2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z1=2+i，z2=1−2i，则(    )
A. |z1+1|=|z1| B. z1的共轭复数为z2
C. 复数z1z2对应的点位于第二象限 D. 复数z1z2为纯虚数
2. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为(    )
A. f(x)=tanx B. f(x)=−1x C. f(x)=x−cosx D. f(x)=ex−e−x
3. 若y=sinπ3，则y′=(    )
A. 0 B. 12 C. −12 D. 32
4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±43x，则双曲线的离心率为(    )
A. 54 B. 53 C. 73 D. 74
5. 方程x+|y−1|=0表示的曲线是(    )
A. B.
C. D.
6. 对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的(    )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 方程 (x−2)2+y2+ (x+2)2+y2=10，化简的结果是(    )
A. x225+y216=1 B. x225+y221=1 C. x225+y24=1 D. y225+x221=1
8. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=(    )
A. 1 B. −12 C. −1 D. 0
9. 已知函数f(x)的导函数是f′(x)，对任意的x∈R，f′(x)x+2的解集是(    )
A. (−1,1) B. (−1,+∞) C. (−∞,−1) D. (1,+∞)
10. 函数f(x)的定义域为R，它的导函数y=f′(x)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是(    )
A. x=1是f(x)的极小值点
B. f(−2)>f(−1)
C. 函数f(x)在(−1,1)上有极大值
D. 函数f(x)有三个极值点
11. C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|=5a，且∠PFO=120°，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为(    )
A. 43 B. 53 C. 32 D. 2
12. 设F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，直线l：x−3y+c=0(其中c为双曲线C的半焦距)与双曲线C的左右两支分别交于M，N两点若MN⋅(F2M+F2N)=0，则双曲线C的离心率是(    )
A. 153 B. 53 C. 13 D. 52
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 动点P到两定点A(−4,0)、B(4,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为______ ．
14. 若函数f(x)=lnx−ax的图象在(1,f(1))处的切线斜率为12，则实数a= ______ ．
15. 已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点(1,0)，则|FM|= ______ ．
16. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
求适合下列条件的曲线的标准方程．
(1)实轴长为8，焦点坐标为(0,5)，求双曲线的标准方程；
(2)焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+1且在x=1及x=2处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数y=f(x)在[0,3]的最大值与最小值．
19. (本小题12.0分)
在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=∠CDA=30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA=2AB．
(1)求证：平面PAC⊥平面AEF；
(2)求二面角E−AC−B的大小．

20. (本小题12.0分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，短轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y=kx−1(k∈R)与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2lnx+x2．
(1)求f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)x≥x2+mex在[1e,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
22. (本小题10.0分)
已知曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ−3，A，B是曲线C上不同的两点，且OA=2OB，其中O为极点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)求点B的极径．
23. (本小题12.0分)
在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为y= −x2+4x，曲线N的方程为xy=9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
(2)若射线l：θ=θ0(ρ≥0,00)的渐近线方程为y=±43x，
可得ba=43，可得e= 1+(ba)2= 1+169=53．
故选：B．
利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属基础题．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了函数图象的作法，是中档题．
分y≥1和y0，∴必要性成立，
∴mn>0是方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆的必要不充分条件．
故选：C．
先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论．
本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：方程 (x−2)2+y2+ (x+2)2+y2=10，
表示平面内到定点F1(2,0)、F2(−2,0)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a=10，焦距2c=4的椭圆，
∴a=5，c=2，b= 25−4= 21；
∴椭圆的方程是x225+y221=1．
故选：B．
根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．
本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x(x>0)，
∴f′(x)=2f′(1)+1x，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，
解得f′(1)=−1．
故选：C．
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．

9.【答案】C 
【解析】解：令g(x)=f(x)−x−2，则g′(x)=f′(x)−1，
∵f′(x)0⇔g(x)>g(−1)，得xx+2的解集是(−∞,−1)．
故选：C．
令g(x)=f(x)−x−2，利用导数可得函数g(x)的单调性，由已知可得g(−1)=0，则问题转化为g(x)>g(−1)，答案可求．
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是基础题．

10.【答案】B 
【解析】解：由y=f′(x)的图象可知，当x∈(−∞,−3)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，
当x∈(−3,−1)时，f′(x)f(−1)，x=−3是f(x)的极大值点，故B正确，
当x∈(−1,1)或x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在(−1,1)上没有极大值，且x=1不是f(x)的极小值点，
故A，C错误，
因为x=−1是f(x)的极小值点，x=−3是f(x)的极大值点，x=1不是f(x)的极值点，
所以f(x)有2个极值点，故D错误．
故选：B．
根据y=f′(x)的图象判断f′(x)的正负，进而得到f(x)的单调性，再结合极值点的定义逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．

11.【答案】C 
【解析】解：设双曲线左焦点为F1，由已知可得P在双曲线右支上，如图所示：

根据双曲线的定义得|PF1|−|PF|=2a，则|PF1|=7a，
由题意得∠PFF1=∠PFO=120°，
在△PFF1中，|PF1|=7a，|PF|=5a，|FF1|=2c，
由余弦定理得|PF1|2=|PF|2+|FF1|2−2|PF|⋅|FF1|cos∠PFF1，即49a2=25a2+4c2−2×5a×2c×(−12)，
∴2c2+5ac−12a2=0，
两边同时除以a2得2e2+5e−12=0，解得e=32或e=−4(不合题意，舍去)，
故e=32．
故选：C．
根据已知判断P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|=7a.然后在△PFF1中，根据余弦定理即可得出a，c的齐次方程，可得离心率的方程，求解即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】D 
【解析】解：若MN⋅(F2M+F2N)=0，即(F2N−F2M)⋅(F2M+F2N)=0，
可得F2N2=F2M2，即有|F2M|=|F2N|，
设|NF2|=m，由双曲线的定义可得|NF1|=m+2a，|MF1|=m−2a，
则|MN|=4a，取MN的中点H，连接HF2，可得HF2⊥MN，
|HF2|= m2−4a2，
在直角三角形HF1F2中，tan∠HF1F2=|HF2||HF1|= m2−4a2m=13，
解得m=3 22a，
由2ccos∠HF1F2=|HF1|=m=3 22a，即有2c⋅3 1+9=3 22a，
可得e=ca= 52．
故选：D．
由向量数量积的性质，推得|F2M|=|F2N|，由双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，结合离心率公式，可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

13.【答案】x225+y29=1 
【解析】解：因为|PA|+|PB|=10>|AB|=8，
由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A(−4,0)，B(4,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以c=4，a=5，b2=a2−c2=9，
所以点P的轨迹方程是x225+y29=1．
故答案为：x225+y29=1．
利用定义法求点P的轨迹方程．
本题主要考查了椭圆定义在轨迹方程求解中的应用，属于基础题．

14.【答案】12 
【解析】解：因为f(x)=lnx−ax，所以f′(x)=1x−a，
所以f(x)在x=1处的切线斜率k=f′(1)=1−a=12，
解得a=12．
故答案为：12．
求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．

15.【答案】52 
【解析】解：由抛物线C：x2=8y方程可得2p=8，所以p=4，焦点F的坐标为F(0,2)．
设A(1,0)，直线AF的斜率为kAF=2−00−1=−2，因为以线段FM为直径的圆过点M，
所以AM⊥AF，所以直线AM的斜率为12，
直线AM的方程为y=12(x−1)，
联立y=12(x−1)x2=8y，解得M(2,12)，
∴|FM|= 22+(12−2)2=52．
故答案为：52．
由题意可得AM⊥AF，直线AM的方程，进而可得M的坐标，可求|FM|．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属基础题．

16.【答案】83 
【解析】解：圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过O点时，此时体积最大，如图所示：

设此时正方形的边长为2a，
VZ=12 (2a)2+(2a)2= 2a，
设该四棱锥的高为PZ=h(20，则由题意可知A(2ρ,θ)，
将A，B坐标代入方程ρ2=4ρcosθ−3得：4ρ2=8ρcosθ−3ρ2=4ρcosθ−3，
∴4ρ2−2ρ2=3，得ρ= 62(负值舍去)，
∴B的极径为 62． 
【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；
(2)利用题给条件列方程组即可求得点B的极径．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．

23.【答案】(1)解：由y= −x2+4x，可得y2=−x2+4x(y≥0)，
即x2+y2=4x(0≤x≤4,y≥0)，
又由x=ρcosθy=ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ(0≤θ≤π2)，
所以曲线M的极坐标方程为ρ=4cosθ(0≤θ≤π2)．
由xy=9，可得ρ2cosθsinθ=9，即ρ2sin2θ=18，
即曲线N的极坐标方程为ρ2sin2θ=18．
(2)解：将θ=θ0代入ρ2sin2θ=18，可得|OB|=ρ= 18sin2θ0，
将θ=θ0代入ρ=4cosθ，可得|OA|=ρ=4cosθ0，
则|OA|⋅|OB|=12 tanθ0，
因为|OA|⋅|OB|=12，所以tanθ0=1，
又因为0