2022-2023学年广东省五校联盟（茂名市一中等）高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省五校联盟（茂名市一中等）高一（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z满足z(1+i3)=3i23+4i24，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合A={tanπ3,cs3π4,sinπ4,sinπ6},B={y|y=sinx}，则A∩B=( )
A. { 3,− 22, 22,12}B. {− 22, 22,12}
C. { 22,12}D. {− 22,12}
3. 已知α∈(5π2,3π),a=2sinα,b=lg2sinα,c=sin3α，则( )
A. a>c>bB. a>b>cC. b>c>aD. c>a>b
4. 在▱ABCD中，BE=15BC,DF=56DC,M是线段EF的中点，则AM=( )
A. 12AB+35ADB. 12AB+23ADC. 1112AB+23ADD. 1112AB+35AD
5. 我国南宋著名数学家秦九韶(约1202−1261)提出“三斜求积”求三角形面积的公式.以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实.一为从隅开方得积.如果把以上这段文字写成公式，就是：S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2].在△ABC中，已知角A、B、C所对边长分别为a，b，c，其中a为棱长为 3的正方体的体对角线的长度，b为复数3+4i的模，c为向量(−4,2 5)的模，则△ABC的面积为( )
A. 2 3B. 14C. 2 14D. 3 14
6. 把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上、下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为S1，内切球的表面积为S2，外接球的表面积为S3，则S1：S2：S3为( )
A. 1：2：2B. 1：1：1C. 3：2：4D. 2：3：3
7. 为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是( )
A. 若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8
B. 若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4
C. 若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4
D. 若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10
8. 巴普士(约公元3∼4世纪)，古希腊亚历山大学派著名几何学家.生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，V=Sl(V表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).已知在四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，AB//CE，AE=DE=3，2AB=CE=4，利用上述定理可求得四边形ABCD的重心G到点A的距离为( )
A. 1139B. 22575C. 200515D. 245715
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发展空间依旧广阔.根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此，无论是从增量维度还是存量维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.如图为2015−2022年全国汽车保有量及增长率情况，则( )
A. 2015−2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆
B. 2016−2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆
C. 2016−2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于7.00%
D. 2016−2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少
10. 下列命题为真命题的是( )
A. △ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若sin(A+B)>sinA，则c>a
B. 若角A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则tan(A+2B+C)=tan(A+C)
C. 若幂函数f(x)的图象过点A(16,2)，则f(x)=x14
D. 若x>2，则x+1x−2的最小值为2
11. 已知O为坐标原点，点P1(cs(π2+α),sin(π2+α)),P2(cs(π−β),sin(π−β))，P3(cs(α+β),sin(α+β))，P4(cs(α−β),sin(α−β))，则( )
A. |OP1|=|OP2|B. OP3⋅OP4=cs2α
C. 若OP1//OP3，则csβ=0D. 若OP2⊥OP4，则csα=0
12. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点G、E分别是棱A1B1、BB1的中点，点F是棱BC上的动点，则( )
A. 直线D1G与直线CE交于一点
B. 点F满足BF=13BC时，异面直线AG与EF所成的角的余弦值为6 6565
C. 点F满足BF=12BC时，BC1⊥平面DEF
D. 当点F满足BF=13BC时，直线GF与平面A1B1CD所成角的正弦值为2 27
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用了此染发剂.销售科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客做调查，则应抽取女性______ 名.
14. 已知函数f(x)=lg3(x+1),x>12sin2π8x,x≤1，若复数z=(m−2)+2mi是纯虚数，则f(f(m))= ______ ．
15. 如图，有一底面边长为6m，高为6m的正六棱柱形粮仓，侧面CDD1C1的中心点为P，此时一只蚂蚁正在A处，它要沿棱柱侧面到达P所经过的最短路程是______ m.
16. 已知a,e均是单位向量，若不等式|a+e|≤2|a+te|对任意实数t都成立，则a与e的夹角的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a,b满足a−2b=(4,−6),2a+b=(3,8)．
(1)求sin〈a,b〉；
(2)若a//c(c≠0)，求|b+c|的最小值．
18. (本小题12.0分)
如图，底面边长为6的正三棱锥S−ABC的表面积为36+9 3，点E，F，G分别满足BE=23BC,AG=15AS,BF=15BS，平面EFG交AC于点M．
(1)判断点M的位置，并证明；
(2)求三棱锥E−BGM的体积．
19. (本小题12.0分)
在①分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1+S3−S2= 34ac；②(AC+CB)⋅CB=2 33S△ABC；③bsinC+csin(4π3+B)=0
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____．
(1)求角B；
(2)已知a=4，当b2+9c取最小值时，求△ABC内切圆的半径．
20. (本小题12.0分)
深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，果型秀美，色泽鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村某种植户的蜜桃树上随机摘下了200个蜜桃进行测重，测得其质量(单位：克)均分布在区间[100,700]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的数据用该组区间中点值作代表．

(1)求出直方图中a的值，估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数(第75百分位数精确到0.01)；
(2)已知该种植户的蜜桃树上大约还有10000个蜜桃待出售，现有甲、乙两个收购商要与该种植户签订合同：
甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；
乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购，质量落在区间[200,300)内的以8元/个的价格收购，质量落在区间[300,400)内的以14元/个的价格收购，质量落在区间[400,500)内的以24元/个的价格收购，质量落在区间[500,600)内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以50元/个的价格收购.请你通过计算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同．
21. (本小题12.0分)
如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，BE=BF=2，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使点A，C重合于点M．

(1)求证：平面MEF⊥平面MBD；
(2)求二面角B−DF−M的正弦值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2[sin(ωx+π6)− 3cs(ωx+π6)]cs(ωx+π6)+ 3，当f(x1)≤f(x)≤f(x2)时，x1−x2的最小值为π2．
(1)求函数f(x)的对称轴；
(2)当ω>0时，将函数的f(x)图象向右平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若存在a∈[−1,1]，使不等式g(x)+3⩾(12)a−1+lg(2k−1)对x∈[−π12,π]恒成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：i3=−i，i23=(i4)5⋅i3=−i，i24=(i4)6=1，
∵z(1+i3)=3i23+4i24，
∴z(1−i)=4−3i，
∴z=4−3i1−i=(4−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=72+12i,z−=72−12i，对应的点为(72,−12)，位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：集合A={tanπ3,cs3π4,sinπ4,sinπ6},B={y|y=sinx}，则
由题意得A={ 3,− 22, 22,12}，
B={y|−1≤y≤1}，
∴A∩B={− 22, 22,12}．
故选：B．
求出集合A，B，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵5π2