2022-2023学年吉林省松原市长岭县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省松原市长岭县中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省松原市长岭县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某会展中心展出的一只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是(    )
A.
B.
C.
D.
2. 本市11月份某天的最高气温是1℃，最低气温是−8℃，那么该天的温差是(    )
A. 9℃ B. 7℃ C. −9℃ D. −7℃
3. 某商品每件为a元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则可得关于a的不等式为(    )
A. 50a≤342 B. 50a<342 C. 50a>342 D. 50a≥342
4. 已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(    )
A. a>b B. ab<0 C. b−a>0 D. a+b>0
5. 如图，已知∠1=∠2，则有(    )
A. AB//CD
B. AE//DF
C. AB//CD且AE//DF
D. 以上都不对
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB=80°，则∠ACB的大小为(    )
A. 50°
B. 30°
C. 40°
D. 60°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 化简：|−2022|=______．
8. 计算：a⋅a4=______．
9. 买一个排球需要a元，买一个足球需要b元，买一个篮球需要c元，小明买2个排球、6个足球、1个篮球共需要______元(用式子表示)．
10. 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有x人买鸡，鸡价为y文钱，可列方程组为______．
11. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从点A滑行至点B，已知AB=100m，则这名滑雪运动员的高度下降了______m.


12. 如图，将边长为4的正方形放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是(−1,2)，则点C的坐标是______．


13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，连接OE，若AB=4，则OE的长为______ ．


14. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，已知⊙O的半径为6，则图中阴影部分的面积______．


三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
如图，已知∠ABC=∠BAD，∠C=∠D，求证：△ABC≌△BAD．





16. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(x−1)2+x(4−x)，其中x= 2−1．
17. (本小题5.0分)
一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外，其它都一样，小亮从布袋摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，请你用列举法(列表法或树形图)分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．
18. (本小题5.0分)
如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．
(1)在图1中画出以AB为边的菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；
(2)在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上(画出一个即可)．
19. (本小题7.0分)
为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与用300元单独购买乙种果树苗的数量相同，求甲种果树苗的单价为多少元？
20. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(−1,4)，点B的坐标为(4,n)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足k1x+b>k2x的x的取值范围．

21. (本小题7.0分)
如图所示，为了测量某建筑物的高AB，在距离B点20 3米的D处安置测角仪，测得A点的仰角α为60°，已知仪器的高CD=1.5米，求建筑物的高AB．

22. (本小题7.0分)
某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读1～4本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本；B：2本；C：3本；D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).请根据统计图解答下列问题：
(1)在这次调查中D类型有多少名学生？
(2)直接写出被调查学生读书数量的众数和中位数；
(3)求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？


23. (本小题8.0分)
一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t小时，根据以上信息回答下列问题：
(1)开始时，汽车的油量a=______升；
(2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升；
(3)根据图象求加油前Q与t之间的关系式，并写出t的取值范围．

24. (本小题8.0分)
【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE//DF．
∵l1//l2，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF．
又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．
∴S△ABC=S△DBC．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．


25. (本小题10.0分)
如图(1)所示，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边BC的中点，射线DE⊥BC交AB于点E，点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动，以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角三角形DPQ.设点P的运动时间为t(秒)．

(1)用含t的代数式表示线段EP的长；
(2)求点Q落在边AC上时t的值；
(3)当点Q在△ABC内部时，设△PDQ和△ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位)，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
26. (本小题10.0分)
已知抛物线y=a(x−m)2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A，B关于原点O的对称点分别力C，D.若A，B，C，D中任何三点都不在一条直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

(1)如图(1)所示，求抛物线y=(x−3)2+1的伴随直线的解析式；
(2)如图(2)所示，若抛物线y=a(x−m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x−3，伴随四边形的面积为12.求此抛物线的解析式；
(3)如图(3)所示，若抛物线y=a(x−m)2+n的伴随直线是y=−2x+b(b>0)，且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m，n的值．
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由俯视图的意义可知，C选项符合题意，
故选：C．
根据俯视图的意义，进行判断，俯视图实际上就是从上到下正投影．
考查简单几何体的三视图，实际上，三种视图，就是从不同方向的正投影．

2.【答案】A 
【解析】解：1−(−8)=1+8=9(℃)．
故选：A．
用最高温度减去最低温度，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可．
本题考查了有理数的减法的应用，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是关键．

3.【答案】A 
【解析】解：由“某商品每件为a元”知，买50件这样的商品的总费用为：50a元．
由“买50件这样的商品的总费用不高于342元”知：50a≤342．
故选：A．
根据“买50件这样的商品的总费用不高于342元”可列出不等式．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是以销售额作为不等量关系列不等式．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能根据各数的大小判断选项中的结论是否成立．
由数轴可得b 【解答】
解：由数轴可得，b 所以a>b，(故A正确)；
ab>0，(故B错误)；
b−a<0，(故C错误)；
a+b<0，(故D错误)．
故选A．
  
5.【答案】B 
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AE//DF(内错角相等，两直线平行)．
故选：B．
∠1、∠2是直线AE、DF被AD所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行可知AE//DF．
本题主要考查了内错角相等，两直线平行的判定．

6.【答案】C 
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=80°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×80°=40°．
故选：C．
利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

7.【答案】2022 
【解析】解：|−2022|=2022，
故答案为：2022．
利用绝对值的意义判断即可．
本题考查了绝对值的意义，学生必须熟练掌握才能正确判断．

8.【答案】a5 
【解析】解：原式=a1+4=a5，
故答案为：a5．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．

9.【答案】(2a+6b+c) 
【解析】解：2个排球的价格为2a元，
6个足球的价格为6b元，
1个篮球的价格为c元，
∴一共花的钱数为：(2a+6b+c)元，
故答案为：(2a+6b+c)．
根据总价=单价×数量进行计算即可．
本题考查列代数式，熟练运用总价=单价×数量是关键．

10.【答案】y=9x−11y=6x+16 
【解析】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，
根据题意得：y=9x−11y=6x+16，
故答案为：y=9x−11y=6x+16，
设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

11.【答案】50 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=100m，
则AC=12AB=50m，
故答案为：50．
根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质是解题的关键．

12.【答案】(3,−2) 
【解析】解：∵点A的坐标为(−1,2)，边长为4的正方形ABCD，
∴点B坐标为(−1,−2)，点D坐标为(3,2)，点C坐标为(3,−2)，
故答案为：(3,−2)．
根据正方形的性质和坐标特点解答即可．
此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，关键是根据正方形四条边相等解答．

13.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
则根据三角形的中位线定理可得：OE=12AB=2，
故答案为：2．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，由AB=4，即可求得OE=2．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．

14.【答案】9 3 
【解析】解：如图，连接AO，过点O作OP⊥BC于点P，

∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
∵OA=OB=OC=6，
∴OP=3，CP=3 3，
∴BC=2CP=6 3，
∴S阴=12⋅BC⋅OP=12×6 3×3=9 3，
故答案为：9 3．
根据△ABC为正三角形可知∠BOC=120°，进而作垂线求面积即可．
本题考查正三角形与外接圆，熟练掌握正三角形的外接圆的性质是解题关键．

15.【答案】证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D∠ABC=∠BADAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS)． 
【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
根据AAS证明三角形全等即可．

16.【答案】解：(x−1)2+x(4−x)
=x2−2x+1+4x−x2
=2x+1，
当x= 2−1时，原式=2( 2−1)−1=2 2−3． 
【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17.【答案】答：解法一：
画树状图：

P(白，白)=19；
解法二：列表得
白
(红，白)
(黄，白)
(白，白)
黄
(红，黄)
(黄，黄)
(白，黄)
红
(红，红)
(黄，红)
(白，红)

红
黄
白
P(白，白)=19． 
【解析】解此题的关键是准确列表，找出所有的可能情况，即可求得概率．
此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

18.【答案】解：(1)如图1中，菱形ABCD即为所求；
(2)如图2中，矩形AEBF即为所求．
 
【解析】(1)根据菱形的定义画出图形即可；
(2)根据矩形的定义画出图形(答案不唯一)．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

19.【答案】解：设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为(x−10)元，
根据题意，得：500x=300x−10，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意．
答：甲种果树苗的单价为25元． 
【解析】设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为(x−10)元，根据“用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同”列出方程并解答即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

20.【答案】解：(1)把点A(−1,4)代入反比例函数y=k2x，得：k2=−1×4=−4，
∴反比例函数的解析式为：y=−4x，
将点B(4,n)代入y=−4x得，n=−44=−1，
∴B(4,−1)，
将A、B的坐标代入y=k1x+b，得−k1+b=44k1+b=−1，
解得：k1=−1b=3,
∴一次函数的解析式为：y=−x+3；
(2)由图象可知：当0k2x． 
【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
(1)把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B(4,n)代入求得的反比例函数解析式求得n，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)直接由A、B的坐标根据图象可求得答案．

21.【答案】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可得：CE=BD=20 3米，BE=CD=1.5米，
在Rt△ACE中，
则tan60°=AECE=AE20 3= 32，
解得：AE=30，
故AB=30+1.5=31.5(米)．
答：建筑物的高AB为31.5米． 
【解析】利用锐角三角函数关系得出AE的长，即可得出AB的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，得出AE的长是解题关键．

22.【答案】解：(1)这次调查一共抽查的学生人数为80÷40%=200(名)，
D类人数=200×10%=20(名)；
(2)被调查学生读书数量的众数为2本，中位数为2本；
(3)被调查学生读书数量的平均数为：1200×(1×40+2×80+3×60+4×20)=2.3(本)，
2.3×1500=3450(本)，
答：估计全校1500名学生共读书3450本． 
【解析】(1)由两个统计图可知，B类人数为80人，占40%可得抽查总人数，进而求出D类的学生人数；
(2)根据中位数、众数的意义求解即可；
(3)先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

23.【答案】(1)42 
(2)5  24
(3)加油前，图像上有两点(0,42)，(5,12)，
设Q与t的关系式为Q=kt+b，
代入(0,42)，(5,12)，得：
42=b12=5k+b，
解得k=−6b=42，
∴Q=−6t+42，(0≤t≤5)． 
【解析】解：(1)由图象知，t=0时，Q=42，
∴开始时，汽车的油量a=42升，
故答案为42；
(2)当t=5时，Q的值增大，
∴在行驶5小时加油，加油量为36−12=24升，
故答案为5，24；

(1)根据图象开始时Q的值即可得出结论；
(2)根据图象，中途Q增大的位置即可得出结论；
(3)根据图象上的两个点，用待定系数法即可．
本题主要考查一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求一次函数的解析式．

24.【答案】解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=4，∠ADC=90°，
∵DE=CE，EF⊥CD，
∴DF=CF=12CD=2，∠ADC=∠EFD=90°，
∴AD//EF，
∴S△ADE=S△ADF，
∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；
【拓展应用】如图③，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，
∴∠BDC=∠GCF，
∴BD//CF，
∴S△BDF=S△BCD，
∴S△BDF=12BC×BC=8． 
【解析】【类比探究】由等腰三角形的性质可得DF=CF=12CD=2，∠ADC=∠EFD=90°，可证AD//EF，可得S△ADE=S△ADF，由三角形的面积公式可求解；
【拓展应用】连接CF，由正方形的性质可得∠BDC=∠GCF，可得BD//CF，可得S△BDF=S△BCD，由三角形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．

25.【答案】解：(1)由题可得，DP=t，DE=12AC=3，
当点P在线段DE上时，EP=DE−DP=3−t；
当点P在DE的延长线上时，EP=DP−DE=t−3；
(2)如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，

∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴FQ=CD=12BC=4，
∵△DPQ是等腰直角三角形，
∴DP=2FQ=8，
∴t=81=8(s)；
(3)①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，且DP=t，DP边上的高为12t，

∵点P从点D运动到点E处时，时间为3s，
∴当0 ②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，
如图所示，过G作GF⊥PE于F，则△GFE∽△BCA，且PF=GF，

∵AC=6，BC=8，
∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，
∵PE=t−3，
∴FG=47(t−3)，
∴△PEG的面积=12×PE×FG=12×47(t−3)2，
由(2)可知，点Q落在边AC上时，t的值为8s，
∴当3≤t<8时，S=14t2−12×47(t−3)2=−128t2+127t−187．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=14t2(0 【解析】(1)分两种情况进行讨论：点P在线段DE上，点P在DE的延长线上，根据线段的和差关系进行计算；
(2)当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，根据四边形CDFQ是矩形，△DPQ是等腰直角三角形，求得DP=2FQ=8，即可得到t的值；
(3)分两种情况进行讨论：①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，分别求得S与t之间的函数关系式．
本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类讨论思想的运用．

26.【答案】解：(1)由抛物线y=a(x−m)2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=(x−3)2+1的与y轴交于点A(0,10)，它的顶点为点B(3,1)，
设所求直线解析式为y=kx+b，
∴1=3k+b10=b，
解得：k=−3b=10，
∴所求直线解析式为y=−3x+10；
(2)如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(0,−3)，
点C的坐标为(0,3)，

可得：AC=6，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S△ABC=6即S△ABC=12AC⋅BE=6，
∴BE=2，
∵m>0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x−3上，
∴顶点B的坐标为(2,−1)，
又抛物线经过点A(0,−3)，
∴a=−12，
∴y=−12(x−2)2−1；
(3)①如图，作BF⊥x轴于点F，

由已知可得A坐标为(0,b)，C点坐标为(0,−b)，
∵顶点B(m,n)在直线y=−2x+b(b>0)上，
∴n=−2m+b，即点B点的坐标为(m,−2m+b)，
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b= FO2+FB2，
∴b2=m2+4m2−4mb+b2，
∴m=45b，
n=−2×45b+b=−35b；
②存在．
∵B点坐标为(m,n)，即(45b,−35b)，
∴BO= (45b) 2+(−35b) 2=b，
∴BD=2b，
当BD=BP，
∴PF=2b−35b=75b，
∴P点的坐标为(45b,75b)；
如图3，当DP=PB时，
过点D作DE⊥PB，于点E，

∵B点坐标为(45b,−35b)，
∴D点坐标为(−45b,35b)，
∴DE=85b，BE=65b，设PE=x，
∴DP=PB=65b+x，
∴DE2+PE2=DP2，
∴(85b)2+x2=(65b+x)2，
解得：x=715b，
∴PF=PE+EF=715b+35b=1615b，
∴此时P点坐标为：(45b,1615b)；
同理P可以为(45b,−135b)或(45b,95b)，
故P点坐标为：(45b,75b)或(45b,1615b)或(45b,−135b)或(45b,95b)． 
【解析】(1)利用抛物线y=(x−3)2+1的与y轴交于点A(0,10)，它的顶点为点B(3,1)，求出直线解析式即可；
(2)首先得出点A的坐标为(0,−3)，以及点C的坐标为(0,3)，进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；
(3)①由已知可得A坐标为(0,b)，C点坐标为(0,−b)，以及n=−2m+b，即点B点的坐标为(m,−2m+b)，利用勾股定理求出；
②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．
此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．