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2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 化简 (−5)2的正确结果为( )
A. 5 B. −5 C. ±5 D. 25
2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a=5，c=13，则b的值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 144
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=30°，BD=2 3，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到，则一次函数y=kx+b的图象经过的象限是( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
5. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为( )
A. 90°
B. 45°
C. 30°
D. 22.5°
6. 如表是某校乒乓球队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
17
频数
2
6
8
3
1
则这些队员年龄的众数是( )
A. 6 B. 8 C. 14 D. 15
7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB=12，BC=14，则四边形BDFE的周长为( )
A. 13
B. 21
C. 26
D. 52
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)；
②一个等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y(单位：cm)与腰长x(单位：cm)；
③正方形的面积S(单位：cm2)与它的边长x(单位：cm)．
其中，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的式子表示的是( )
A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式 a−3有意义，则a的取值范围是______ ．
10. 计算： 14÷ 7= ______ ．
11. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”(说明：1丈=10尺).如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度BC的长为______ 尺.
12. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是______ .(填“甲”或“乙”)
13. 下列命题：
①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2；
③平行四边形的对角线互相平分.其中逆命题是真命题的是______ .(填写所有正确结论的序号)
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(4,0).分别以点O，B为圆心，大于OA的长为半径画弧，两弧相交于点C，作直线AC，以点A为圆心，1为半径画弧，与AC相交于点E，连接OE，则OE的长为______ ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，点A(x,y)在第二象限，且12x+y=4，点B(8,0)，若△OAB的面积为20，则点A的坐标为______ ．
16. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上(不与点C重合)，H是DF的中点，连接GH.若AD=4，则GH的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 已知a= 2+1，b= 2−1，求a2−b2的值．
四、解答题（本大题共9小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
计算： 2( 18+ 24)− 12．
19. (本小题5.0分)
在某校组织的“人与自然”主题绘画活动中，该校的每位同学都上交了一幅作品，在本次活动中，评委从美术表现和创造实践两项对作品打分，各项得分均按百分制计.对所有作品的得分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.所有作品美术表现和创造实践的单项得分的平均数、中位数如下：
评分项
平均数
中位数
美术表现
86.5
85
创造实践
86
88
b.甲、乙两位同学作品的得分如下：
美术表现
创造实践
甲
86
87
乙
85
88
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在所有作品中，记在美术表现这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P1；记在创造实践这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P2，则P1 ______ P2.(填“>”，“=”或“<”)
(2)若按美术表现占60%，创造实践占40%计算每位同学作品的平均得分，那么乙同学作品的平均得分是______ ，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是______ .(填“甲”或“乙”)．
20. (本小题5.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交于点A．
(1)观察图象，直接写出方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解；
(2)若直线l2：y=k2x+b2与y轴的交点为(0,−4)，求一次函数y=k2x+b2的表达式．
21. (本小题5.0分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
22. (本小题5.0分)
某公司安排A，B两个车间生产同一款产品，每天这两个车间都是每小时生产100件该产品，且生产前没有产品积压，生产一段时间后再安排产品装箱，当天全部产品装箱完毕结束生产.设每天的产品生产时间为x(单位：小时)，生产过程中未装箱产品数量为y
(单位：件)．
(1)某天A车间生产过程中，未装箱产品数量y与产品生产时间x的关系如图所示；
结合图象：①当0
③当天全部产品装箱完毕时，产品生产时间为______ 小时．
(2)同一天B车间生产过程中，开始安排产品装箱后，未装箱产品数量y与产品生产时间x近似满足函数关系y=−60x+540.记这一天A车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x1，B车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x2，则x1 ______ x2(填“>”，“=”或“<”)．
23. (本小题5.0分)
某校为了解学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得他们的一分钟跳绳个数(单位：个)，对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图(数据分成4组：160≤x<170，170≤x<180，180≤x<190，190≤x≤200)；
b.一分钟跳绳个数在180≤x<190这一组的是：
180 180 182 182 183 183 183 184 184．
185 185 185 186 186 186 188 188 189．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出频数分布直方图中m的值；
(2)某同学的一分钟跳绳个数是187，由此可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数，理由是______ ；
(3)该校准备确定一个一分钟跳绳个数嘉奖标准n(单位：个)，对一分钟跳绳个数大于或等于n的学生进行嘉奖.若要使25%的学生获得嘉奖，则n的值可以是______ ．
24. (本小题5.0分)
小明根据学习函数的经验，对函数y=12x+|x|的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
(1)函数y=12x+|x|的自变量x的取值范围是______ ；
(2)如表是y与x的几组对应值：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
32
1
12
m
32
3
92
…
写出表中m的值；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若0”，“=”或“<”)；
②当x>0时，若对于x的每一个值，函数y=12x+|x|的值小于正比例函数y=kx(k≠0)的值，则k的取值范围是______ ．
25. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD是矩形(AB
(2)G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为(x,ny)(n>0)，则称点Q为点P的“n倍点”．
(1)①若点P(3,3)，点Q为点P的“13倍点”，则点Q的坐标为______ ；
②当P是直线y=x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为______ ．
(2)已知点A(2.3)，B(6,3)，C(8,5)，D(4,5)；
①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y=2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值；
②点P是直线y=kx+2k(k>0)上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式= 25=5；
故选：A．
先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
2.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得：b= c2−a2= 132−52=12
故选：C．
根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD，
∵BD=2 3，
∴OB= 3，
∵∠ABD=30°，
∴OA=12AB，
∵AB2−OA2=OB2，
∴AB2−(12AB)2=( 3)2，
∴AB=2．
故选：B．
由菱形的性质，得到AC⊥BD，OB=12BD= 3，由直角三角形的性质得到OA=12AB，由勾股定理即可求出AB的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到OB= 3，由直角三角形的性质，勾股定理即可求出AB的长．
4.【答案】A
【解析】解：一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到y=kx+3，
∵k>0，b=3>0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
根据一次函数图象平移的规律即可得到平移后的解析式，然后根据一次函数的性质判断即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，如图，
∴∠ABD=12∠ABC，∠BAC=12∠BAD，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD=45°，∠BAC=45°，
∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45°，
故选：B．
如图，折痕为AC与BD，∠ABC=90°，根据正方形的性质，可得∠ABD=45°，∠BAC=45°，所以剪口与折痕所夹的角α的度数为45°．
本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
6.【答案】D
【解析】解：这些队员年龄中15岁出现次数最多，故众数为15．
故选：D．
根据众数的定义判断即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴EF、EF分别是△ABC的中位线，
∴EF//AB，DF//BC，EF=12AB=12×12=6，DF=12BC=12×14=7，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BE=DF=7，BD=EF=6，
∴四边形BDEF的周长为：
BE+BD+DF+EF=2×(7+6)=26．
故选：C．
根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，可判定四边形BDFE是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDFE的周长．
本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF是平行四边形是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①根据ρ=mv可得：
m=ρv，
∵ρ=7.9g/cm3
∴m=7.9v；满足条件；
②∵等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y cm、腰长x cm，
∴2x+y=12，
∴y=−2x+12，满足条件；
③∵正方形的面积S(单位：cm2)、它的边长x cm，
∴S=x2，不满足条件；
故答案为：C．
①根据物理学中铁块的密度、质量、体积之间的关系，可列出m、v之间的关系式；
②等腰三角形的周长等于两个腰的长加上一个底的长可得，x和y之间的关系式；
③根据正方形的面积等于边长的平方；
根据上面所得的三个关系式作出正确的判断．
本题考查函数当中的自变量，因变量之间的关系，根据题目中所给的数量关系列出正确的函数关系式，是作出正确的判断，理解题意是关键．
9.【答案】a≥3
【解析】解：∵二次根式 a−3有意义，
∴a−3≥0，
解得a≥3，
故答案为：a≥3．
根据二次根式有意义的条件，可得a−3≥0，即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】 2
【解析】解： 14÷ 7= 147= 2，
故答案为： 2．
根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
11.【答案】4.55
【解析】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=(10−x)2，
解得：x=4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12.【答案】甲
【解析】解：根据折线统计图可得出甲运动员的成绩波动较小，所以甲的方差较小，成绩稳定．
故答案为：甲．
根据折线统计图给出的数据可得出甲运动员的成绩波动较小，再根据方差的意义即可求解．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
13.【答案】②③
【解析】解：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不符合题意；
②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2的逆命题是如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，符合题意；
③平行四边形的对角线互相平分的逆命题是如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．符合题意；
故答案为：②③．
根据有理数的乘方，勾股定理，平行四边形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理和平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：由作图知，AC⊥x轴，
∴∠OAE=90°，
∵A(2,0)，
∴OA=2，
∵AE=1，
∴OE= AE2+OA2= 12+22= 5，
故答案为： 5．
根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
15.【答案】(−2,5)
【解析】解：∵点A(x,y)在第二象限，且12x+y=4，点B(8,0)，
∴A(x,−12x+4)，OB=8，
∵△OAB的面积为20，
∴12×8⋅(−12x+4)=20，
解得x=−2，
∴点A的坐标为(−2,5)．
故答案为：(−2,5)．
由题意可知A(x,−12x+4)，OB=8，由△OAB的面积为20，得到12×8⋅(−12x+4)=20，解得x=−2，即可求得点A的坐标为(−2,5)．
本题考查了一次函数的性质，三角形面积，根据题意得出关于x的方程是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，延长GH交DE于M，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FG//DE，FG=CE，
∴∠GFH=∠CDH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH，
∵∠GHF=∠DHM，
∴△GHF≌△MHD(ASA)，
∴FG=DM，GH=MH，
设正方形CEFG的边长为x，则DM=x，CM=4−x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴CG2+CM2=GM2，
∴x2+(4−x)2=GM2，
∴GM2=2x2−8x+16=2(x−2)2+8，
∴GM的最小值是 8=2 2，
∴GH的最小值是 2．
故答案为： 2．
如图，延长GH交DE于M，证明△GHF≌△MHD(ASA)，可得FG=DM，GH=MH，设正方形CEFG的边长为x，则DM=x，CM=4−x，根据勾股定理列方程，可得GM2=2x2−8x+16=2(x−2)2+8，最后根据完全平方的非负性可得答案．
本题考查了正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，完全平方公式等知识，正确作辅助线，构建三角形全等，利用完全平方公式计算GM2是解本题的关键．
17.【答案】解：解法1：
a2−b2=(a+b)(a−b)
=( 2+1+ 2−1)( 2+1− 2+1)
=2 2×2=4 2；
解法2：
a2−b2=( 2+1)2−( 2−1)2
=(3+2 2)−(3−2 2)
=4 2．
【解析】由a2−b2=(a+b)(a−b)，再将a、b的值直接代入；或者直接将a、b的值直接代入a2−b2中计算．
本题考查了二次根式代值计算问题，当所求代数式比较简单时，可以将代数式变形，然后代值计算，也可以直接代入计算，灵活对待．
18.【答案】解： 2( 18+ 24)− 12
= 2× 18+ 2× 24−2 3
= 36+ 48−2 3
=6+4 3−2 3
=6+2 3．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】< 86.2 甲
【解析】解：(1)根据中位数和平均数的定义可知，
美术表现的平均数>中位数，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P1<12总人数，
创造实践的平均数<中位数，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P2>12总人数，
所以P1
(2)根据题意可得：甲同学作品的平均得分为：86×60%+87×40%=86.4，
乙同学作品的平均得分为：85×60%+88×40%=86.2，
∵甲同学作品的平均得分>乙同学作品的平均得分，
∴排名更靠前的同学是甲．
故答案为：86.2；甲．
(1)根据中位数、平均数的定义进行判断即可；
(2)根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查了中位数、平均数的定义和加权平均数的计算方法，掌握中位数、平均数的定义和加权平均数的定义是关键．
20.【答案】解：(1)根据图象得，方程组的解为：x=2y=−1；
(2)由题意得：2k2+b2=−1b2=−4，
解得：k2=1.5b2=−4，
∴直线l2：y=1.5x−4．
【解析】(1)根据函数的图象求解；
(2)根据待定系数法求解．
本题考查了一次函数与方程组的关系，掌握待定系数法与数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AB//CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CFO=∠CEF，
∴CE=CF，
由(1)知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，AB//CD，根据平行线的性质得到∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行线的性质得到∠AEO=∠CFO，等量代换得到∠CFO=∠CEF，求得CE=CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】300 9 <
【解析】解：(1)①当0
∴300=3k
解得：k=100，
所以y关于x的函数表达式：y=100x；
②根据图象从第3小时产品数量开始减小，说明开始装箱，则第3小时产品的数量为300件，故开始装箱时未装箱前产品的数量为300件，
故答案为：300；
③根据图象可知当全部产品装箱完毕时，y=0，x=9，故产品生产时间为9小时；
(2)根据A车间的图象从第3小时开始装箱所以产品生产时间x1=3，
∵B车间每小时生产100件未开始安排产品装箱时未装箱产品的数量y时间x关系满足y=100x，
开始安排产品装箱后未装箱产品的数量y与产品生产时间x，近似满足函数关系，y=−60x+540，
令100x=60x+540
解得：x=3.375，此时b车间开始装箱，即x2=3.375，
故x1
(1)①当0
③根据图象可知：全部产品装箱完毕时，此时y=0，x=9，说明生产时间为9个小时；
(2)由图可知A车间产品装箱时间为y取得最大值时x的值，即为x1的值，此时为y=100x与开始安排产品装箱后未装箱产品数量y与产品生产时间x满足的函数关系式的图象的交点处的x的固b故B车间产品装箱时间也是未装箱时所生产的产品的数量y与生产时间函数关系y=100x与开始装箱后未装箱产品数量y与生产时间x所满足的函数关系式y=−60x+540两个函数图象交点处所取得的x的值，联立两个二元一次方程转化为一元一次方程，求得x的值即为x2比较x1与x2的大小即可．
本题考察的是生活类的题目，解决此类问题的一般方法是找出等量关系，根据等量关系列出关系式，主要考查是解题的基本技能和基本方法．
23.【答案】187大于中位数181 189
【解析】解：(1)根据频数分布直方图可得m=60−8−20−18=14；
(2)这60个数据从小到大排列后，第30个和31个数据为180和182，所以中位数为180+1822=181，
∵187>181，
∴这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数；
故答案为：187大于中位数181；
(3)∵60×25%=15，所调查的人数中，跳绳个数在190≤x≤200的有14人，
∴根据所列举的数据可知n=189．
故答案为：189．
(1)用60减去前三组的频数即可求出m的值；
(2)根据中位数的意义判断即可；
(3)求出跳绳个数在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可．
本题考查频数(率)分布直方图和中位数，解题的关键是理解题意，读懂统计图信息．
24.【答案】任意实数 < k>32
【解析】解：(1)函数y=12x+|x|中自变量x可以是任意实数；
故答案为：任意实数；
(2)当x=0时，y=12x+|x|=0，
∴m=0．
(3)函数图象如图所示；
(4)观察该函数图象：
①对于图象上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若0
故答案为：<；k>32．
(1)由图表可知可以是任意实数；
(2)把x=0代入y=12x+|x|即可求得；
(3)根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
(4)观察图象即可解决问题．
本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB//CD，
∴∠BAE=∠AFD，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
∴BC=DF；
(2)解：AD2+CD2=DG2．
证明：连接BD，BG，CG，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAE=AEB，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE=DC，
∵∠BCF=90°，∠CEF=∠AEB=45°，
∴∠F=45°，
∵G是EF的中点，
∴EG=CG=FG，∠ECG=∠FCG=45°，
∴∠BEC=∠DCG=135°，
∵BC=DF，
∴△DCG≌△BEG(SAS)，
∴BG=DG，∠DGC=∠BGE，
∵∠CGE=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BD2=2DG2，
∵AB2+AD2=BD2，AB=CD，
∴AD2+CD2=2DG2．
【解析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，AB//CD，根据平行线的性质得到∠BAE=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠DAF，于是得到结论；
(2)连接BD，BG，CG，根据平行线的性质得到∠DAE=∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠DAF，求得∠BAE=AEB，推出AB=BE=DC，根据等腰直角三角形的性质得到EG=CG=FG，∠ECG=∠FCG=45°，根据全等三角形的判定和性质得到BG=DG，∠DGC=∠BGE，求得BD2=2DG2，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】(3,1) (−1,0)
【解析】解：(1)①根据“13倍点”的定义，点P(3,3)的“13倍点”为(3,3×13)，即(3,1)，
故答案为：(3,1)；
②在y=x+1中，令y=0得x=−1，
∴P(−1,0)，
∵n×0=0，
∴点P的“n倍点”的坐标为(−1,0)；
故答案为：(−1,0)；
(2)①由A(2,3)，D(4,5)得直线AD解析式为y=x+1，
设Q(p,p+1)，
∵在直线y=2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，
∴P(p,p+1n)，
把P(p,p+1n)代入y=2x+2得：
p+1n=2p+2，
∴p+1=2pn+2n，即(1−2n)(p+1)=0对任意的p都成立，
∴1−2n=0，
解得：n=12；
②设P(m,km+2k)，
若点P的“k倍点”为A(2,3)，则m=2(km+2k)k=3，
解得k=± 32，
∵k>0，
∴k= 32；
同理若点P的“k倍点”为B(6,3)，可得k= 64；若点P的“k倍点”为C(8,5)，可得k= 22；若点P的“k倍点”为D(4,5)，可得k= 306，
∴当 64≤k≤ 32时，P的“k倍点”在边AB上；
当 32≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边AD上；
当 64≤k≤ 22时，P的“k倍点”在边BC上；
当 22≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边CD上；
∵在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，
∴k的取值范围是 64≤k≤ 306．
(1)①根据“13倍点”的定义，点P(3,3)的“13倍点”为(3,3×13)，即(3,1)；②求出P(−1,0)，即可得点P的“n倍点”的坐标为(−1,0)；
(2)①由A(2,3)，D(4,5)得直线AD解析式为y=x+1，设Q(p,p+1)，可得P(p,p+1n)，代入y=2x+2得p+1n=2p+2，可得(1−2n)(p+1)=0对任意的p都成立，故n=12；
②设P(m,km+2k)，若点P的“k倍点”为A(2,3)，则m=2(km+2k)k=3，可得k= 32；同理若点P的“k倍点”为B(6,3)得k= 64；若点P的“k倍点”为C(8,5)得k= 22；若点P的“k倍点”为D(4,5)得k= 306，故当 64≤k≤ 32时，P的“k倍点”在边AB上；当 32≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边AD上；当 64≤k≤ 22时，P的“k倍点”在边BC上；当 22≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边CD上，即可得到答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义“n倍点”，解题的关键是读懂题意，理解“n倍点”的概念．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 化简 (−5)2的正确结果为( )
A. 5 B. −5 C. ±5 D. 25
2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a=5，c=13，则b的值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 144
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=30°，BD=2 3，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到，则一次函数y=kx+b的图象经过的象限是( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
5. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为( )
A. 90°
B. 45°
C. 30°
D. 22.5°
6. 如表是某校乒乓球队队员的年龄分布：
年龄/岁
13
14
15
16
17
频数
2
6
8
3
1
则这些队员年龄的众数是( )
A. 6 B. 8 C. 14 D. 15
7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB=12，BC=14，则四边形BDFE的周长为( )
A. 13
B. 21
C. 26
D. 52
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)；
②一个等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y(单位：cm)与腰长x(单位：cm)；
③正方形的面积S(单位：cm2)与它的边长x(单位：cm)．
其中，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的式子表示的是( )
A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式 a−3有意义，则a的取值范围是______ ．
10. 计算： 14÷ 7= ______ ．
11. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”(说明：1丈=10尺).如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度BC的长为______ 尺.
12. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是______ .(填“甲”或“乙”)
13. 下列命题：
①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2；
③平行四边形的对角线互相平分.其中逆命题是真命题的是______ .(填写所有正确结论的序号)
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(4,0).分别以点O，B为圆心，大于OA的长为半径画弧，两弧相交于点C，作直线AC，以点A为圆心，1为半径画弧，与AC相交于点E，连接OE，则OE的长为______ ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，点A(x,y)在第二象限，且12x+y=4，点B(8,0)，若△OAB的面积为20，则点A的坐标为______ ．
16. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上(不与点C重合)，H是DF的中点，连接GH.若AD=4，则GH的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 已知a= 2+1，b= 2−1，求a2−b2的值．
四、解答题（本大题共9小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
计算： 2( 18+ 24)− 12．
19. (本小题5.0分)
在某校组织的“人与自然”主题绘画活动中，该校的每位同学都上交了一幅作品，在本次活动中，评委从美术表现和创造实践两项对作品打分，各项得分均按百分制计.对所有作品的得分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.所有作品美术表现和创造实践的单项得分的平均数、中位数如下：
评分项
平均数
中位数
美术表现
86.5
85
创造实践
86
88
b.甲、乙两位同学作品的得分如下：
美术表现
创造实践
甲
86
87
乙
85
88
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在所有作品中，记在美术表现这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P1；记在创造实践这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P2，则P1 ______ P2.(填“>”，“=”或“<”)
(2)若按美术表现占60%，创造实践占40%计算每位同学作品的平均得分，那么乙同学作品的平均得分是______ ，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是______ .(填“甲”或“乙”)．
20. (本小题5.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交于点A．
(1)观察图象，直接写出方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解；
(2)若直线l2：y=k2x+b2与y轴的交点为(0,−4)，求一次函数y=k2x+b2的表达式．
21. (本小题5.0分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
22. (本小题5.0分)
某公司安排A，B两个车间生产同一款产品，每天这两个车间都是每小时生产100件该产品，且生产前没有产品积压，生产一段时间后再安排产品装箱，当天全部产品装箱完毕结束生产.设每天的产品生产时间为x(单位：小时)，生产过程中未装箱产品数量为y
(单位：件)．
(1)某天A车间生产过程中，未装箱产品数量y与产品生产时间x的关系如图所示；
结合图象：①当0
③当天全部产品装箱完毕时，产品生产时间为______ 小时．
(2)同一天B车间生产过程中，开始安排产品装箱后，未装箱产品数量y与产品生产时间x近似满足函数关系y=−60x+540.记这一天A车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x1，B车间开始安排产品装箱时，产品生产时间为x2，则x1 ______ x2(填“>”，“=”或“<”)．
23. (本小题5.0分)
某校为了解学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得他们的一分钟跳绳个数(单位：个)，对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图(数据分成4组：160≤x<170，170≤x<180，180≤x<190，190≤x≤200)；
b.一分钟跳绳个数在180≤x<190这一组的是：
180 180 182 182 183 183 183 184 184．
185 185 185 186 186 186 188 188 189．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出频数分布直方图中m的值；
(2)某同学的一分钟跳绳个数是187，由此可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数，理由是______ ；
(3)该校准备确定一个一分钟跳绳个数嘉奖标准n(单位：个)，对一分钟跳绳个数大于或等于n的学生进行嘉奖.若要使25%的学生获得嘉奖，则n的值可以是______ ．
24. (本小题5.0分)
小明根据学习函数的经验，对函数y=12x+|x|的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
(1)函数y=12x+|x|的自变量x的取值范围是______ ；
(2)如表是y与x的几组对应值：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
32
1
12
m
32
3
92
…
写出表中m的值；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若0
②当x>0时，若对于x的每一个值，函数y=12x+|x|的值小于正比例函数y=kx(k≠0)的值，则k的取值范围是______ ．
25. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD是矩形(AB
(2)G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为(x,ny)(n>0)，则称点Q为点P的“n倍点”．
(1)①若点P(3,3)，点Q为点P的“13倍点”，则点Q的坐标为______ ；
②当P是直线y=x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为______ ．
(2)已知点A(2.3)，B(6,3)，C(8,5)，D(4,5)；
①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y=2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值；
②点P是直线y=kx+2k(k>0)上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式= 25=5；
故选：A．
先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
2.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得：b= c2−a2= 132−52=12
故选：C．
根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD，
∵BD=2 3，
∴OB= 3，
∵∠ABD=30°，
∴OA=12AB，
∵AB2−OA2=OB2，
∴AB2−(12AB)2=( 3)2，
∴AB=2．
故选：B．
由菱形的性质，得到AC⊥BD，OB=12BD= 3，由直角三角形的性质得到OA=12AB，由勾股定理即可求出AB的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到OB= 3，由直角三角形的性质，勾股定理即可求出AB的长．
4.【答案】A
【解析】解：一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到y=kx+3，
∵k>0，b=3>0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
根据一次函数图象平移的规律即可得到平移后的解析式，然后根据一次函数的性质判断即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，如图，
∴∠ABD=12∠ABC，∠BAC=12∠BAD，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD=45°，∠BAC=45°，
∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45°，
故选：B．
如图，折痕为AC与BD，∠ABC=90°，根据正方形的性质，可得∠ABD=45°，∠BAC=45°，所以剪口与折痕所夹的角α的度数为45°．
本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
6.【答案】D
【解析】解：这些队员年龄中15岁出现次数最多，故众数为15．
故选：D．
根据众数的定义判断即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴EF、EF分别是△ABC的中位线，
∴EF//AB，DF//BC，EF=12AB=12×12=6，DF=12BC=12×14=7，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BE=DF=7，BD=EF=6，
∴四边形BDEF的周长为：
BE+BD+DF+EF=2×(7+6)=26．
故选：C．
根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，可判定四边形BDFE是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDFE的周长．
本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF是平行四边形是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①根据ρ=mv可得：
m=ρv，
∵ρ=7.9g/cm3
∴m=7.9v；满足条件；
②∵等腰三角形的周长为12cm，它的底边长y cm、腰长x cm，
∴2x+y=12，
∴y=−2x+12，满足条件；
③∵正方形的面积S(单位：cm2)、它的边长x cm，
∴S=x2，不满足条件；
故答案为：C．
①根据物理学中铁块的密度、质量、体积之间的关系，可列出m、v之间的关系式；
②等腰三角形的周长等于两个腰的长加上一个底的长可得，x和y之间的关系式；
③根据正方形的面积等于边长的平方；
根据上面所得的三个关系式作出正确的判断．
本题考查函数当中的自变量，因变量之间的关系，根据题目中所给的数量关系列出正确的函数关系式，是作出正确的判断，理解题意是关键．
9.【答案】a≥3
【解析】解：∵二次根式 a−3有意义，
∴a−3≥0，
解得a≥3，
故答案为：a≥3．
根据二次根式有意义的条件，可得a−3≥0，即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】 2
【解析】解： 14÷ 7= 147= 2，
故答案为： 2．
根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
11.【答案】4.55
【解析】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=(10−x)2，
解得：x=4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12.【答案】甲
【解析】解：根据折线统计图可得出甲运动员的成绩波动较小，所以甲的方差较小，成绩稳定．
故答案为：甲．
根据折线统计图给出的数据可得出甲运动员的成绩波动较小，再根据方差的意义即可求解．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
13.【答案】②③
【解析】解：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不符合题意；
②如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2的逆命题是如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，符合题意；
③平行四边形的对角线互相平分的逆命题是如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．符合题意；
故答案为：②③．
根据有理数的乘方，勾股定理，平行四边形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理和平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：由作图知，AC⊥x轴，
∴∠OAE=90°，
∵A(2,0)，
∴OA=2，
∵AE=1，
∴OE= AE2+OA2= 12+22= 5，
故答案为： 5．
根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
15.【答案】(−2,5)
【解析】解：∵点A(x,y)在第二象限，且12x+y=4，点B(8,0)，
∴A(x,−12x+4)，OB=8，
∵△OAB的面积为20，
∴12×8⋅(−12x+4)=20，
解得x=−2，
∴点A的坐标为(−2,5)．
故答案为：(−2,5)．
由题意可知A(x,−12x+4)，OB=8，由△OAB的面积为20，得到12×8⋅(−12x+4)=20，解得x=−2，即可求得点A的坐标为(−2,5)．
本题考查了一次函数的性质，三角形面积，根据题意得出关于x的方程是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，延长GH交DE于M，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FG//DE，FG=CE，
∴∠GFH=∠CDH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH，
∵∠GHF=∠DHM，
∴△GHF≌△MHD(ASA)，
∴FG=DM，GH=MH，
设正方形CEFG的边长为x，则DM=x，CM=4−x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴CG2+CM2=GM2，
∴x2+(4−x)2=GM2，
∴GM2=2x2−8x+16=2(x−2)2+8，
∴GM的最小值是 8=2 2，
∴GH的最小值是 2．
故答案为： 2．
如图，延长GH交DE于M，证明△GHF≌△MHD(ASA)，可得FG=DM，GH=MH，设正方形CEFG的边长为x，则DM=x，CM=4−x，根据勾股定理列方程，可得GM2=2x2−8x+16=2(x−2)2+8，最后根据完全平方的非负性可得答案．
本题考查了正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，完全平方公式等知识，正确作辅助线，构建三角形全等，利用完全平方公式计算GM2是解本题的关键．
17.【答案】解：解法1：
a2−b2=(a+b)(a−b)
=( 2+1+ 2−1)( 2+1− 2+1)
=2 2×2=4 2；
解法2：
a2−b2=( 2+1)2−( 2−1)2
=(3+2 2)−(3−2 2)
=4 2．
【解析】由a2−b2=(a+b)(a−b)，再将a、b的值直接代入；或者直接将a、b的值直接代入a2−b2中计算．
本题考查了二次根式代值计算问题，当所求代数式比较简单时，可以将代数式变形，然后代值计算，也可以直接代入计算，灵活对待．
18.【答案】解： 2( 18+ 24)− 12
= 2× 18+ 2× 24−2 3
= 36+ 48−2 3
=6+4 3−2 3
=6+2 3．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】< 86.2 甲
【解析】解：(1)根据中位数和平均数的定义可知，
美术表现的平均数>中位数，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P1<12总人数，
创造实践的平均数<中位数，得分高于该项的平均分的学生作品个数为P2>12总人数，
所以P1
(2)根据题意可得：甲同学作品的平均得分为：86×60%+87×40%=86.4，
乙同学作品的平均得分为：85×60%+88×40%=86.2，
∵甲同学作品的平均得分>乙同学作品的平均得分，
∴排名更靠前的同学是甲．
故答案为：86.2；甲．
(1)根据中位数、平均数的定义进行判断即可；
(2)根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查了中位数、平均数的定义和加权平均数的计算方法，掌握中位数、平均数的定义和加权平均数的定义是关键．
20.【答案】解：(1)根据图象得，方程组的解为：x=2y=−1；
(2)由题意得：2k2+b2=−1b2=−4，
解得：k2=1.5b2=−4，
∴直线l2：y=1.5x−4．
【解析】(1)根据函数的图象求解；
(2)根据待定系数法求解．
本题考查了一次函数与方程组的关系，掌握待定系数法与数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AB//CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CFO=∠CEF，
∴CE=CF，
由(1)知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，AB//CD，根据平行线的性质得到∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行线的性质得到∠AEO=∠CFO，等量代换得到∠CFO=∠CEF，求得CE=CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】300 9 <
【解析】解：(1)①当0
∴300=3k
解得：k=100，
所以y关于x的函数表达式：y=100x；
②根据图象从第3小时产品数量开始减小，说明开始装箱，则第3小时产品的数量为300件，故开始装箱时未装箱前产品的数量为300件，
故答案为：300；
③根据图象可知当全部产品装箱完毕时，y=0，x=9，故产品生产时间为9小时；
(2)根据A车间的图象从第3小时开始装箱所以产品生产时间x1=3，
∵B车间每小时生产100件未开始安排产品装箱时未装箱产品的数量y时间x关系满足y=100x，
开始安排产品装箱后未装箱产品的数量y与产品生产时间x，近似满足函数关系，y=−60x+540，
令100x=60x+540
解得：x=3.375，此时b车间开始装箱，即x2=3.375，
故x1
(1)①当0
③根据图象可知：全部产品装箱完毕时，此时y=0，x=9，说明生产时间为9个小时；
(2)由图可知A车间产品装箱时间为y取得最大值时x的值，即为x1的值，此时为y=100x与开始安排产品装箱后未装箱产品数量y与产品生产时间x满足的函数关系式的图象的交点处的x的固b故B车间产品装箱时间也是未装箱时所生产的产品的数量y与生产时间函数关系y=100x与开始装箱后未装箱产品数量y与生产时间x所满足的函数关系式y=−60x+540两个函数图象交点处所取得的x的值，联立两个二元一次方程转化为一元一次方程，求得x的值即为x2比较x1与x2的大小即可．
本题考察的是生活类的题目，解决此类问题的一般方法是找出等量关系，根据等量关系列出关系式，主要考查是解题的基本技能和基本方法．
23.【答案】187大于中位数181 189
【解析】解：(1)根据频数分布直方图可得m=60−8−20−18=14；
(2)这60个数据从小到大排列后，第30个和31个数据为180和182，所以中位数为180+1822=181，
∵187>181，
∴这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数；
故答案为：187大于中位数181；
(3)∵60×25%=15，所调查的人数中，跳绳个数在190≤x≤200的有14人，
∴根据所列举的数据可知n=189．
故答案为：189．
(1)用60减去前三组的频数即可求出m的值；
(2)根据中位数的意义判断即可；
(3)求出跳绳个数在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可．
本题考查频数(率)分布直方图和中位数，解题的关键是理解题意，读懂统计图信息．
24.【答案】任意实数 < k>32
【解析】解：(1)函数y=12x+|x|中自变量x可以是任意实数；
故答案为：任意实数；
(2)当x=0时，y=12x+|x|=0，
∴m=0．
(3)函数图象如图所示；
(4)观察该函数图象：
①对于图象上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若0
故答案为：<；k>32．
(1)由图表可知可以是任意实数；
(2)把x=0代入y=12x+|x|即可求得；
(3)根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
(4)观察图象即可解决问题．
本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB//CD，
∴∠BAE=∠AFD，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
∴BC=DF；
(2)解：AD2+CD2=DG2．
证明：连接BD，BG，CG，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAE=AEB，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE=DC，
∵∠BCF=90°，∠CEF=∠AEB=45°，
∴∠F=45°，
∵G是EF的中点，
∴EG=CG=FG，∠ECG=∠FCG=45°，
∴∠BEC=∠DCG=135°，
∵BC=DF，
∴△DCG≌△BEG(SAS)，
∴BG=DG，∠DGC=∠BGE，
∵∠CGE=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BD2=2DG2，
∵AB2+AD2=BD2，AB=CD，
∴AD2+CD2=2DG2．
【解析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，AB//CD，根据平行线的性质得到∠BAE=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠DAF，于是得到结论；
(2)连接BD，BG，CG，根据平行线的性质得到∠DAE=∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠DAF，求得∠BAE=AEB，推出AB=BE=DC，根据等腰直角三角形的性质得到EG=CG=FG，∠ECG=∠FCG=45°，根据全等三角形的判定和性质得到BG=DG，∠DGC=∠BGE，求得BD2=2DG2，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】(3,1) (−1,0)
【解析】解：(1)①根据“13倍点”的定义，点P(3,3)的“13倍点”为(3,3×13)，即(3,1)，
故答案为：(3,1)；
②在y=x+1中，令y=0得x=−1，
∴P(−1,0)，
∵n×0=0，
∴点P的“n倍点”的坐标为(−1,0)；
故答案为：(−1,0)；
(2)①由A(2,3)，D(4,5)得直线AD解析式为y=x+1，
设Q(p,p+1)，
∵在直线y=2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，
∴P(p,p+1n)，
把P(p,p+1n)代入y=2x+2得：
p+1n=2p+2，
∴p+1=2pn+2n，即(1−2n)(p+1)=0对任意的p都成立，
∴1−2n=0，
解得：n=12；
②设P(m,km+2k)，
若点P的“k倍点”为A(2,3)，则m=2(km+2k)k=3，
解得k=± 32，
∵k>0，
∴k= 32；
同理若点P的“k倍点”为B(6,3)，可得k= 64；若点P的“k倍点”为C(8,5)，可得k= 22；若点P的“k倍点”为D(4,5)，可得k= 306，
∴当 64≤k≤ 32时，P的“k倍点”在边AB上；
当 32≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边AD上；
当 64≤k≤ 22时，P的“k倍点”在边BC上；
当 22≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边CD上；
∵在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n=k，
∴k的取值范围是 64≤k≤ 306．
(1)①根据“13倍点”的定义，点P(3,3)的“13倍点”为(3,3×13)，即(3,1)；②求出P(−1,0)，即可得点P的“n倍点”的坐标为(−1,0)；
(2)①由A(2,3)，D(4,5)得直线AD解析式为y=x+1，设Q(p,p+1)，可得P(p,p+1n)，代入y=2x+2得p+1n=2p+2，可得(1−2n)(p+1)=0对任意的p都成立，故n=12；
②设P(m,km+2k)，若点P的“k倍点”为A(2,3)，则m=2(km+2k)k=3，可得k= 32；同理若点P的“k倍点”为B(6,3)得k= 64；若点P的“k倍点”为C(8,5)得k= 22；若点P的“k倍点”为D(4,5)得k= 306，故当 64≤k≤ 32时，P的“k倍点”在边AB上；当 32≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边AD上；当 64≤k≤ 22时，P的“k倍点”在边BC上；当 22≤k≤ 306时，P的“k倍点”在边CD上，即可得到答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义“n倍点”，解题的关键是读懂题意，理解“n倍点”的概念．
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