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2023年广西南宁三中青秀校区中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）
展开这是一份2023年广西南宁三中青秀校区中考数学适应性试卷（6月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西南宁三中青秀校区中考数学适应性试卷（6月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 123的相反数是( )
A. 123 B. −123 C. 23 D. −23
2. 下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球20500万千米，其中20500万千米用科学记数法表示为( )
A. 2.05×108千米 B. 2.05×109 千米 C. 20.5×107千米 D. 20.5×108千米
4. 下面调查中，适合采用全面调查的是( )
A. 对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查 B. 了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C. 了解一个班级学生的视力情况 D. 了解某型号手机的使用寿命
5. 下列运算正确的是( )
A. m3+m2=m5 B. (a3)2=a9 C. (ab3)2=ab6 D. m5÷m3=m2
6. 如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到.理由是( )
A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有无数条直线
7. 如图，AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为( )
A. 55°
B. 75°
C. 80°
D. 105°
8. 如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是( )
A. a+b<0 B. b−a<0 C. 2a>2b D. a+2
A. 1 B. −1 C. 7 D. −7
10. 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是( )
A. 52π B. 152π C. 54π D. 154π
11. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：绳测进井深.假若井不知深，先将绳三折人井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺.问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下尺.问井深几尺？绳长几尺？设绳长为h尺，井深为x尺，则可列方程组为( )
A. 3h=x−44h=x−1 B. 3h=x+44h=x+1 C. h3=x−4h4=x−1 D. h3=x+4h4=x+1
12. 某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于( )
A. 1：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 3：5
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若代数式 x−2023有意义，则x的取值范围是 ．
14. 分解因式：3m2−12= ______ ．
15. 从−2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是 ．
16. 如图，函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______ ．
17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F，则CF的长为______ ．
18. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y= 33x(x>0)的图象经过线段DC的中点N，若BD=4，则ME的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(−2)2−12× 36÷3．
20. (本小题6.0分)
解方程：x(x−2)−3=0．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在图中作出点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当∠BAC=100°时，求∠AED的度数．
22. (本小题10.0分)
在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量(千克棵)进行整理分析.下面给出了部分信息：甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9；乙品种：如图所示：
甲、乙品种产量统计表：
品种
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)若乙品种种植3000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；
(3)请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好．
23. (本小题10.0分)
为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购A种玩具，用5000元进购B种玩具．已知一个B种玩具进价比一个A种玩具进价多5元，又知进购A玩具的数量是B玩具数量的2倍．
(1)A，B两种玩具的进价各是多少元？
(2)玩具店将A种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售A种玩具的单日利润最高，A玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？
24. (本小题10.0分)
【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】
探究一：
(1)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=b，BC=a，∠B=α，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴sinα= ______
∴AC=b⋅sinα
∴S△ABC=12BC⋅AC= ______
探究二：
(2)在△ABC中，AB=b，BC=a，∠B=α(α<90°)，求△ABC的面积(用a、b、α表示)．
【性质应用】
(3)在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=7，∠B=30°，则平行四边形ABCD的面积为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，PB为⊙O的切线，点B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF，
(1)求证：直线PA为⊙O的切线；
(2)若BC=6，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=12x2+2x−6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求点B的坐标并直接写出直线AC的函数表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N.当S△DMN=S△AOC时，请直接写出DM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：123的相反数是−123．
故选：B．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：20500万=205000000=2.05×108．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.了解市面上一次性餐盒的卫生情况，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.了解一个班级学生的视力情况，由于人数不多，且容易实施，因此适合全面调查，因此选项C符合题意；
D.了解某型号手机的使用寿命，由于数量较多且不容易实施，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据抽样调查、全面调查的意义结合具体的问题情况进行判断即可．
本题考查全面调查、抽样调查，理解全面调查、抽样调查的意义是正确判断的前提．
5.【答案】D
【解析】解：A、m3与m2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B不符合题意；
C、(ab3)2=a2b6，故C不符合题意；
D、m5÷m3=m2，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故选：A．
根据题意可直接进行求解．
本题主要考查垂线段，熟练掌握“垂线段最短”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
∵AB//CD，∠1=45°，∠2=35°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=∠4+∠2，
∴∠3=45°+35°=80°．
故选：C．
由平行线的性质可得∠4=∠1，再利用三角形的外角性质即可求得∠3的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】D
【解析】解：由数轴可得a<0
则A不符合题意；
b−a>0，
则B不符合题意；
2a<2b，
则C不符合题意；
a+2
故选：D．
由数轴可得a<0
9.【答案】A
【解析】解：∵点P(a,3)和点Q(4,b)关于x轴对称，
∴a=4，b=−3，
则a+b=4−3=1．
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质(横坐标不变，纵坐标互为相反数)得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：弧长=150π⋅3180=52π，
故选：A．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键记住弧长l=nπr180，属于中考常考题型．
11.【答案】D
【解析】解：设绳长为h尺，井深为x尺，由题意可得，
h3=x+4h4=x+1．
故选：D．
设绳长H尺，井深X尺，根据将绳子折成三等份，井外余绳4尺，可得方程h3=x+4，根据将绳子折成四等份，井外余绳1尺，可得方程h4=x+1，从而得到相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组．
12.【答案】C
【解析】解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB=BE．
从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE=EF．
从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF=DG．
从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD.GC=CH=AB2
从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD，
从M点沿于CA成45度角射出，到B点，
看图是2个半以AB为边长的正方形，
所以1：2.5=2：5．
故选：C．
根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可．
本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解．
13.【答案】x≥2023
【解析】解：由题意得：x−2023≥0，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式x−2023≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
14.【答案】3(m−2)(m+2)
【解析】解：3m2−12
=3(m2−4)
=3(m−2)(m+2)．
故答案为：3(m−2)(m+2)．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
15.【答案】13
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与画树状图法：通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了平面直角坐标系中点的坐标．
【解答】
解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，它们是：(−2,4)，(−2,5)，(4,−2)，(4,5)，(5,4)，(5,−2)，
其中点P在第四象限的结果数为2，即(4,−2)，(5,−2)，
所以点P在第四象限的概率=26=13．
故答案为13．
16.【答案】x>−1
【解析】解：观察一次函数图象可知，当y<3时，x的取值范围是x>−1，
则不等式kx+b<3的解集为x>−1，
故答案为：x>−1．
观察一次函数图象，可知当y<3时，x的取值范围是x>−1，据此即可得到答案．
本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题关键．
17.【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=2，∠B=∠C=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴ABEC=BECF，
∵AB=2BE=2EC=2，
∴BE=EC=1，
∴CF=12，
故答案为：12．
证明△ABE∽△ECF，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
18.【答案】23
【解析】解：在菱形ABCD中，AB=BC，BD⊥AC，OB=OD=12BD=2，∠ABC=2∠OBC，
∴点D(0,2)，
设点C(m,0)，
∵点N为CD的中点，
∴点N(m2,1)，
∵反比例函数y= 33x(x>0)的图象经过点N，
∴1= 33×m2，
解得：m=2 33，即点C(2 33,0)，
∴OC=2 33，
∴AC=4 33，tan∠OBC=OCOB= 33，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC=AC=4 33，
∵AE⊥BC，
∴BE=12BC=2 33，
∴EM=BE⋅tan∠OBC=23．
故答案为：23．
根据菱形的性质，可得点D(0,2)，设点C(m,0)，根据点N为CD的中点，可得点N(m2,1)，再由反比例函数y= 33x(x>0)的图象经过点N，可得C(2 33,0)，从而得到AC=4 33，tan∠OBC=OCOB= 33，可证得△ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=4−12×6÷3
=4−1
=3．
【解析】先算乘方和开方，再算乘法，最后算减法．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20.【答案】解：方程整理，得：x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
则x−3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=−1．
【解析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，点D即为所求．
(2)如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠DAC=12∠BAC=50°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=12(180°−∠DAE)=65°．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于D，点D即为所求(答案不唯一)．
(2)利用等腰三角形的性质求解即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】3.2 3.5
【解析】解：(1)把甲品种的产量从小到大排列：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，中位数是3.2+3.22=3.2，
乙品种的产量3.5千克的最多有3棵，所以众数为3.5，
故答案为：3.2，3.5．
(2)3000×610=1800(棵)；
答：估计其产量不低于3.16千克的棵数有180棵；
(3)因为甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，
所以乙品种更好，产量稳定．
(1)利用中位数和众数的定义即可求出；
(2)用3000乘以产量不低于3.16千克的百分比即可；
(3)根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
23.【答案】解：(1)设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，
由题意得8000x−5=5000x×2，
解得x=25，
经检验x=25是原方程的解．
所以25−5=20(元)
答：A的进价是20元，B的进价是25元；
(2)设A玩具降价m元，单日利润是w元，
由题意得：w=(40−m−20)(30+10×m2)=−5m2+70m+600=−5(m−7)2+845，
∵−5<0，
∴m=7时，w取得最大值，最大值为845．
答：A玩具降价7元，单日最高利润是845元．
【解析】(1)设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，由题意得8000x−5=5000x×2，即可解得答案；
(2)设A玩具降价m元，单日利润是w元，可得：w=−5(m−7)2+845，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系及用含m的代数式表示w．
24.【答案】ACb 12absinα 14
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinB=ACAB，
∴sinα=ACb，
∴AC=b⋅sinα，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12a⋅bsinα=12absinα；
故答案为：ACb；12absinα；
(2)过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=b，BC=a，∠B=α，
由(1)可知，AH=b⋅sinα，
∴S△ABC=12BC⋅AH=12a⋅bsinα=12absinα；
(3)如图，作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴sinα=AHAB，
∴AH=4×sin30°=2，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅AH=7×2=14．
(1)由三角函数的定义直接可得出结论；
(2)作高AH⊥BC于H，求出高AH，即可解决问题；
(3)作高AH⊥BC于H，求出高AH，再利用平行四边形的面积为底×高，即可求出结论．
本题考查四边形综合题，三角形的面积，平行四边形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25.【答案】证明：(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
OA=OB∠POA=∠POBOP=OP，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线；
(2)∵OA=OC，AD=DB，
∴OD=12BC=3，
设AD=x，
∵tan∠F=12，
∴FD=2x，则OA=OF=2x−3，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即(2x−3)2=32+x2，
解得，x=4，
则AD=4，AB=8，
∵AC是直径
∴∠ABC=90°
∴AC= AB2+BC2=10
∴cos∠ACB=BCAC=610=35
【解析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论；
(2)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，根据勾股定理计算即可．
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)当y=0时，12x2+2x−6=0，
解得x1=−6，x2=2，
∴A(−6,0)，B(2,0)，
当x=0时，y=−6，
∴C(0,−6)，
∵A(−6,0)，C(0,−6)，
∴直线AC的函数表达式为y=−x−6；
(2)①存在：设点D的坐标为(m,−m−6)，其中−6
∴BD2=(m−2)2+(m+6)2，BC2=22+62=40，DC2=m2+(−m−6+6)2=2m2，
∵DE//BC，
∴当DE=BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD2=BC2，
∴(m−2)2+(m+6)2=40，
解得：m1=−4，m2=0(舍去)，
∴点D的坐标为(−4,−2)，
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(−6,−8)；
如图，当CD=CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2=CB2，
∴2m2=40，
解得：m1=−2 5，m2=2 5(舍去)，
∴点D的坐标为(−2 5,2 5−6)，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(2−2 5,2 5)；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(−6,−8)或(2−2 5,2 5)；
②设点D的坐标为(m,−m−6)，其中−6
∵A(−6,0)，B(2,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2，
∵直线BC的函数表达式为y=3x−6，直线l//BC，
∴设直线l的解析式为y=3x+b，
∵点D的坐标(m,−m−6)，
∴b=−4m−6，
∴M(−2,−4m−12)，
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N(−2,−4)，
∴MN=−4m−12+4=−4m−8，
∵S△DMN=S△AOC，
∴12(−4m−8)(−2−m)=12×6×6，
整理得：m2+4m−5=0，
解得：m1=−5，m2=1(舍去)，
∴点D的坐标为(−5,−1)，
∴点M的坐标为(−2,8)，
∴DM= (−2+5)2+(8+1)2=3 10，
答：DM的长为3 10．
【解析】(1)解方程12x2+2x−6=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得点C的坐标，即可得直线BC的函数表达式；
(2)①设点D的坐标为(m,−m−6)，其中−6
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