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2022-2023学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科）（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合U={1,2,3,4,5,6}，S={1,4,5}，T={2,3,4}，则S∩(∁UT)等于( )
A. {1,4,5,6} B. {1,5} C. {4} D. {1,2,3,4,5}
2. 已知i⋅z=5−2i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件
4. 函数y=4xex+e−x的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 若实数x，y满足约束条件x+2y−3≥03x−y−2≥04x+y−12≤0，则z=x+y的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6. 函数f(x)=sin2x在[−π6,π6]上是( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增
7. 已知四棱锥S−ABCD的底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，其三视图如图所示，则二面角B−SA−C的正弦值为( )
A. 12
B. 1
C. 2 55
D. 66
8. 某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是( )
A. 57周岁以上参保人数最少 B. 18～30周岁人群参保总费用最少
C. C险种更受参保人青睐 D. 31周岁以上的人群约占参保人群80%
9. 已知数列{an}中，an=(n2−5n)en(e为自然对数的底数)，当其前n项和最小时，n是( )
A. 4 B. 5 C. 5或6 D. 4或5
10. 已知函数f(x)=4lnx−3[x]+3(0
11. 过椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|=m，|NF|=n，则1m+1n的值为( )
A. 23 B. 43 C. 83 D. 不能确定
12. 关于x方程|logmx|=k(m>0,m≠1)的两个根为a，b，且a
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(ma−b)⊥(a+b)，则实数m= ______ ．
14. (2+x)6展开式中含x3项二项式系数为______ ．
15. 已知二次函数f(x)满足条件：(1)f(x)的图象关于y轴对称；(2)曲线y=f(x)在x=1处的导数为4，则f(x)的解析式可以是______ ．
16. 已知函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移ϕ(0<ϕ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图象，则ϕ= ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1=b1=2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=an,n为奇数 bn,n为偶数，求数列{cn}的前20项和．
18. (本小题12.0分)
随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解决下列问题．
组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
14
0.14
第2组
[60,70)
m
第3组
[70,80)
36
0.36
第4组
[80,90)
0.16
第5组
[90,100)
4
n
合计
(1)求m，n，x，y的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，AD⊥BA，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上(不包括端点)，点N为BC中点．
(1)若DM=2MP，求证：直线MN//平面PAB；
(2)求二面角N−PC−D的余弦值．
20. (本小题12.0分)
椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，△OAB面积的最大值为 3．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：x=t交x轴于点P，其中t>a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O，A，M，N四点共圆，求t的值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exx−12．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数h(x)=f(x)x+1的最小值；
(3)若函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，证明：|AB|≤(e42+2e)m−94．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+ 22ty= 22t(t为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)．
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|⋅|OQ|的值．
23. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2|x+1|−|2x+3|．
(1)求f(x)的最大值m；
(2)若正数a，b，c满足abc=m，证明：1a+1b+1c≥ a+ b+ c．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∁UT={1,5,6}
∴S∩(∁UT)={1,5}
故选：B．
利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．
本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．
2.【答案】C
【解析】解：i⋅z=5−2i，
则z=5−2ii=−2−5i，
故z在复平面内对应的点(−2,−5)位于第三象限．
故选：C．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件．
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是必然事件．
故选：C．
根据互斥事件和对立事件的概念求解即可．
本题主要考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=4xex+e−x，
f(1)=4e+1e>0，所以(1,f(1))在第一象限，排除CD．
f(−1)=−4e+1e<0，(−1,f(−1))在第三象限，排除B．
故选：A．
直接利用特殊点的位置判断选项即可．
本题考查函数的图象的变换，图象的判断，利用特殊点判断方便快速解答．
5.【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立3x−y−2=04x+y−12=0，解得A(2,4)，
由z=x+y，得y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为6．
故选：D．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为−π6≤x≤π6，所以−π3≤2x≤π3，
根据正弦函数的性质知，此时f(x)单调递增；
故选：A．
直接利用三角函数的图像与性质判断即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于SA⊥底面ABCD，则SA⊥AB，SA⊥AC，于是∠BAC为二面角B−SA−C的平面角．
由三视图可知，SA=AB=1，BC=2，由于底面ABCD是矩形，则AB⊥BC，AC= AB2+BC2= 5，
故二面角B−SA−C的正弦值为：sin∠BAC=BCAC=2 5=2 55．
故选：C．
根据条件可得∠BAC为二面角B−SA−C的平面角，在△ABC中解三角形即可．
本题考查空间线面位置关系，以及二面角的定义，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：A选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A选项正确；
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误；
C选项，C险种参保比例0.358，是最多的，所以C选项正确；
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%+40%+10%=80%，D选项正确．
故选：B．
根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：已知数列{an}中，an=(n2−5n)en(e为自然对数的底数)，
令an≤0，
又en>0，
即n2−5n≤0，
即n≤5，
即当1≤n≤4时，an<0；
当n=5时，an=0；
当n≥6时，an>0，
即当其前n项和最小时，n是4或5，
故选：D．
由数列的通项公式可得：当1≤n≤4时，an<0；当n=5时，an=0；当n≥6时，an>0，得解．
本题考查了数列的求和，重点考查了数列的通项公式，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：令f(x)=4lnx−3[x]+3=0，
则lnx=34([x]−1)，
则函数f(x)零点的个数，即为函数y=lnx,y=34([x]−1)=−34,0
因为e3>2.73=19.683>24，
所以e34>2，
所以34>ln2，
由图可知y=lnx,y=34([x]−1)的图象有三个交点，
所以函数f(x)有3个零点．
故选：C．
函数f(x)零点的个数，即为函数y=lnx,y=34([x]−1)两个图象交点的个数，作出函数y=lnx,y=34([x]−1)的图象，结合函数图象即可得出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的普通方程为x24+y23=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，代入x24+y23=1，可得y=±32
∴m=n=32，
∴1m+1n=43．
故选：B．
椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的普通方程为x24+y23=1，利用特殊位置进行求解即可．
本题考查椭圆的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．
12.【答案】C
【解析】解：由题意可得：|logma|=|logmb|=k，则logma+logmb=logmab=0，故ab=1，∵a
解得a> 22或a<− 22，
∵0
∴2
故f(x)>f( 22)=1− 22>0，
可得a−1a+1>0，即a+1>1a=b，
因为logb(a+1)−1=logb(a+1)−logbb
∵ 22
即logb(a+1)−aa+1>logbb−ab，C错误；
对(4)：由(1)得a+4∈(4+ 22,5)，b+1∈(2,1+ 2)，且a+4>b+1，
由(a+4)b+1<(b+1)a+4，
等价于(b+1)ln(a+4)<(a+4)ln(b+1)，等价于ln(a+4)a+4
令h′(x)>0，则0
且h(2)=ln22=ln44=h(4)
即ln(b+1)b+1>h(4)，
又∵h(x)在(e,+∞)上单调递减，
则h(4)>h(4+ 22)>h(x)在(4+ 22,5)上恒成立，
即h(4)>ln(a+4)a+4，
故ln(a+4)a+4
根据题意结合对数分析可得0
对(2)：由a+b=a+1a，根据y=x+1x的单调性分析运算即可；
对(3)：logb(a+1)−1
13.【答案】85
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则ma−b=(m,3m)−(3,4)=(m−3,3m−4)，a+b=(4,7)，
∵(ma−b)⊥(a+b)，
∴(m−3)×4+(3m−4)×7=0，解得m=85．
故答案为：85．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】20
【解析】解：展开式的通项公式Tk+1=C6 k×26−k×xk，
当k=3时，得含x3项二项式系数为C63=20，
故答案为：20．
求出展开式的通项公式，确定k的值，然后进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据展开式的通项公式，求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】f(x)=2x2+1(答案不唯一)
【解析】解：取f(x)=2x2+1，则f(−x)=2x2+1=f(x)，
函数为偶函数，关于y轴对称；f′(x)=4x，f′(1)=4，满足条件．
故答案为：f(x)=2x2+1(答案不唯一)．
取f(x)=2x2+1，确定函数为偶函数，f′(x)=4x，f′(1)=4，满足条件，得到答案．
本题主要考查了求二次函数的解析式，属于基础题．
16.【答案】π4
【解析】解：函数y=2sin(ωx+π6)的最值为±2，
则 1+(−a)2=4，即a=± 3，
当a= 3时，
y=sin2x−acos2x=sin2x− 3cos2x=2sin(2x−π3)，
∵函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图像，
∴ω=2，
∴y=2sin[2(x−φ)+π6]=2sin(2x−2φ+π6)，
∴−2φ+π6=−π3+2kπ,k∈Z，解得φ=π4−kπ,k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴φ=π4，
当a=− 3时，
y=sin2x−acos2x=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+π3)，
∵函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图像，
∴ω=2，
∴y=2sin[2(x−φ)+π6]=2sin(2x−2φ+π6)，
∴−2φ+π6=π3+2kπ，k∈Z，解得φ=−π12−kπ，k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴不存在φ符合题意，
综上所述，φ=π4．
故答案为：π4．
根据已知条件，先求出a，再结合三角函数的平移知识，分类讨论，即可求解．
本题主要考查三角函数的平移变换，属于中档题．
17.【答案】解：(1)已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1=b1=2，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a1+a2+a3=3a2=15，
得a2=5，
则d=a2−a1=3，
所以an=2+(n−1)×3=3n−1，
又b1b2b3=b23=64，
则b2=4，
则q=b2b1=2，
所以bn=2⋅2n−1=2n；
(2)由(1)可得cn=3n−1,n为奇数2n2,n为偶数，
对于数列{3n−1}，当n为奇数时，3(n+2)−1−(3n−1)=6，
即数列{cn}的奇数项是以2为首项，6为公差的等差数列，
对于数列{2n2}，当n为偶数，2n+222n2=2，
即数列{cn}的偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
结合等差数列及等比数列的求和公式可得c1+c2+c3+⋯+c20=(c1+c3+⋯+c19)+(c2+c4+⋯+c20)=10(2+56)2+2(1−210)1−2=290+211−2=211+288=2336，
即数列{cn}的前20项和为2336．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，结合等差数列及等比数列的性质求通项公式即可；
(2)由题意可得数列{cn}的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，然后结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，重点考查了分组求和法，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得第四组的人数为100×0.16=16，
∴m=100−14−36−16−4=30，n=4100=0.04，
又[60,70)内的频率为30100=0.3，
∴x=0.310=0.03，
[90,100)内的频率为0.04，
∴y=0.0410=0.004．
(2)由频率分布表可得该地区抽取美食客的概率为0.16+0.04=0.2，
则ξ～B(3,15)，
∴p(ξ=0)=(45)3=64125，
p(ξ=1)=C31⋅15⋅(45)2=48125，
p(ξ=2)=C32⋅(15)2⋅45=12125，
p(ξ=3)=C33⋅(15)3=1125，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
E(ξ)=3×15=35．
【解析】(1)根据频率分布表可求得m，n，再根据频率分布直方图中x，y的含义即可求得其值；
(2)根据二项分布的概率计算公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了二项分布的概率计算公式，是中档题．
19.【答案】(1)证明：已知DM=2MP，
则2PM=MD，
取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
则MQ//AD且QM=13AD=1，
又因为AD//BC，且BC=2，
又点N为BC中点，
所以BN//MQ且BN=MQ，
则四边形MQBN为平行四边形，
所以MN//BQ，
又MN⊄平面PAB，QB⊂平面PAB，
所以直线MN//平面PAB；
(2)解：以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，
又N为BC的中点，
则N(2,1,0)，
所以PD=(0,3,−3)，CD=(−2,1,0)，PN=(2,1,−3)，PC=(2,2,−3)，
设平面CPD的法向量为n1=(x,y,z)，
则PD⋅n1=3y−3z=0CD⋅n1=−2x+y=0，
令x=1，
则n1=(1,2,2)，
设平面CPN的法向量为n2=(a,b,c)，
则PC⋅n2=2a+2b−3c=0PN⋅n2=2a+b−3c=0，
令a=3，
则n2=(3,0,2)，
则n1⋅n2=1×3+2×0+2×2=7，|n1|= 1+4+4=3，|n2|= 9+0+4= 13，
则cos=n1⋅n2|n1||n2|=73× 13=7 1339，
即二面角N−PC−D的余弦值为−7 1339．
【解析】(1)取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，则MQ//AD且QM=13AD=1，又点N为BC中点，即BN//MQ且BN=MQ，则四边形MQBN为平行四边形，所以MN//BQ，结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)先建立空间直角坐标系求出对应点的坐标，然后求出平面CPD的法向量和平面CPN的法向量，然后结合空间向量数量积的运算求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理及二面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得ca=1212ab= 3a2=b2+c2，解得a=2，b= 3，c=1，
∴椭圆E的标准方程为x24+y23=1；
(2)由题意可得P(t,0)，A(2,0)，t>2，
设点B(x1,y1)，C(x2,y2)，M(t,yM)，N(t,yN)，
∵O，A，M，N四点共圆，
∴|PO|⋅|PA|=|PM|⋅|PN|，
即t(t−2)=|yM⋅yN|，
设直线PB的方程为x=ky+t，
代入椭圆方程x24+y23=1可得(3k2+4)y2+6kty+3t2−12=0，
∴y1+y2=−6kt3k2+4，y1y2=3t2−123k2+4，
直线BA的方程为y=y1x1−2(x−2)，当x=t时，yM=y1x1−2(t−2)=y1ky1+t−2(t−2)，
直线CA的方程为y=y2x2−2(x−2)，当x=t时，yN=y2x2−2(t−2)=y2ky2+t−2(t−2)，
∴yM⋅yN=(t−2)2⋅y1y2(ky1+t−2)(ky2+t−2)=(t−2)2⋅y1y2k2y2y1+k(t−2)(y1+y2)+(t−2)2
=(t−2)2⋅3(t+2)4(t−2)=34(t2−4)，
∴t(t−2)=34(t2−4)，
解得t=6．
【解析】(1)由题意可得ca=1212ab= 3a2=b2+c2，解得即可；
(2)设点B(x1,y1)，C(x2,y2)，M(t,yM)，N(t,yN)，根据四点共圆可得t(t−2)=|yM⋅yN|，再设直线PB的方程为x=ky+t，代入椭圆方程x24+y23=1，
分别求出直线BA，CA的方程，求出点M，N的纵坐标，根据韦达定理，整理化简可得yM⋅yN=34(t2−4)，即可得到t(t−2)=34(t2−4)，解得即可求出．
本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，四点共圆，考查了运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=exx−12=ex x，f′(x)=(2x−1)ex2 xx(x>0)，
当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴函数f(x)的单调递减区间是(0,12)，单调递增区间是(12,+∞)；
(2)令h(x)=exx−12x+1，得h′(x)=(x−1)(2x+1)ex2 xx(x+1)2(x>0)，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min=h(1)=e2，即h(x)的最小值是e2；
证明：(3)由(2)可知exx−12x+1≥e2，
即exx−12≥e2x+e2，∴直线y=e2x+e2为函数f(x)的一条切线，
由f(x)=exx−12，得f′(x)=(2x−1)ex2 xx，取x=14，得f′(14)=−2e14，又f(14)=2e14，
∴f(x)在x=14处的切线方程为y−2e14=−2e14(x−14)，即y=−2e14x+52e14，
令m(x)=exx−12+2e14x−52e14，m′(x)=(2x−1)ex2 xx+2e14，
令φ(x)=(2x−1)ex2 xx+2e14，φ′(x)=14x−52(4x2−4x+3)ex>0，∴m′(x)单调递增，
又m′(14)=0，可得当x∈(0,14)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
当x∈(14,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，∴m(x)≥m(14)=0，
可得函数f(x)图像夹在直线y=−2e14x+52e14和直线y=e2x+e2之间，
直线y=m与直线y=−2e14x+52e14的交点为(54−e42m,m)，
与直线y=e2x+e2的交点为(2me−1,m)，不妨设x1
【解析】(1)求出原函数的导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；
(2)写出函数h(x)，利用导数求其单调性，进一步可得函数的最值；
(3)证明函数f(x)图像夹在直线y=−2e14x+52e14和直线y=e2x+e2之间，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查推理论证能力与运算求解能力，综合性强，难度较大．
22.【答案】解：(1)由x=1+ 22ty= 22t(t为参数)消去参数t，得x−y=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得C1的极坐标方程ρcosθ−ρsinθ=1．
由ρ=2(cosθ+sinθ)可得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2(x+y)，即x2+y2−2x−2y=0．
(2)由ρ=2(cosθ+sinθ)得：cosθ+sinθ=ρ2，①
由ρcosθ−ρsinθ=1得：cosθ−sinθ=1ρ，①
由①2+②2得ρ24+1ρ2=2，即ρ4−8ρ2+4=0，
设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则(ρ1ρ2)2=4，
所以|OP|⋅|OQ|=2．
【解析】(1)曲线C1的参数方程为x=1+ 22ty= 22t(t为参数)，利用互化公式可得可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)，展开利用互化公式可得曲线C2的直角坐标方程．
(2)根据(1)所得到的结果，建立方程组求得结果．
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、圆的标准方程、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由三角不等式可得：f(x)=|2x+2|−|2x+3|≤|2x+2−2x−3|=1，
当x≤−32时取等号，即m=1．
(2)证明：因为1a+1b≥2 1ab，1b+1c≥2 1bc，1a+1c≥2 1ac，
所以1a+1b+1c≥ 1ab+ 1bc+ 1ac，当且仅当a=b=c时等号成立，
由(1)知m=1，即abc=1，
所以 1ab= c， 1bc= a， 1ac= b，
所以，1a+1b+1c≥ a+ b+ c，当且仅当a=b=c时等号成立，
所以1a+1b+1c≥ a+ b+ c，证毕．
【解析】(1)由三角不等式即可求最值；
(2)先由基本不等式转化，再由abc=m代入即可．
本题考查绝对值不等式求最值，以及基本不等式的运用，属于基础题．
2022-2023学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合U={1,2,3,4,5,6}，S={1,4,5}，T={2,3,4}，则S∩(∁UT)等于( )
A. {1,4,5,6} B. {1,5} C. {4} D. {1,2,3,4,5}
2. 已知i⋅z=5−2i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件
4. 函数y=4xex+e−x的图象大致是( )
A. B. C. D.
5. 若实数x，y满足约束条件x+2y−3≥03x−y−2≥04x+y−12≤0，则z=x+y的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6. 函数f(x)=sin2x在[−π6,π6]上是( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增
7. 已知四棱锥S−ABCD的底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，其三视图如图所示，则二面角B−SA−C的正弦值为( )
A. 12
B. 1
C. 2 55
D. 66
8. 某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是( )
A. 57周岁以上参保人数最少 B. 18～30周岁人群参保总费用最少
C. C险种更受参保人青睐 D. 31周岁以上的人群约占参保人群80%
9. 已知数列{an}中，an=(n2−5n)en(e为自然对数的底数)，当其前n项和最小时，n是( )
A. 4 B. 5 C. 5或6 D. 4或5
10. 已知函数f(x)=4lnx−3[x]+3(0
11. 过椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|=m，|NF|=n，则1m+1n的值为( )
A. 23 B. 43 C. 83 D. 不能确定
12. 关于x方程|logmx|=k(m>0,m≠1)的两个根为a，b，且a
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(ma−b)⊥(a+b)，则实数m= ______ ．
14. (2+x)6展开式中含x3项二项式系数为______ ．
15. 已知二次函数f(x)满足条件：(1)f(x)的图象关于y轴对称；(2)曲线y=f(x)在x=1处的导数为4，则f(x)的解析式可以是______ ．
16. 已知函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移ϕ(0<ϕ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图象，则ϕ= ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1=b1=2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=an,n为奇数 bn,n为偶数，求数列{cn}的前20项和．
18. (本小题12.0分)
随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解决下列问题．
组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
14
0.14
第2组
[60,70)
m
第3组
[70,80)
36
0.36
第4组
[80,90)
0.16
第5组
[90,100)
4
n
合计
(1)求m，n，x，y的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，AD⊥BA，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上(不包括端点)，点N为BC中点．
(1)若DM=2MP，求证：直线MN//平面PAB；
(2)求二面角N−PC−D的余弦值．
20. (本小题12.0分)
椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，△OAB面积的最大值为 3．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：x=t交x轴于点P，其中t>a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O，A，M，N四点共圆，求t的值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exx−12．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数h(x)=f(x)x+1的最小值；
(3)若函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，证明：|AB|≤(e42+2e)m−94．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+ 22ty= 22t(t为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)．
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|⋅|OQ|的值．
23. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2|x+1|−|2x+3|．
(1)求f(x)的最大值m；
(2)若正数a，b，c满足abc=m，证明：1a+1b+1c≥ a+ b+ c．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∁UT={1,5,6}
∴S∩(∁UT)={1,5}
故选：B．
利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．
本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．
2.【答案】C
【解析】解：i⋅z=5−2i，
则z=5−2ii=−2−5i，
故z在复平面内对应的点(−2,−5)位于第三象限．
故选：C．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件．
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是必然事件．
故选：C．
根据互斥事件和对立事件的概念求解即可．
本题主要考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=4xex+e−x，
f(1)=4e+1e>0，所以(1,f(1))在第一象限，排除CD．
f(−1)=−4e+1e<0，(−1,f(−1))在第三象限，排除B．
故选：A．
直接利用特殊点的位置判断选项即可．
本题考查函数的图象的变换，图象的判断，利用特殊点判断方便快速解答．
5.【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立3x−y−2=04x+y−12=0，解得A(2,4)，
由z=x+y，得y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为6．
故选：D．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为−π6≤x≤π6，所以−π3≤2x≤π3，
根据正弦函数的性质知，此时f(x)单调递增；
故选：A．
直接利用三角函数的图像与性质判断即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于SA⊥底面ABCD，则SA⊥AB，SA⊥AC，于是∠BAC为二面角B−SA−C的平面角．
由三视图可知，SA=AB=1，BC=2，由于底面ABCD是矩形，则AB⊥BC，AC= AB2+BC2= 5，
故二面角B−SA−C的正弦值为：sin∠BAC=BCAC=2 5=2 55．
故选：C．
根据条件可得∠BAC为二面角B−SA−C的平面角，在△ABC中解三角形即可．
本题考查空间线面位置关系，以及二面角的定义，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：A选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A选项正确；
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误；
C选项，C险种参保比例0.358，是最多的，所以C选项正确；
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%+40%+10%=80%，D选项正确．
故选：B．
根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：已知数列{an}中，an=(n2−5n)en(e为自然对数的底数)，
令an≤0，
又en>0，
即n2−5n≤0，
即n≤5，
即当1≤n≤4时，an<0；
当n=5时，an=0；
当n≥6时，an>0，
即当其前n项和最小时，n是4或5，
故选：D．
由数列的通项公式可得：当1≤n≤4时，an<0；当n=5时，an=0；当n≥6时，an>0，得解．
本题考查了数列的求和，重点考查了数列的通项公式，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：令f(x)=4lnx−3[x]+3=0，
则lnx=34([x]−1)，
则函数f(x)零点的个数，即为函数y=lnx,y=34([x]−1)=−34,0
因为e3>2.73=19.683>24，
所以e34>2，
所以34>ln2，
由图可知y=lnx,y=34([x]−1)的图象有三个交点，
所以函数f(x)有3个零点．
故选：C．
函数f(x)零点的个数，即为函数y=lnx,y=34([x]−1)两个图象交点的个数，作出函数y=lnx,y=34([x]−1)的图象，结合函数图象即可得出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的普通方程为x24+y23=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，代入x24+y23=1，可得y=±32
∴m=n=32，
∴1m+1n=43．
故选：B．
椭圆C：x=2cosθy= 3sinθ(θ为参数)的普通方程为x24+y23=1，利用特殊位置进行求解即可．
本题考查椭圆的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．
12.【答案】C
【解析】解：由题意可得：|logma|=|logmb|=k，则logma+logmb=logmab=0，故ab=1，∵a
解得a> 22或a<− 22，
∵0
∴2
故f(x)>f( 22)=1− 22>0，
可得a−1a+1>0，即a+1>1a=b，
因为logb(a+1)−1=logb(a+1)−logbb
∵ 22
即logb(a+1)−aa+1>logbb−ab，C错误；
对(4)：由(1)得a+4∈(4+ 22,5)，b+1∈(2,1+ 2)，且a+4>b+1，
由(a+4)b+1<(b+1)a+4，
等价于(b+1)ln(a+4)<(a+4)ln(b+1)，等价于ln(a+4)a+4
令h′(x)>0，则0
且h(2)=ln22=ln44=h(4)
即ln(b+1)b+1>h(4)，
又∵h(x)在(e,+∞)上单调递减，
则h(4)>h(4+ 22)>h(x)在(4+ 22,5)上恒成立，
即h(4)>ln(a+4)a+4，
故ln(a+4)a+4
根据题意结合对数分析可得0
对(2)：由a+b=a+1a，根据y=x+1x的单调性分析运算即可；
对(3)：logb(a+1)−1
13.【答案】85
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则ma−b=(m,3m)−(3,4)=(m−3,3m−4)，a+b=(4,7)，
∵(ma−b)⊥(a+b)，
∴(m−3)×4+(3m−4)×7=0，解得m=85．
故答案为：85．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】20
【解析】解：展开式的通项公式Tk+1=C6 k×26−k×xk，
当k=3时，得含x3项二项式系数为C63=20，
故答案为：20．
求出展开式的通项公式，确定k的值，然后进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据展开式的通项公式，求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】f(x)=2x2+1(答案不唯一)
【解析】解：取f(x)=2x2+1，则f(−x)=2x2+1=f(x)，
函数为偶函数，关于y轴对称；f′(x)=4x，f′(1)=4，满足条件．
故答案为：f(x)=2x2+1(答案不唯一)．
取f(x)=2x2+1，确定函数为偶函数，f′(x)=4x，f′(1)=4，满足条件，得到答案．
本题主要考查了求二次函数的解析式，属于基础题．
16.【答案】π4
【解析】解：函数y=2sin(ωx+π6)的最值为±2，
则 1+(−a)2=4，即a=± 3，
当a= 3时，
y=sin2x−acos2x=sin2x− 3cos2x=2sin(2x−π3)，
∵函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图像，
∴ω=2，
∴y=2sin[2(x−φ)+π6]=2sin(2x−2φ+π6)，
∴−2φ+π6=−π3+2kπ,k∈Z，解得φ=π4−kπ,k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴φ=π4，
当a=− 3时，
y=sin2x−acos2x=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+π3)，
∵函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位，可得到函数y=sin2x−acos2x的图像，
∴ω=2，
∴y=2sin[2(x−φ)+π6]=2sin(2x−2φ+π6)，
∴−2φ+π6=π3+2kπ，k∈Z，解得φ=−π12−kπ，k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴不存在φ符合题意，
综上所述，φ=π4．
故答案为：π4．
根据已知条件，先求出a，再结合三角函数的平移知识，分类讨论，即可求解．
本题主要考查三角函数的平移变换，属于中档题．
17.【答案】解：(1)已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1=b1=2，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a1+a2+a3=3a2=15，
得a2=5，
则d=a2−a1=3，
所以an=2+(n−1)×3=3n−1，
又b1b2b3=b23=64，
则b2=4，
则q=b2b1=2，
所以bn=2⋅2n−1=2n；
(2)由(1)可得cn=3n−1,n为奇数2n2,n为偶数，
对于数列{3n−1}，当n为奇数时，3(n+2)−1−(3n−1)=6，
即数列{cn}的奇数项是以2为首项，6为公差的等差数列，
对于数列{2n2}，当n为偶数，2n+222n2=2，
即数列{cn}的偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
结合等差数列及等比数列的求和公式可得c1+c2+c3+⋯+c20=(c1+c3+⋯+c19)+(c2+c4+⋯+c20)=10(2+56)2+2(1−210)1−2=290+211−2=211+288=2336，
即数列{cn}的前20项和为2336．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，结合等差数列及等比数列的性质求通项公式即可；
(2)由题意可得数列{cn}的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，然后结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，重点考查了分组求和法，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得第四组的人数为100×0.16=16，
∴m=100−14−36−16−4=30，n=4100=0.04，
又[60,70)内的频率为30100=0.3，
∴x=0.310=0.03，
[90,100)内的频率为0.04，
∴y=0.0410=0.004．
(2)由频率分布表可得该地区抽取美食客的概率为0.16+0.04=0.2，
则ξ～B(3,15)，
∴p(ξ=0)=(45)3=64125，
p(ξ=1)=C31⋅15⋅(45)2=48125，
p(ξ=2)=C32⋅(15)2⋅45=12125，
p(ξ=3)=C33⋅(15)3=1125，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
E(ξ)=3×15=35．
【解析】(1)根据频率分布表可求得m，n，再根据频率分布直方图中x，y的含义即可求得其值；
(2)根据二项分布的概率计算公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了二项分布的概率计算公式，是中档题．
19.【答案】(1)证明：已知DM=2MP，
则2PM=MD，
取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
则MQ//AD且QM=13AD=1，
又因为AD//BC，且BC=2，
又点N为BC中点，
所以BN//MQ且BN=MQ，
则四边形MQBN为平行四边形，
所以MN//BQ，
又MN⊄平面PAB，QB⊂平面PAB，
所以直线MN//平面PAB；
(2)解：以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，
又N为BC的中点，
则N(2,1,0)，
所以PD=(0,3,−3)，CD=(−2,1,0)，PN=(2,1,−3)，PC=(2,2,−3)，
设平面CPD的法向量为n1=(x,y,z)，
则PD⋅n1=3y−3z=0CD⋅n1=−2x+y=0，
令x=1，
则n1=(1,2,2)，
设平面CPN的法向量为n2=(a,b,c)，
则PC⋅n2=2a+2b−3c=0PN⋅n2=2a+b−3c=0，
令a=3，
则n2=(3,0,2)，
则n1⋅n2=1×3+2×0+2×2=7，|n1|= 1+4+4=3，|n2|= 9+0+4= 13，
则cos
即二面角N−PC−D的余弦值为−7 1339．
【解析】(1)取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，则MQ//AD且QM=13AD=1，又点N为BC中点，即BN//MQ且BN=MQ，则四边形MQBN为平行四边形，所以MN//BQ，结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)先建立空间直角坐标系求出对应点的坐标，然后求出平面CPD的法向量和平面CPN的法向量，然后结合空间向量数量积的运算求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理及二面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得ca=1212ab= 3a2=b2+c2，解得a=2，b= 3，c=1，
∴椭圆E的标准方程为x24+y23=1；
(2)由题意可得P(t,0)，A(2,0)，t>2，
设点B(x1,y1)，C(x2,y2)，M(t,yM)，N(t,yN)，
∵O，A，M，N四点共圆，
∴|PO|⋅|PA|=|PM|⋅|PN|，
即t(t−2)=|yM⋅yN|，
设直线PB的方程为x=ky+t，
代入椭圆方程x24+y23=1可得(3k2+4)y2+6kty+3t2−12=0，
∴y1+y2=−6kt3k2+4，y1y2=3t2−123k2+4，
直线BA的方程为y=y1x1−2(x−2)，当x=t时，yM=y1x1−2(t−2)=y1ky1+t−2(t−2)，
直线CA的方程为y=y2x2−2(x−2)，当x=t时，yN=y2x2−2(t−2)=y2ky2+t−2(t−2)，
∴yM⋅yN=(t−2)2⋅y1y2(ky1+t−2)(ky2+t−2)=(t−2)2⋅y1y2k2y2y1+k(t−2)(y1+y2)+(t−2)2
=(t−2)2⋅3(t+2)4(t−2)=34(t2−4)，
∴t(t−2)=34(t2−4)，
解得t=6．
【解析】(1)由题意可得ca=1212ab= 3a2=b2+c2，解得即可；
(2)设点B(x1,y1)，C(x2,y2)，M(t,yM)，N(t,yN)，根据四点共圆可得t(t−2)=|yM⋅yN|，再设直线PB的方程为x=ky+t，代入椭圆方程x24+y23=1，
分别求出直线BA，CA的方程，求出点M，N的纵坐标，根据韦达定理，整理化简可得yM⋅yN=34(t2−4)，即可得到t(t−2)=34(t2−4)，解得即可求出．
本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，四点共圆，考查了运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=exx−12=ex x，f′(x)=(2x−1)ex2 xx(x>0)，
当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴函数f(x)的单调递减区间是(0,12)，单调递增区间是(12,+∞)；
(2)令h(x)=exx−12x+1，得h′(x)=(x−1)(2x+1)ex2 xx(x+1)2(x>0)，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min=h(1)=e2，即h(x)的最小值是e2；
证明：(3)由(2)可知exx−12x+1≥e2，
即exx−12≥e2x+e2，∴直线y=e2x+e2为函数f(x)的一条切线，
由f(x)=exx−12，得f′(x)=(2x−1)ex2 xx，取x=14，得f′(14)=−2e14，又f(14)=2e14，
∴f(x)在x=14处的切线方程为y−2e14=−2e14(x−14)，即y=−2e14x+52e14，
令m(x)=exx−12+2e14x−52e14，m′(x)=(2x−1)ex2 xx+2e14，
令φ(x)=(2x−1)ex2 xx+2e14，φ′(x)=14x−52(4x2−4x+3)ex>0，∴m′(x)单调递增，
又m′(14)=0，可得当x∈(0,14)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
当x∈(14,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，∴m(x)≥m(14)=0，
可得函数f(x)图像夹在直线y=−2e14x+52e14和直线y=e2x+e2之间，
直线y=m与直线y=−2e14x+52e14的交点为(54−e42m,m)，
与直线y=e2x+e2的交点为(2me−1,m)，不妨设x1
【解析】(1)求出原函数的导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；
(2)写出函数h(x)，利用导数求其单调性，进一步可得函数的最值；
(3)证明函数f(x)图像夹在直线y=−2e14x+52e14和直线y=e2x+e2之间，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查推理论证能力与运算求解能力，综合性强，难度较大．
22.【答案】解：(1)由x=1+ 22ty= 22t(t为参数)消去参数t，得x−y=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得C1的极坐标方程ρcosθ−ρsinθ=1．
由ρ=2(cosθ+sinθ)可得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2(x+y)，即x2+y2−2x−2y=0．
(2)由ρ=2(cosθ+sinθ)得：cosθ+sinθ=ρ2，①
由ρcosθ−ρsinθ=1得：cosθ−sinθ=1ρ，①
由①2+②2得ρ24+1ρ2=2，即ρ4−8ρ2+4=0，
设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则(ρ1ρ2)2=4，
所以|OP|⋅|OQ|=2．
【解析】(1)曲线C1的参数方程为x=1+ 22ty= 22t(t为参数)，利用互化公式可得可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)，展开利用互化公式可得曲线C2的直角坐标方程．
(2)根据(1)所得到的结果，建立方程组求得结果．
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、圆的标准方程、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由三角不等式可得：f(x)=|2x+2|−|2x+3|≤|2x+2−2x−3|=1，
当x≤−32时取等号，即m=1．
(2)证明：因为1a+1b≥2 1ab，1b+1c≥2 1bc，1a+1c≥2 1ac，
所以1a+1b+1c≥ 1ab+ 1bc+ 1ac，当且仅当a=b=c时等号成立，
由(1)知m=1，即abc=1，
所以 1ab= c， 1bc= a， 1ac= b，
所以，1a+1b+1c≥ a+ b+ c，当且仅当a=b=c时等号成立，
所以1a+1b+1c≥ a+ b+ c，证毕．
【解析】(1)由三角不等式即可求最值；
(2)先由基本不等式转化，再由abc=m代入即可．
本题考查绝对值不等式求最值，以及基本不等式的运用，属于基础题．
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