在a点电势能比在b点的电势能小，故D错误。
等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像
25．如图所示，一圆环水平放置，圆心为，其上放置四个电荷量相等的点电荷，这四个点电荷处于互相垂直的两直径的两端，一直径两端的电荷均为正电荷，另一直径两端的电荷均为负电荷。为圆环的中轴线，且、两点关于点对称，取无穷远处电势为零。下列说法正确的是（　　）

A．点处的电场强度不为零
B．电子从点沿直线移至点的过程中电势能减小
C．上各点的电势均为零
D．质子从点沿直线移至点的过程中所受电场力一直减小
【答案】C
【详解】A．O点处于两对等量同种电荷的中点，则合电场强度为零，故A错误；BC．、位于两等量异号电荷的中垂线上，则、在零势面上，电子从点沿直线移至O点的过程中电势能不变，B错误，C正确；D．、位于两对等量同号电荷的中垂线上，两正电荷和两负电荷的电场强度等大反向，故、连线上合电场强度处处为零，则质子所受的电场力为零，D错误。
故选C。
26．如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定两个等量正点电荷A和B，O点为AB连线的中点，C、D为AB连线上关于O点对称的两个点，且CO=OD=L，一带负电的可视为点电荷的小球以初速度v0从C点运动到D点，取无穷远处的电势φ=0，以C点为坐标原点，向右为x轴的正方向，下列关于电势φ、电场强度E、小球的电势能Ep及动能Ek随小球运动的位移x变化的图像，可能正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】AC．从C点到D点，电场线方向先向右后向左，则电势先降低后升高，且电势都大于零，并关于O点对称。小球带负电所以小球的电势能先增大后减小，小球在C、D两点处的电势能相同，故A正确，C错误；D．由于小球的电势能先增大后减小，在C、D两点处的电势能相同，由能量守恒定律得知，动能先减小后增大，在C、D两点处的动能相同，故D错误；B．设AC＝BD＝r，点电荷A和B的电荷量大小为Q，则当位移为x时，场强为，由数学知识得知E与x是非线性关系，图像是曲线，故B错误。
等量异种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像
27．如图所示，为正三角形，和边上放有带等量异种电荷的绝缘细棒，O为边中点，D为中垂线上O点右侧的一点，P为上的一点，选无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（　　）

A．O点和D点场强可能大小相等，方向相同
B．D点的电势一定高于P点
C．将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能增加
D．将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做负功
【答案】B
【详解】A．将两带电绝缘细棒看成无数对等量异种电荷，可知中垂线上各点场强竖直向下，根据对称性和电场叠加原则可知O点和D点场强方向均竖直向下，由于D点比O点离带电体远，所以D点场强小于O点场强，A错误；BCD．根据前面类比等量异种电荷电势分布情况可知，AD为一条电势为零的等势线，D点与O点电势相同，将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能不变；又因为沿着电场线方向电势降低，可得O点的电势一定高于P点，即有D点的电势一定高于P点；所以将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电势能减小，电场力做正功，B正确，CD错误。
28．如图，O₁和O₂为半径相同的两圆的圆心，两圆相交于A、B两点，两圆圆心O₁、O₂的连线与两圆分别相交于C、D两点，A、B的连线与两圆圆心O₁、O₂的连线相交于O点。在圆心O₁和O₂处分别放置电荷量为+Q（Q>0）和-Q（Q>0）的点电荷，下列判断正确的是（　　）

A．C、D两点电场强度相同，电势也相同
B．将一正点电荷沿A、B连线从A点移动到B点的过程中，静电力先做正功再做负功
C．一负点电荷在A点受到的静电力一定小于在C点受到的静电力
D．一负点电荷在A点的电势能一定小于在C点的电势能
【答案】C
【详解】A．根据等量异种点电荷电场强度分布具有对称性，C、D两点电场强度相同；电场线的方向由O1到O2，O1点电势大于O2点电势，A错误；B．A、B连线在零势面上，将一正点电荷沿A、B连线从A点移动到B点的过程中，静电力一直不做功，B错误；C．根据等量异种点电荷电场强度分布具有对称性，根据得 ，一负点电荷在A点受到的静电力一定小于在C点受到的静电力，C正确；D．一负点电荷在A点到O点，电场力不做功，电势能不变；一负点电荷从O点到C点，电场力做正功，电势能减小；所以一负点电荷在A点的电势能一定大于在C点的电势能，D错误。
点电荷周围电势的表达式与多个电荷的叠加
29．如图所示，在菱形ABCD三个顶点A、B、D各固定一个带正电的点电荷，C点固定一个带负电的点电荷，四个电荷的电荷量绝对值相等，O是菱形的中心。现将B点处电荷沿OB的延长线向右缓慢移至无穷远处，此过程中（　　）

A．O点电场强度变小 B．O点的电势升高
C．C点处电荷所受静电力变小 D．移动的电荷所受静电力做负功
【答案】C
【详解】A．O点的电场强度是四个点电荷在O点分别产生的电场强度的矢量和，AC在O点的电场强度矢量和向下，不随B位置的变化而变化，BD在O点的电场强度的矢量和原来为零，当B处电荷沿OB延长线向右移动时，BD在O点的电场强度向右逐渐增大，故O点的电场强度随着B处电荷沿OB延长线向右移动而逐渐增大，A错误；B．O点的电势是四个点电荷在O点分别产生的电势的标量和，在B处电荷沿OB延长线向右移动过程中，ACD三点电荷在O点的电势不变，B电荷在O点的电势逐渐降低，故O点的电势降低，B错误；C．C点处电荷受其余三电荷静电力方向如图，随着B点处电荷沿OB的延长线向右移动，FA、FD矢量和FAD不变，FB方向与FAD的夹角θ逐渐增大且FB大小逐渐减小，则FAD与FB的合力逐渐减小，故C正确；

D．B点处电荷沿OB的延长线向右移动的过程中，A、C处点电荷对B处电荷静电力的合力始终竖直向下，对B电荷不做功，D处电荷对B处电荷始终是沿OB向右的静电力，随着B处电荷的右移一直做正功，故移动的电荷所受静电力做正功，故D错误。
30．如图所示，三根均匀带电的等长绝缘细棒组成一正三角形ABC，其中AC边上的细棒带负电、其余两细棒带等量的正电荷，此时三角形中心O点的电场强度为、电势为（无穷远处电势为零）。若撤去细棒AB，其余两边的电荷分布不变，则O点的电场强度E和电势分别为（　　）

A．， B．， C．，0 D．，
【答案】C
【详解】根据对称性，AB棒在O点产生的电场沿OC方向，同理BC棒在O点产生的电场沿OA方向，由于AC棒带负电荷，在O点产生的电场沿垂直于AC斜向上，每根棒在O点产生的电场强度大小相等，设为E1，根据矢量叠加原理

O点的合场强，，如果撤去细棒AB，则O点的场强由BC棒和AC棒产生的场强叠加，为
，电势为标量，如果撤去细棒AB，设BC棒在O点产生的电势为，则AC棒在O点产生的电势必然为，因此O点的合电势一定0。
不等量点电荷或多个点电荷周围的电场分布规律
31．在轴的坐标原点固定一电荷最绝对值为的点电荷，在处固定另一点电荷，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度与该点位置的关系如图所示。选取轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零，则下列说法正确的是（　　）

A．处的电场强度大于处电场强度
B．处的电势高于处的电势
C．在处点电荷的电荷量的绝对值为
D．电子沿轴从移动到过程中电势能先增加后减少
【答案】D
【详解】A．由图可知，从处到处，电场强度反方向不断增大，所以处的电场强度小于处电场强度，故A错误；B．在轴的坐标原点固定一电荷最绝对值为的点电荷，在处固定另一点电荷，选取轴正方向为电场强度的正方向，分析可知为两不等量正电荷产生的电场，类比等量同种正电荷产生的电场，可知从处到处逆着电场线方向，电势逐渐升高，所以处的电势低于处的电势，故B错误；C．设在处固定另一点电荷的电荷量为，在处场强为0，可得，解得；D．电子从移动到过程，顺着电场线运动，可知电场力做负功，电势能增加，从移动到过程，逆着电场线运动，可知电场力做正功，电势能减少，所以电子沿轴从移动到过程中电势能先增加后减少，故D正确。
32．真空中两个点电荷、分别固定于x轴上和两点（图中未画出），在它们的连线上的电场强度E与x的关系图像如图所示。已知带正电，取无穷远处为电势零点，下列说法正确的是（　　）

A．带负电 B．与的电荷量大小之比是
C．x轴上处的电势小于零 D．x轴的负方向为电场强度的正方向
【答案】D
【详解】A．由图像可知，处合场强为零，因此2个点电荷为同种电荷，故带正电，A错误；
B．因处合场强为零，所以根据点电荷的场强公式可知，可得，故B错误；C．因无穷远处电势为零，正电荷电场中各点电势为正，故C错误；D．由于2个点电荷均为正电荷，从图中可知，a~3a区间的场强为正，且场强从零开始向右逐渐增大，则在此区间的合场强方向向左，即x轴负方向，因此x轴的负方向为电场强度的正方向，故D正确；

一、单选题
1．电子束焊接机的核心部件内存在如图甲所示的高压辐向电场，带箭头的虚线表示电场线。一电子在电场力作用下由A沿直线运动到B。下列说法正确的是（    ）

A．该电场为匀强电场 B．电子运动过程中电势能逐渐减小
C．电子运动过程中加速度逐渐减小 D．电子经过各点的电势随位移x的变化如乙图所示
【答案】B
【详解】A．由甲图中电场线分布可知，该电场为非匀强电场，A错误；B．由于电子带负电，当它从A沿直线运动到B时，电场力做正功，则电势能减小，B正确；C．由甲图中电场线分布和牛顿第二定律可知，电子在加速过程中电场力逐渐变大，因此加速度逐渐变大，C错误；D．乙图斜率表示电场强度，由图知斜率逐渐变小，而甲图可知电场强大逐渐变大，D错误。
2．如图，等量正点电荷连线的中垂线上，放置两检验电荷a、b。取无穷远处为零势能点，以下描述a、b电荷的电势能Ep与其所带电量q的关系，可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，取无穷远处为零势能点，则有，根据，可知，当q>0时，有。
3．如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称，它们在x轴上的E-x图像如图乙所示（规定x轴正方向为电场强度的正方向）。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q，它将沿x轴正方向运动，不计重力。则（　　）

A．A、B带等量正电荷 B．点电荷q在处电势能最大
C．点电荷q在处动能最大 D．点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为
【答案】D
【详解】A．由E-x图像可知，在x轴上的P点对应x2点，在P点的左侧电场强度为正值，沿x轴正方向，右侧为负值，可知A、B带等量负电，A错误；BC．电荷量为q的正点电荷，从O点到P点，电场力做正功，电势能减小，从P点沿x轴正方向运动，电场力做负功，电势能增加，因此点电荷q在x1处电势能不是最大；可知点电荷q在x2处动能最大，BC错误；D．由对称性可知，点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O＇点位置，故点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为，D正确。
4．下图为静电植绒的原理图。带负电的金属网中盛有绒毛，真空中带负电的绒毛一旦与布匹上的黏合剂接触就粘贴在布匹上，则带负电的绒毛从带负电的金属网到布匹的运动过程中（　　）

A．做加速运动 B．做匀速运动
C．电势能逐渐增大 D．运动经过处各点电势逐渐降低
【答案】A
【详解】AB．绒毛带负电，金属网间的电场强度方向向上，所以绒毛所受的电场力向下，做加速运动，故A正确，B错误；C．电场力对绒毛做正功，其电势能逐渐减小，故C错误；D．绒毛运动过程中越来越靠近带正电的金属网，电势逐渐升高，故D错误。
二、多选题
5．某空间存在沿x轴的电场线，、、、是x轴上的四个点，x轴上各点电势随位置的变化情况如图所示，处电势最高。下列说法正确的是（　　）

A．点的电场强度为零
B．质子在点受到的电场力为零
C．与点的电场强度的方向相同
D．将一电子从移到的过程，电子的电势能一直减小
【答案】AC
【详解】A．图像的斜率表示电场强度，处为电势的最高点即图像的顶点处，该处斜率为零，即电场强度为零，故A正确；B．点处图像的斜率不为零，故该点电场强度不为零，则质子在该点处受到的电场力不为零，故B错误；C．与在图像的同一侧，即两点处的斜率都为负，则方向相同，故C正确；D．带负电的粒子在电势低的地方电势能大，电子带负电，故电子在电势越低的地方电势能越大，而从到电势一直在降低，因此将电子从移到的过程中，电子的电势能一直在增大，故D错误。
6．某电场中的坐标轴上，一个带电粒子从坐标原点出发，仅在电场力作用下沿轴正向运动到处，此过程带电粒子的电势能随位置的变化如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A．粒子在坐标原点的动能可能为
B．从坐标原点运动到处过程中，粒子做的是加速度不断减小的减速运动
C．从运动到的过程中，粒子做的是加速度越来越小的减速运动
D．粒子从运动到电场力做功绝对值等于从运动到的电场力做功绝对值
【答案】BD
【详解】A．根据图像可知，粒子从坐标原点出发后电势能先增大，动能先减小，因此电场力先做负功，由于粒子能到达，因此粒子到达x2时的动能大于等于零，设粒子在坐标原点的动能为，则，即；B．图像的切线斜率表示电场力，由图可知，从坐标原点运动到处过程中，粒子受到的电场力越来越小，加速度越来越小，电势能越来越大，动能越来越小，速度越来越小，故B正确；C．同理分析，从运动到的过程中，粒子做的是加速度越来越小的加速运动，故C错误；D．从运动到和从运动到电势能变化的绝对值相等，因此电场力做功的绝对值相等，故D正确。
7．如图所示，光滑水平桌面上劲度系数为k的轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端系在不带电物块A上。小物块A、B两者之间用跨过光滑定滑轮的绝缘轻绳连接，带正电的绝缘物块B（带电量为q）静止在倾角为θ=30°且足够长的、逆时针转动的传送带上，物块B与传送带间的动摩擦因数为，物块A、B质量均为m。某时刻，突然在桌右侧区域施加一场强大小为，方向沿传送带向下的匀强电场。轻绳和轻弹簧与A、B的接触面均平行，且不会断裂，弹簧不超出弹性限度，物块A始终在水平桌面上，下列说法正确的是（　　）

A．施加电场前，弹簧的伸长量为
B．施加电场瞬间，物块B的加速度大小为
C．物块B第一次获得最大速度时弹簧的伸长量为
D．物块B从开始运动到第一次获得最大速度的过程中，系统电势能的减少量为
【答案】ABD
【详解】A．施加电场前，物体B应受重力、传送带的支持力、轻绳上拉力、沿传送带向上的滑动摩擦力，则沿传送带方向上应有，解得，对物体受力分析可知
，解得，故A正确；B．施加电场瞬间，对、整体受力分析，由牛顿第二定律可得，可解得，故B正确；C．物体B获得第一次最大速度时，物体、的加速度均为0，则有，可得，，故C错误；D．从物体B开始运动到第一次获得最大速度的过程中，弹簧伸长量的变化量（也即物体B下滑位移）为，根据功能关系可知，系统电势能的减少量，故D正确。
8．如图所示，两等量负点电荷分别固定在x轴上的M、N两点，a、b、c、d为正方形的四个顶点，b、d位于x轴上，的中点和的中点重合，则下列说法正确的是（    ）

A．质子从a点由静止释放，静电力先做负功后做正功
B．电子从a点沿直线移至c点过程，电子电势能先增大后减小
C．电子从a点沿折线移至c点过程，静电力先做负功后做正功
D．质子从a点垂直正方形所在平面以某一速度释放，质子的电势能可能保持不变
【答案】BD
【详解】A．质子从a点由静止释放，静电引力先对质子做正功，经过x轴后再对质子做负功，选项A错误； B．电子从a点沿直线移至c点过程，电势先降低后升高，则电子电势能先增大后减小，选项B正确；

C．若从MN两点分别向ab做垂线交点为PQ，则当电子从a到P点时，两电荷对电子均做负功；从Q点到b点，两电荷对电子均做正功；同理从b到c也是如此，则选项C错误；D．在ac所在的垂直正方形的平面上，电场线均指向MN连线的中点，则质子从a点垂直正方形所在平面以某一合适的速度释放，质子可以以MN连线的中点做匀速圆周运动，此时质子的电势能保持不变，选项D正确。