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2023年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作( )
A. 7℃ B. 10℃ C. −10℃ D. −7℃
2. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如右图所示.按图放置的“堑堵”，它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知a>b，则一定有−2a□−2b，“□”中应填的符号是( )
A. > B. < C. ≥ D. =
4. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=7，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( )
A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3
5. 一次函数y=−2x+1的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC，则∠P的度数是( )
A. 15° B. 20° C. 30° D. 45°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若二次根式 a−1有意义，则a的取值范围是______．
8. a与3的和是正数，用不等式表示为______ ．
9. 计算：(3a3)2=______．
10. 已知二元一次方程组4x+y=52x+3y=7，则x−y的值为______ ．
11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点A在DE边上，BC//EF，则∠DAC的度数是______ °.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(2,2)，点B坐标(0,1)，连接AB.将线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的坐标变为______ ．
13. 如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积为______ ．
14. 点P(m,n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
下面解题过程中，第一步就出现了错误，但最后所求得的值是正确的．
(1)请写出正确的化简过程；
(2)图中被遮住的x的值是______ ．
先化简，再求值：x+2−x(x+4)x+2，其中x=．
解：原式=(x+2)(x+2)−x(x+4)x+2=(x2+4x+4)−(x2+4x)=4．
16. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，BC上，且DG=BH.求证：FG=EH．
17. (本小题5.0分)
一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．
18. (本小题5.0分)
今年的3月12日是我国第45个植树节.某学校为美化校园需补栽甲、乙两种树苗.咨询商家得知，甲种树苗每株比乙种树苗便宜10元，最后分别用600元，800元购买了相同数量的两种树苗.求甲种树苗的单价．
19. (本小题7.0分)
如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形(顶点均在格点上)．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形．
20. (本小题7.0分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示：
(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？
21. (本小题7.0分)
林林将一张纸对折后做成了纸飞机如图①所示，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②所示，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°.连结DE，求线段DE的长.(结果精确到0.1cm.)(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.78，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.)
22. (本小题7.0分)
为了了解甲、乙、丙三种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某月生产的甲、乙、丙三种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数的数据，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
ⅰ，甲，乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图：
ⅱ，丙型号扫地机器人的除尘指数数据：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10．
ⅲ，甲、乙、丙三种型号机器人除尘指数的平均数：
扫地机器人
甲
乙
丙
除尘指数平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在抽取的扫地机器人中，如果除尘指数的10个数据的方差越小，则认为该型号的扫地机器人性能更稳定.据此推断：在甲、乙两种型号扫地机器人中，______ 型扫地机器人的性能稳定(填“甲”或“乙”)；
(3)在抽取的扫地机器人中，如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值之后的平均值作为性能参考，平均值越高，则认为该型号扫地机器人性能表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是______ (填“甲”、“乙”或“丙”)．
23. (本小题8.0分)
甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务.甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送.甲快递站经过a小时后总共派送25000件.由于人员变化，派送速度变慢，结果10小时完成派送任务.乙快递站8小时完成派送任务.在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y(件)与派送时间x(小时)之间的关系如图所示．
(1)乙快递站每小时派送______ 件，a的值为______ ；
(2)甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
24. (本小题8.0分)
【问题】如图①，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在AC上.求证：AD2+CD2=DE2．
【感知】连接CE，则AD=CE，∠ACE=90°.从而得出△DCE为直角三角形，使问题得证.请你根据以上思路，写出完整证明过程；
【应用】如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点D在对角线EG上.若DG=1，DE=3，正方形ABCD的面积是______ ；
【拓展】如图③，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上，连接DC.若AD=3，AE=1，请直接写出△ACD的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6cm.动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，当点P不与点B重合时，将线段PB绕点P旋转得到线段PM，使PM//BC，点M始终在AB的下方，过点M作MN⊥AB于点N.设点P的运动时间为x(s)，△PMN与△ABC重叠部分的图形面积为y(cm2).
(1)当点M落在线段AC上时，x的值为______ ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)直接写出在整个运动过程中，点M运动的路程．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，取一点B(b,0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．
(1)当b=2时，在图中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)小明多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现这些点P竟然在一条曲线L上.设点P的坐标为(x,y)，试求y与x之间的关系式；
(3)①设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，则d1+d2的范围是______ ；当d1+d2=2时，点P的坐标为______ ；
②将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，则k的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作−10℃．
故选：C．
正数和负数表示相反意义的量，上升记为正，可得下降的表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看是一个矩形．
故选：B．
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴−2a<−2b．
故选：B．
不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，由a>b，可得−2a<−2b．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴CB=CE，
∴ED=DC−EC=10−7=3．
故选：D．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠EBC，继而可得BC=E，根据ED=CD−EC即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
5.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1，k=−2，b=1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
根据一次函数的性质，可以得到函数y=−2x+1经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由一次函数的解析式，可以得到经过哪几个象限，不经过哪个象限．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连结OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵AC=PC，
∴∠P=∠A，
设∠A=∠OCA=∠P=x°，
在△APC中，∠A+∠P+∠PCA=180°，
∴x+x+90+x=180，
∴x=30，
∴∠P=30°．
故选：C．
连结OC，根据切线的性质得到∠PCO=90°，根据OC=OA，得到∠A=∠OCA，根据AC=PC，得到∠P=∠A，在△APC中，根据三角形内角和定理可求得∠P=30°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，体现了方程思想，在△APC中，根据三角形内角和定理求∠P是解题的关键．
7.【答案】a≥1
【解析】解：∵二次根式 a−1有意义，
∴a−1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
根据负数没有平方根确定出a的范围即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
8.【答案】a+3>0
【解析】解：根据题意得：a+3>0．
故答案为：a+3>0．
根据“a与3的和是正数”，可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】9a6
【解析】解：(3a3)2=32⋅(a3)2=9⋅a3×2=9a6．
故答案为：9a6．
利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算(a3)2可得答案．
此题主要考查了积的乘方和幂的乘方混合运用，计算时要紧扣积的乘方的性质与幂的乘方乘方性质．
10.【答案】−1
【解析】解：4x+y=5①2x+3y=7②，
①−②，可得2x−2y=−2，
∴x−y=−2÷2=−1．
故答案为：−1．
把二元一次方程组4x+y=52x+3y=7的两个方程的左右两边分别相减，求出2(x−y)的值，进而求出x−y的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是观察二元一次方程组的两个方程之间的关系．
11.【答案】75
【解析】解：依题意得：∠BAC=90°，∠B=60°，∠E=45°，
设AB与EF交于点H，
∵BC//EF，
∴∠AHF=∠B=60°，
又∵∠AHF=∠E+∠BAE，
∴60°=45°+∠BAE，
∴∠BAE=15°，
∵∠DAC+∠CAB+∠BAE=180°，
∴∠DAC+90°+15°=180°，
∴∠DAC=75°．
故答案为：75．
设AB与EF交于点H，根据平行线的性质得∠AHF=∠B=60°，再根据三角形的外角定理可求出∠BAE=15°，进而根据平角的定义可求出∠DAC的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，平角的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12.【答案】(1,−1)
【解析】解：作AC⊥y轴于C，A′D⊥y轴于D，
∵点A的坐标(2,2)，点B坐标(0,1)，
∴AC=2，OC=2，OB=1，
∴BC=2−1=1，
∵将线段AB绕点B顺时针旋转90°，
∴旋转后AB=A′B，∠ABA′=90°，
∴∠ABC+∠A′BD=90°，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠A′BD=∠BAC，
∵∠A′DB=∠ACB=90°，
∴△A′BD≌△BAC(AAS)，
∴A′D=BC=1，BD=AC=2，
∵OD=2−1=1，
∴A′(1,−1)，
∴将线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的坐标变为(1,−1)，
故答案为：(1,−1)．
作AC⊥y轴于C，A′D⊥y轴于D，由旋转的性质可得A′D=BC=1，BD=AC=2，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线构建全等三角形求解．
13.【答案】π−2
【解析】解：∵⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．大正方形的边长是2，
∴⊙O的半径为1，小正方形的边长为 12+12= 2，
∴S阴影部分=S圆−S小正方形
=π×12− 2× 2
=π−2，
故答案为：π−2．
根据正多边形和圆、正方形的性质求出圆的半径和小正方形的边长，再根据S阴影部分=S圆−S小正方形进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，正方形的性质，掌握正方形的性质、勾股定理以及正多边形和圆的性质是正确解答的前提．
14.【答案】74≤y<4
【解析】解：当x=1时，y=1+1+2=4，
当x=−1时，y=1−1+2=2，
∵y=x2+x+2=(x+12)2+74，
∴当−1
故答案为：74≤y<4．
求出当x=1时，当x=−1时，y的值，结合函数图象即可求出n的取值范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
15.【答案】−1
【解析】解：(1)x+2−x(x+4)x+2
=x2+4x+4x+2−x(x+4)x+2
=x2+4x+4−x2−4xx+2
=4x+2；
(2)∵最后所求得的值是正确的，
∴4x+2=4，解得x=−1，
经检验，x=−1是分式方程的解，
故答案为：−1．
(1)根据分式的混合运算法则化简即可；
(2)令化简后式子的值为4，求出相应的x的值即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
16.【答案】证明：在▱ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=12CD，BE=12AB，
∴DF=BE，
在△GFD和△HEB中，
DF=BE∠D=∠BDG=BH，
∴△GFD≌△HEB(SAS)，
∴FG=EH．
【解析】根据平行四边形的性质得出DF=BE，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出DF=BE解答．
17.【答案】解：画树状图得：
∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色是红色的有2种，
∴两次摸出的是红球的概率为29．
【解析】列举出所有情况，看两次都摸出红球的情况数占所有情况数的多少即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：设甲种树苗的单价是x元/株，则乙种树苗的单价是(x+10)元/株，
根据题意得：600x=800x+10，
解得：x=30，
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意．
答：甲种树苗的单价是30元/株．
【解析】设甲种树苗的单价是x元/株，则乙种树苗的单价是(x+10)元/株，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买甲种树苗的棵数与用800元购买乙种树苗的棵数相等，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1中△ABC，△A′B′C′即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2中△ABP，△A′B′P即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；
(2)根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．
20.【答案】解：(1)设电流I与电阻R之间的函数表达式为I=kR．
∵函数图象过点(9,4)，
∴4=k9，
解得k=36．
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为I=36R．
(2)∵限制电流不能超过10A，
∴36R≤10，
解得R≥3.6，
∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【解析】(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，将点(20,1.8)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
(2)将I≤3代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
21.【答案】解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．
∴∠DCF=20°，
∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，
∴DE=2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm．
【解析】过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=20°，利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22.【答案】甲 丙
【解析】解：(1)由题意得：m=110×(10×4+9×3+8×2+3)=8.6；
(2)由折线统计图可知，甲型扫地机器人的10个除尘指数的波动较小，乙型扫地机器人的10个除尘指数的波动较大，
所以在甲、乙两种型号扫地机器人中，甲型扫地机器人的性能稳定．
故答案为：甲；
(3)如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值，则：
甲的平均数为：18×(7+8+8+9+9+9+9+10)=8.625，
乙的平均数为：18×(7+7+7+9+9+10+10+10)=8.625，
丙的平均数为：18×(10+10+9+9+8+9+8+10)=9.125，
9.125>8.625，
∴在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
(1)根据算术平均数的定义计算即可；
(2)根据甲，乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图的波动情况判断即可；
(3)根据算术平均数的定义判断即可．
本题考查数据的整理，涉及折线统计图、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
23.【答案】5000 4
【解析】解：(1)由图象可知，乙快递站每小时派送400008=5000(件)；
∵a小时前甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，
∴a=25000−50005000=4，
故答案为：5000，4；
(2)设y=kx+b，将(4,25000)，(10,40000)代入解析式得：
4k+b=2500010k+b=40000，
解得：k=2500b=15000，
∴y关于x的函数解析式为y=2500x+15000(4≤x≤10)；
(3)把x=8代入y=2500x+15000得y=2500×8+15000=35000，
∴40000−35000=5000(件)，
答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有5000件．
(1)由图象可以求出乙快递站每小时派送的件数；再根据a小时前甲、乙两家快递站派送的速度相同求出a的值；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)先根据(2)解析式求出当x=8时y=35000，再用40000−35000即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
24.【答案】5
【解析】【感知】证明：连接CE，
∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
又AB=BC，DB=EB，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴∠BCE=∠BAD=45°，CE=AD．
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，
∴CE2+CD2=DE2，
又CE=AD，
∴AD2+CD2=DE2.；
【应用】解：如图②，连接BE，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAG=∠BAE，△AEG是等腰直角三角形，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，∠AGD=∠AED=45°，
∴BE=DG=1，∠AEB=∠AGD=45°，
∵∠AED=45°，
∴∠BED=90°，
∵DE=3，
∴BD= 32+12= 10，
∴正方形ABCD的面积是=12× 10× 10=5．
故答案为：5；
【拓展】解：如图③，过点A作AM⊥CD于M，
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∴CD=AE=1，∠CDB=∠AEB=60°，
∴∠ADC=60°+60°=120°，
∴∠ADM=60°，
Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=3，
∴DM=32，
∴AM= AD2−DM2= 32−(32)2=3 32，
∴△ACD的面积=12⋅CD⋅AM=12×1×3 32=3 34．
【感知】根据SAS证明△ABD≌△CBE可得结论；
【应用】如图②，连接BE，根据SAS证明△DAG≌△BAE，可得BE=DG=1，∠AEB=∠AGD=45°，由勾股定理可得BD的长，最后由正方形的面积=两条对角线乘积的一半可得结论；
【拓展】如图③，过点A作AM⊥CD于M，根据SAS证明△CBD≌△ABE，得CD=AE=1，∠CDB=∠AEB=60°，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得DM和AM的长，最后由三角形的面积公式可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，解本题的关键是证明两个三角形全等．
25.【答案】1
【解析】解：(1)如图，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵PM//BC，
∴∠APM=∠B=60°，∠C=∠PMA=90°，
∵将线段PB绕点P旋转得到线段PM，
∴PB=PM=2x cm，
∴PA=2PM=4x cm，
∴2x+4x=6，
∴x=1，
故答案为：1；
(2)当0
y=S△PMN=12PN⋅MN=12x⋅ 3x= 32x2；
当1≤x≤2时，如图，
y=S△PAH−S△ANG= 32(3−x)2− 36(6−3x)2=− 3x2+3 3x−32 3；
当2
y=S△APH= 32(3−x)2= 32x2−3 3x+92 3．
综上所述，y= 32x2(0
由(2)可知AB=AM=6cm，过点A作AK⊥BM于点K，
则∠ABK=∠M=30°，
∴AK=3cm，
∴BK=3 3cm，
∴BM=2BK=6 3cm．
(1)由直角三角形的性质得出∠APM=∠B=60°，∠C=∠PMA=90°，由旋转的性质得出PB=PM=2x cm，求出PA=2PM=4x cm，则可得出答案；
(2)分三种情况画出图形，由三角形面积公式可得出答案；
(3)由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
26.【答案】≥12 (3,5)或(−3,5) − 33
(2)当x>0时，连接AP，作PE⊥y轴于E，
∵l1垂直平分AB，
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE−OA=y−1，PA=y，
∴y2=x2+(y−1)2，
∴y=12x2+12，
当x<0时，点P(x,y)同样满足y=12x2+12，
∴曲线l就是二次函数y=12x2+12即曲线l是抛物线；
(3)①∵d1=12x2+12，d2=|x|，
∴d1+d2=12x2+12+|x|，
当x=0时，d1+d2有最小值12，
∴d1+d2≥12，
∵d1+d2=2，则12x2+12+|x|=2，
当x≥0时，原方程化为12x2+12+x−2=0，
解得x=1或(−3舍弃)，
当x<0时，原方程化为12x2+12−x−2=0，
解得x=−1或(3舍弃)，
∵x=±1时，y=5，
∴点P坐标(1,1)或(−1,1)，
故答案为：≥12，(1,1)或(−1,1)；
②如图3中，
把y=2代入y=12x2+12，
解得x=± 3，
∴直线y=2与抛物线y=12x2+12的两个交点为(− 3,2)和( 3,2)，
当直线y=kx+3经过点(− 3,2)时，2=− 3k+3，
∴k= 33，
当直线y=kx+3经过点( 3,2)时，2= 3k+3，
∴k=− 33，
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：− 33
(2)①分x>0或x<0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题；
(3)①由题意得d1+d2=12x2+12+|x|，列出方程即可解决问题；
③求出直线y=2与抛物线y=12x2+12的两个交点为(− 3,2)和( 3,2)，利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题．
本题考查一次函数的综合应用，掌握垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确画出图形，利用勾股定理构建方程，学会转化的思想是解决问题的关键．
2023年吉林省吉林市船营区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作( )
A. 7℃ B. 10℃ C. −10℃ D. −7℃
2. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如右图所示.按图放置的“堑堵”，它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知a>b，则一定有−2a□−2b，“□”中应填的符号是( )
A. > B. < C. ≥ D. =
4. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=7，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( )
A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3
5. 一次函数y=−2x+1的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC，则∠P的度数是( )
A. 15° B. 20° C. 30° D. 45°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若二次根式 a−1有意义，则a的取值范围是______．
8. a与3的和是正数，用不等式表示为______ ．
9. 计算：(3a3)2=______．
10. 已知二元一次方程组4x+y=52x+3y=7，则x−y的值为______ ．
11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点A在DE边上，BC//EF，则∠DAC的度数是______ °.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(2,2)，点B坐标(0,1)，连接AB.将线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的坐标变为______ ．
13. 如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积为______ ．
14. 点P(m,n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
下面解题过程中，第一步就出现了错误，但最后所求得的值是正确的．
(1)请写出正确的化简过程；
(2)图中被遮住的x的值是______ ．
先化简，再求值：x+2−x(x+4)x+2，其中x=．
解：原式=(x+2)(x+2)−x(x+4)x+2=(x2+4x+4)−(x2+4x)=4．
16. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，BC上，且DG=BH.求证：FG=EH．
17. (本小题5.0分)
一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．
18. (本小题5.0分)
今年的3月12日是我国第45个植树节.某学校为美化校园需补栽甲、乙两种树苗.咨询商家得知，甲种树苗每株比乙种树苗便宜10元，最后分别用600元，800元购买了相同数量的两种树苗.求甲种树苗的单价．
19. (本小题7.0分)
如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形(顶点均在格点上)．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形．
20. (本小题7.0分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示：
(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？
21. (本小题7.0分)
林林将一张纸对折后做成了纸飞机如图①所示，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②所示，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°.连结DE，求线段DE的长.(结果精确到0.1cm.)(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.78，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.)
22. (本小题7.0分)
为了了解甲、乙、丙三种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某月生产的甲、乙、丙三种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数的数据，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
ⅰ，甲，乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图：
ⅱ，丙型号扫地机器人的除尘指数数据：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10．
ⅲ，甲、乙、丙三种型号机器人除尘指数的平均数：
扫地机器人
甲
乙
丙
除尘指数平均数
8.6
8.6
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在抽取的扫地机器人中，如果除尘指数的10个数据的方差越小，则认为该型号的扫地机器人性能更稳定.据此推断：在甲、乙两种型号扫地机器人中，______ 型扫地机器人的性能稳定(填“甲”或“乙”)；
(3)在抽取的扫地机器人中，如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值之后的平均值作为性能参考，平均值越高，则认为该型号扫地机器人性能表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是______ (填“甲”、“乙”或“丙”)．
23. (本小题8.0分)
甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务.甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送.甲快递站经过a小时后总共派送25000件.由于人员变化，派送速度变慢，结果10小时完成派送任务.乙快递站8小时完成派送任务.在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y(件)与派送时间x(小时)之间的关系如图所示．
(1)乙快递站每小时派送______ 件，a的值为______ ；
(2)甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
24. (本小题8.0分)
【问题】如图①，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在AC上.求证：AD2+CD2=DE2．
【感知】连接CE，则AD=CE，∠ACE=90°.从而得出△DCE为直角三角形，使问题得证.请你根据以上思路，写出完整证明过程；
【应用】如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点D在对角线EG上.若DG=1，DE=3，正方形ABCD的面积是______ ；
【拓展】如图③，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上，连接DC.若AD=3，AE=1，请直接写出△ACD的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6cm.动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，当点P不与点B重合时，将线段PB绕点P旋转得到线段PM，使PM//BC，点M始终在AB的下方，过点M作MN⊥AB于点N.设点P的运动时间为x(s)，△PMN与△ABC重叠部分的图形面积为y(cm2).
(1)当点M落在线段AC上时，x的值为______ ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)直接写出在整个运动过程中，点M运动的路程．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，取一点B(b,0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．
(1)当b=2时，在图中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)小明多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现这些点P竟然在一条曲线L上.设点P的坐标为(x,y)，试求y与x之间的关系式；
(3)①设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，则d1+d2的范围是______ ；当d1+d2=2时，点P的坐标为______ ；
②将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，则k的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：若气温上升7℃记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作−10℃．
故选：C．
正数和负数表示相反意义的量，上升记为正，可得下降的表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看是一个矩形．
故选：B．
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴−2a<−2b．
故选：B．
不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，由a>b，可得−2a<−2b．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴CB=CE，
∴ED=DC−EC=10−7=3．
故选：D．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠EBC，继而可得BC=E，根据ED=CD−EC即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
5.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1，k=−2，b=1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
根据一次函数的性质，可以得到函数y=−2x+1经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由一次函数的解析式，可以得到经过哪几个象限，不经过哪个象限．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连结OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵AC=PC，
∴∠P=∠A，
设∠A=∠OCA=∠P=x°，
在△APC中，∠A+∠P+∠PCA=180°，
∴x+x+90+x=180，
∴x=30，
∴∠P=30°．
故选：C．
连结OC，根据切线的性质得到∠PCO=90°，根据OC=OA，得到∠A=∠OCA，根据AC=PC，得到∠P=∠A，在△APC中，根据三角形内角和定理可求得∠P=30°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，体现了方程思想，在△APC中，根据三角形内角和定理求∠P是解题的关键．
7.【答案】a≥1
【解析】解：∵二次根式 a−1有意义，
∴a−1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
根据负数没有平方根确定出a的范围即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
8.【答案】a+3>0
【解析】解：根据题意得：a+3>0．
故答案为：a+3>0．
根据“a与3的和是正数”，可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】9a6
【解析】解：(3a3)2=32⋅(a3)2=9⋅a3×2=9a6．
故答案为：9a6．
利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算(a3)2可得答案．
此题主要考查了积的乘方和幂的乘方混合运用，计算时要紧扣积的乘方的性质与幂的乘方乘方性质．
10.【答案】−1
【解析】解：4x+y=5①2x+3y=7②，
①−②，可得2x−2y=−2，
∴x−y=−2÷2=−1．
故答案为：−1．
把二元一次方程组4x+y=52x+3y=7的两个方程的左右两边分别相减，求出2(x−y)的值，进而求出x−y的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是观察二元一次方程组的两个方程之间的关系．
11.【答案】75
【解析】解：依题意得：∠BAC=90°，∠B=60°，∠E=45°，
设AB与EF交于点H，
∵BC//EF，
∴∠AHF=∠B=60°，
又∵∠AHF=∠E+∠BAE，
∴60°=45°+∠BAE，
∴∠BAE=15°，
∵∠DAC+∠CAB+∠BAE=180°，
∴∠DAC+90°+15°=180°，
∴∠DAC=75°．
故答案为：75．
设AB与EF交于点H，根据平行线的性质得∠AHF=∠B=60°，再根据三角形的外角定理可求出∠BAE=15°，进而根据平角的定义可求出∠DAC的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，平角的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12.【答案】(1,−1)
【解析】解：作AC⊥y轴于C，A′D⊥y轴于D，
∵点A的坐标(2,2)，点B坐标(0,1)，
∴AC=2，OC=2，OB=1，
∴BC=2−1=1，
∵将线段AB绕点B顺时针旋转90°，
∴旋转后AB=A′B，∠ABA′=90°，
∴∠ABC+∠A′BD=90°，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠A′BD=∠BAC，
∵∠A′DB=∠ACB=90°，
∴△A′BD≌△BAC(AAS)，
∴A′D=BC=1，BD=AC=2，
∵OD=2−1=1，
∴A′(1,−1)，
∴将线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的坐标变为(1,−1)，
故答案为：(1,−1)．
作AC⊥y轴于C，A′D⊥y轴于D，由旋转的性质可得A′D=BC=1，BD=AC=2，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线构建全等三角形求解．
13.【答案】π−2
【解析】解：∵⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．大正方形的边长是2，
∴⊙O的半径为1，小正方形的边长为 12+12= 2，
∴S阴影部分=S圆−S小正方形
=π×12− 2× 2
=π−2，
故答案为：π−2．
根据正多边形和圆、正方形的性质求出圆的半径和小正方形的边长，再根据S阴影部分=S圆−S小正方形进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，正方形的性质，掌握正方形的性质、勾股定理以及正多边形和圆的性质是正确解答的前提．
14.【答案】74≤y<4
【解析】解：当x=1时，y=1+1+2=4，
当x=−1时，y=1−1+2=2，
∵y=x2+x+2=(x+12)2+74，
∴当−1
故答案为：74≤y<4．
求出当x=1时，当x=−1时，y的值，结合函数图象即可求出n的取值范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
15.【答案】−1
【解析】解：(1)x+2−x(x+4)x+2
=x2+4x+4x+2−x(x+4)x+2
=x2+4x+4−x2−4xx+2
=4x+2；
(2)∵最后所求得的值是正确的，
∴4x+2=4，解得x=−1，
经检验，x=−1是分式方程的解，
故答案为：−1．
(1)根据分式的混合运算法则化简即可；
(2)令化简后式子的值为4，求出相应的x的值即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
16.【答案】证明：在▱ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=12CD，BE=12AB，
∴DF=BE，
在△GFD和△HEB中，
DF=BE∠D=∠BDG=BH，
∴△GFD≌△HEB(SAS)，
∴FG=EH．
【解析】根据平行四边形的性质得出DF=BE，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出DF=BE解答．
17.【答案】解：画树状图得：
∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色是红色的有2种，
∴两次摸出的是红球的概率为29．
【解析】列举出所有情况，看两次都摸出红球的情况数占所有情况数的多少即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：设甲种树苗的单价是x元/株，则乙种树苗的单价是(x+10)元/株，
根据题意得：600x=800x+10，
解得：x=30，
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意．
答：甲种树苗的单价是30元/株．
【解析】设甲种树苗的单价是x元/株，则乙种树苗的单价是(x+10)元/株，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买甲种树苗的棵数与用800元购买乙种树苗的棵数相等，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1中△ABC，△A′B′C′即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2中△ABP，△A′B′P即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；
(2)根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．
20.【答案】解：(1)设电流I与电阻R之间的函数表达式为I=kR．
∵函数图象过点(9,4)，
∴4=k9，
解得k=36．
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为I=36R．
(2)∵限制电流不能超过10A，
∴36R≤10，
解得R≥3.6，
∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【解析】(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，将点(20,1.8)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
(2)将I≤3代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
21.【答案】解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．
∴∠DCF=20°，
∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，
∴DE=2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm．
【解析】过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=20°，利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22.【答案】甲 丙
【解析】解：(1)由题意得：m=110×(10×4+9×3+8×2+3)=8.6；
(2)由折线统计图可知，甲型扫地机器人的10个除尘指数的波动较小，乙型扫地机器人的10个除尘指数的波动较大，
所以在甲、乙两种型号扫地机器人中，甲型扫地机器人的性能稳定．
故答案为：甲；
(3)如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值，则：
甲的平均数为：18×(7+8+8+9+9+9+9+10)=8.625，
乙的平均数为：18×(7+7+7+9+9+10+10+10)=8.625，
丙的平均数为：18×(10+10+9+9+8+9+8+10)=9.125，
9.125>8.625，
∴在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．
(1)根据算术平均数的定义计算即可；
(2)根据甲，乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图的波动情况判断即可；
(3)根据算术平均数的定义判断即可．
本题考查数据的整理，涉及折线统计图、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
23.【答案】5000 4
【解析】解：(1)由图象可知，乙快递站每小时派送400008=5000(件)；
∵a小时前甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，
∴a=25000−50005000=4，
故答案为：5000，4；
(2)设y=kx+b，将(4,25000)，(10,40000)代入解析式得：
4k+b=2500010k+b=40000，
解得：k=2500b=15000，
∴y关于x的函数解析式为y=2500x+15000(4≤x≤10)；
(3)把x=8代入y=2500x+15000得y=2500×8+15000=35000，
∴40000−35000=5000(件)，
答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有5000件．
(1)由图象可以求出乙快递站每小时派送的件数；再根据a小时前甲、乙两家快递站派送的速度相同求出a的值；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)先根据(2)解析式求出当x=8时y=35000，再用40000−35000即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
24.【答案】5
【解析】【感知】证明：连接CE，
∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
又AB=BC，DB=EB，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴∠BCE=∠BAD=45°，CE=AD．
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，
∴CE2+CD2=DE2，
又CE=AD，
∴AD2+CD2=DE2.；
【应用】解：如图②，连接BE，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAG=∠BAE，△AEG是等腰直角三角形，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，∠AGD=∠AED=45°，
∴BE=DG=1，∠AEB=∠AGD=45°，
∵∠AED=45°，
∴∠BED=90°，
∵DE=3，
∴BD= 32+12= 10，
∴正方形ABCD的面积是=12× 10× 10=5．
故答案为：5；
【拓展】解：如图③，过点A作AM⊥CD于M，
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∴CD=AE=1，∠CDB=∠AEB=60°，
∴∠ADC=60°+60°=120°，
∴∠ADM=60°，
Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=3，
∴DM=32，
∴AM= AD2−DM2= 32−(32)2=3 32，
∴△ACD的面积=12⋅CD⋅AM=12×1×3 32=3 34．
【感知】根据SAS证明△ABD≌△CBE可得结论；
【应用】如图②，连接BE，根据SAS证明△DAG≌△BAE，可得BE=DG=1，∠AEB=∠AGD=45°，由勾股定理可得BD的长，最后由正方形的面积=两条对角线乘积的一半可得结论；
【拓展】如图③，过点A作AM⊥CD于M，根据SAS证明△CBD≌△ABE，得CD=AE=1，∠CDB=∠AEB=60°，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得DM和AM的长，最后由三角形的面积公式可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，解本题的关键是证明两个三角形全等．
25.【答案】1
【解析】解：(1)如图，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵PM//BC，
∴∠APM=∠B=60°，∠C=∠PMA=90°，
∵将线段PB绕点P旋转得到线段PM，
∴PB=PM=2x cm，
∴PA=2PM=4x cm，
∴2x+4x=6，
∴x=1，
故答案为：1；
(2)当0
y=S△PMN=12PN⋅MN=12x⋅ 3x= 32x2；
当1≤x≤2时，如图，
y=S△PAH−S△ANG= 32(3−x)2− 36(6−3x)2=− 3x2+3 3x−32 3；
当2
y=S△APH= 32(3−x)2= 32x2−3 3x+92 3．
综上所述，y= 32x2(0
由(2)可知AB=AM=6cm，过点A作AK⊥BM于点K，
则∠ABK=∠M=30°，
∴AK=3cm，
∴BK=3 3cm，
∴BM=2BK=6 3cm．
(1)由直角三角形的性质得出∠APM=∠B=60°，∠C=∠PMA=90°，由旋转的性质得出PB=PM=2x cm，求出PA=2PM=4x cm，则可得出答案；
(2)分三种情况画出图形，由三角形面积公式可得出答案；
(3)由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
26.【答案】≥12 (3,5)或(−3,5) − 33
(2)当x>0时，连接AP，作PE⊥y轴于E，
∵l1垂直平分AB，
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE−OA=y−1，PA=y，
∴y2=x2+(y−1)2，
∴y=12x2+12，
当x<0时，点P(x,y)同样满足y=12x2+12，
∴曲线l就是二次函数y=12x2+12即曲线l是抛物线；
(3)①∵d1=12x2+12，d2=|x|，
∴d1+d2=12x2+12+|x|，
当x=0时，d1+d2有最小值12，
∴d1+d2≥12，
∵d1+d2=2，则12x2+12+|x|=2，
当x≥0时，原方程化为12x2+12+x−2=0，
解得x=1或(−3舍弃)，
当x<0时，原方程化为12x2+12−x−2=0，
解得x=−1或(3舍弃)，
∵x=±1时，y=5，
∴点P坐标(1,1)或(−1,1)，
故答案为：≥12，(1,1)或(−1,1)；
②如图3中，
把y=2代入y=12x2+12，
解得x=± 3，
∴直线y=2与抛物线y=12x2+12的两个交点为(− 3,2)和( 3,2)，
当直线y=kx+3经过点(− 3,2)时，2=− 3k+3，
∴k= 33，
当直线y=kx+3经过点( 3,2)时，2= 3k+3，
∴k=− 33，
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：− 33
(2)①分x>0或x<0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题；
(3)①由题意得d1+d2=12x2+12+|x|，列出方程即可解决问题；
③求出直线y=2与抛物线y=12x2+12的两个交点为(− 3,2)和( 3,2)，利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题．
本题考查一次函数的综合应用，掌握垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确画出图形，利用勾股定理构建方程，学会转化的思想是解决问题的关键．
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