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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等比数列{an}中，a1=1，a5=81，则a3=( )
A. 9B. ±9C. 3D. ±3
2. 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k,k=1,2,3,⋯，则P(1A. 1732B. 1532C. 3364D. 3164
3. 在(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)的展开式中，x5的系数为( )
A. −21B. 21C. −15D. 15
4. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，若质点移动8次之后又回到原点O，则该质点移动的轨迹有种．( )
A. 20B. 50C. 70D. 90
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有种不同的情况( )
A. 348B. 356C. 368D. 384
6. 某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉D(10,2)后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数r变小B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变大D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
7. 已知a=ln(1+34e)，b=1e，c=ln(1+e)2，则( )
A. b>a>cB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b
8. 现有两种卡片D和d若干(两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同)，安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取1张卡片，那么抽到dd的概率为( )
A. 316B. 14C. 12D. 516
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和−0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B. 已知由一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)得到的回归直线方程为y =4x+20，且1ni=1nxi=10，则这组样本数据中一定有(10,60)
C. 在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好
D. 已知P(χ2⩾3.841)=0.05，若根据2×2列联表得到χ2的观测值为4.1，则根据小概率值α=0.05的独立性检验认为两个分类变量有关
10. 已知当随机变量X∼N(μ,σ2)时，随机变量Z=X−μσ也服从正态分布.若X∼N(μ,σ2)，Z=X−μσ，则下列结论正确的是( )
A. P(|Z|<1)为定值
B. P(|X−μ|<σ)=1−2P(Z>1)
C. 当μ减小，σ增大时，P(|X−μ|<2σ)减
D. 当μ，σ都增大时，P(|X−μ|<3σ)增大
11. 设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定成立的是( )
A. P(AB)⩽P(B|A)B. P(AB)=P(A)⋅P(B)
C. P(B)=P(AB)+P(AB−)D. 若A⊆B，则P(A+B)⩾P(AB)
12. 设随机变量X∼B(8,13)，Y∼B(8,23)，则下列说法正确的是( )
A. X，Y服从二项分布
B. P(X>6)=1738
C. 当且仅当k=5时，P(Y=k)取最大值
D. 使P(X=m)=P(Y=n)成立的实数对(m,n)共有11对
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)满足，则f(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)x，则f(1)= ______ ．
14. (1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)14的展开式中，含x2项的系数是______ (用数字表示)．
15. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.4，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为______ ．
16. 设数列{an}为等比数列，且每项都大于1，则i=120231lgai⋅lgai+1⋅lga1⋅lga2024值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)已知：Cn+1n−1=21，求n；
(2)解不等式：3Ax+22+12Ax2⩽11Ax+12，其中x∈N*．
18. (本小题12.0分)
2023年5月30日，神州十六号载人飞船在长征二号F运载火箭的托举下，在酒泉卫星发射中心成功发射，神州十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功.某校组织学生观看了火箭发射的全过程，并对其中100名学生进行了“航空航天”问卷调查，其中被调查的男女学生比例为3：2.近两个月关注“航空航天”信息达6次及以上者为航天关注者，未达到6次的为非航天关注者，得到如下等高条形图．
(1)完成2×2列联表，根据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为“航天关注者”与性别有关联？
(2)从100名学生中按男女比例进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.记被抽取的2名学生中男生的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．
附χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)．
19. (本小题12.0分)
已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)nanan+1，求数列{bn}的前2n项的和．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exex．
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)当x>1时，求证：f(x)>−12x+32．
21. (本小题12.0分)
某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表．
(1)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r= 74，请求出y关于x的经验回归方程y =b x+a ，并据此估计2023年即x=8时，该地区新建社区养老机构的数量；(结果按四舍五入取整数)
(2)若该地区参与社区养老的老人的年龄X近似服从正态分布N(70,16)，其中年龄X∈(78,82]的有54人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？(结果按四舍五入取整数)
参考公式与数据：
①b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，r=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2⋅i=1n(yi−y−)2
②若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)≈0.9973
③i=17(yi−y−)2=225， 7yi2=1597
22. (本小题12.0分)
某闯关游戏由两道关卡组成，现有n名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为12，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关．
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第i(i=1,2,3,⋯,n−1)位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
③若第i(i=1,2,3,⋯,n−1)位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
④闯关进行到第n轮，则不管第n位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关．
令随机变量Xn表示n名挑战者在第Xn(Xn=1,2,3,⋯,n)轮结束闯关．
(1)求随机变量X4的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关．
令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn(Yn=1,2,3,⋯,n)轮结束闯关．
(ⅰ)求随机变量Yn(i∈N*,n⩾2)的分布列
(ⅱ)证明E(Y2)答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：等比数列{an}中，设它的公比为q，则根据a1=1，a5=a1⋅q4=81，
可得q2=9，则a3=a1⋅q2=9．
故选：A．
由题意，利用等比数列的通项公式，计算求得结果．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，P(1=122+123+124+125+126=14(1−125)1−12=3164．
故选：D．
根据题意，由分布列P(1本题考查随机变量的分布列，注意分布列中概率的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：在(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)的展开式中，
x5的系数为−1−2−3−4−5−6=−21，
故选：A．
由题意可得，x5的系数等于各个因式的根之和，计算求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：质点移动8次之后又回到原点O，说明8次移动过程中有4次向右4次向左移动，
即C84=70．
故选：C．
根据组合数的定义直接进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合数公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵乙既不是第1名也不是第6名，
∴乙可能是2，3，4，5，四种位置选一个，则甲可能从乙剩余3个名次和第6，4种情况，选1个，剩余4人进行全排列，
则有C41C41A44=16×24=384种不同的情况．
故选：D．
利用元素优先法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法或位置优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由散点图知，去掉点D(10,2)后，y与x的线性相关性加强，
则相关系数r变大，∴A错误，
相关指数R2变大，∴B错误，
残差平方和变小，∴C错误，
解释变量x与预报变量y的相关性变强，∴D正确．
故选：D．
由散点图知，去掉离群点D后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数r，相关指数R2及残差平方和，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：c=ln(1+e)2>lne2=12，而12−1e=e−22e>0，即c>12>1e=b，
设f(x)=ln(1+x)−x(x>0)，则x>0时，f′(x)=11+x−1=−x1+x<0，
故x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减，故f(x)即x>0时，ln(1+x)故c>b>a．
故选：C．
根据自然底数值可比较b，c的大小，借助函数f(x)=ln(1+x)−x(x>0)可比较a，b的大小．
本题主要考查对数值大小的比较，考查导数的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，可知抽取卡片的同学手里抽到DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，
记两名同学抽到DD，Dd，dd分别为事件A1，A2，A3和B1，B2，B3，
且P(A1)=P(B1)=14，P(A2)=P(B2)=12，P(A3)=P(B3)=14，
从两名同学手中各抽取1张卡片，抽到D和d分别为事件M1，M2和N1，N2，
当第一名同学手里的卡片为Dd，第二名同学手里的卡片为Dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B2)P(B2)=12×12×12×12=116，
当第一名同学手里的卡片为Dd，第二名同学手里的卡片为dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B3)P(B3)=12×12×14=116，
当第一名同学手里的卡片为dd，第二名同学手里的卡片为Dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B2)P(B2)=14×12×12=116，
当第一名同学手里的卡片为dd，第二名同学手里的卡片为dd时，
此时抽到dd的概率为P(A3)P(B3)=14×14=116，
所以抽到dd的概率为116+116+116+116=14．
故选：B．
利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和−0.85，
∵|0.66|<|−0.85|，∴乙组数据的线性相关性更强，故A正确；
回归直线方程为y =4x+20，x−=1ni=1nxi=10，则y−=60，
即样本点的中心的坐标为(10,60)，这组样本数据中不一定有(10,60)，故B错误；
在回归分析中，相关指数R2越大，残差平方和越小，说明回归效果越好，故C正确；
已知P(χ2⩾3.841)=0.05，若根据2×2列联表得到χ2的观测值为4.1>3.841，
则根据小概率值α=0.05的独立性检验认为两个分类变量有关，故D正确．
故选：ACD．
由相关系数绝对值的大小判断A；由线性回归方程的性质判断B；由相关指数的大小与回归效果间的关系判断C；由独立性检验判断D．
本题考查线性回归方程及独立性检验，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对任意正态分布X～N(μ,σ2)，Z=X−μσ，则Z～N(0,1)，可知A正确；
由于Z=X−μσ，结合正态分布的对称性可得P(|X−μ|<σ)=P(|z|<1)=1−2P(Z>1)，
可知B正确；
已知正态分布X～N(μ,σ2)，对于给定的k∈N*，
P(|X−μ|故选：AB．
根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误．
本题考查正态分布的对称性，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：A选项，P(B|A)=P(AB)P(A)≥P(AB)，A正确；
B选项，A，B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，B错误；
C选项，由全概率公式可得P(B)=P(AB)+P(A−B)，C错误；
D选项，∵A⊆B，则P(A+B)=P(B)，P(AB)=P(A)，∴A⊆B，则P(A+B)⩾P(AB)，D正确．
故选：AD．
根据条件概率公式可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据全概率公式可判断C；根据包含事件的关系可判断D．
本题考查条件概率，考查全概率公式，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，随机变量X∼B(8,13)，Y∼B(8,23)，则X，Y服从二项分布，A正确；
对于B，随机变量X∼B(8,13)，则P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=C87(13)7(23)+C88(13)8=1738，B正确；
对于C，随机变量Y∼B(8,23)，有(8+1)×23=6，即当k=5或6时，P(Y=k)取最大值，C错误；
对于D，随机变量X∼B(8,13)，
则P(X=0)=C80(13)0(23)8=2838，P(X=1)=C81(13)1(23)7=8×2738，P(X=2)=C82(13)2(23)6=28×2638，
P(X=3)=C83(13)3(23)5=56×2538，P(X=4)=C84(13)4(23)4=70×2438，P(X=5)=C85(13)5(23)3=56×2338，
P(X=6)=C86(13)6(23)2=28×2238，P(X=7)=C87(13)7(23)1=8×238，P(X=8)=C88(13)8(23)0=138，
Y∼B(8,23)，
则P(Y=0)=C80(13)8(23)0=138，P(Y=1)=C81(13)7(23)1=8×238，P(Y=2)=C82(13)6(23)2=8×238，
P(Y=3)=C83(13)5(23)3=56×2338，P(Y=4)=C84(13)4(23)4=70×2438，P(Y=5)=C85(13)3(23)5=56×2538，
P(Y=6)=C86(13)2(23)6=28×2638，P(Y=7)=C87(13)1(23)7=8×2738，P(Y=8)=C88(13)0(23)8=2838，
其中满足P(X=m)=P(Y=n)的(m,n)有(0,8)、(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)、
(7,1)、(8,0)、(2,5)、(3,6)，共11对，D正确．
故选：ABD．
根据题意，由二项分布的定义可得A正确，由于P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)，计算可得B正确，由二项分布概率的性质可得C错误，分析X、Y的分布列，比较可得D正确，综合可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及概率的计算，属于中档题．
13.【答案】2e−1
【解析】解：f(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)x，
则f′(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)，
令x=0得，f′(0)=f′(0)⋅1e+(e−1)，
解得f′(0)=e，
∴f(x)=ex+(e−1)x，
∴f(1)=e+e−1=2e−1．
故答案为：2e−1．
先求出f′(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)，令x=0可求出f′(0)的值，进而得到f(x)的解析式，求出f(1)的值即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
14.【答案】454
【解析】解：(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)14的展开式中，
含x2项的系数是C32+C42+C52+⋅⋅⋅+C142=454．
故答案为：454．
利用二项式定理展开二项式，找出含有x2的项，即可求得x2项的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】47
【解析】解：设甲命中目标为事件A，目标至少被命中1次为事件B，事件B包括甲命中乙不命中，甲不命中乙命中、甲乙都命中，
则P(B)=0.4×0.5+0.6×0.5+0.4×0.5=0.7，则P(A|B)=P(AB)P(B)=47．
故答案为：47．
设甲命中目标为事件A，目标至少被命中1次为事件B，由条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】2023
【解析】解：设an=a1⋅qn−1，由题意可知q>0，
则原式=lga1⋅lg(a1×q2023)×i=120231lg(a1×qi−1)⋅lg(a1×qi)，
又i=120231lg(a1×qi−1)lg(a1qi)=i=12023(1lga1+(i−1)lgq−1lga1+ilgq)×1lgq
=(1lga1−1lga1+lgq+1lga1+lgq−1lga1+2lgq+…+1lga1+2022lgq−1lga1+2023lgq)×1lgq
=(1lga1−1lga1+2023lgq)×1lgq，
lga1⋅lg(a1×q2023)=lga1×(lga1+2023lgq)，
所以原式=lga1×(1+2023lgqlga1−1)×1lgq=2023．
故答案为：2023．
由题意可知数列公比大于0，设an=a1⋅qn−1，代入原式进行化简即可．
本题主要考查等比数列的相关性质及对数的运算，属中档题．
17.【答案】解：(1)对原式展开得(n+1)×n2×1=21，
化简得n2+n−42=0，
即(n+7)(n−6)=0，
解得n=6或−7(舍去)，
所以n=6；
(2)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x−1)⩽11(x+1)x，
化简得2x2−7x+3⩽0，
即(2x−1)(x−3)⩽0，
解得12⩽x⩽3，
因为x⩾2且x∈N*，
所以x=2或3，
所以不等式的解集为{2,3}
【解析】(1)根据定义对等式进行展开而后求解；
(2)根据定义对等式进行展开而后求解．
本题主要考查排列组合的公式运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)依题意得2×2列联表如下：
χ2=100(48×16−24×12)272×28×60×40≈4.76<6.635，
所以根据小概率值α=0.010的χ2独立性检验，认为“航天关注者”与性别无关．
(2)由题意，这5名学生中男生3人，女生2人，
X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C32C52=310，
X的分布列为：
E(X)=0×110+1×35+2×310=65，
D(X)=(0−65)2×110+(1−65)2×35+(2−65)2×310=925．
【解析】(1)根据题意完成2×2列联表，求得X2，即可得出结论；
(2)求得X的可能取值及对应概率，根据期望和方差的公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查独立性检验，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，a1+a2=5，
则a2=5−a1=5−1=4，
当n⩾2时，由an+an+1=4n+1，
可得an−1+an=4n−3，
两式相减，可得an+1−an−1=4，
故数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
①当n为奇数时，令n=2k−1，则k=n+12，
此时an=a2k−1=1+(k−1)×4=4k−3=4⋅n+12−3=2n−1，
②当n为偶数时，令n=2k，则k=n2，
此时an=a2k=a2+(k−1)×4=4k=4⋅n2=2n，
∴an=2n−1,n为奇数2n,n为偶数．
(2)由题意及(1)，
可得数列{bn}的前2n项和为：
−a1a2+a2a3−a3a4+⋯−a2n−1a2n+a2na2n+1
=(a3−a1)a2+(a5−a3)a4+⋯+(a2n+1−a2n−1)a2n
=4⋅(a2+a4+⋯+a2n)
=4⋅(4+8+⋅⋅⋅+4n)
=4⋅n⋅(4+4n)2
=8n2+8n．
【解析】(1)先将n=1代入题干递推公式计算出a2值，当n⩾2时，由an+an+1=4n+1，可得an−1+an=4n−3，两式相减进一步推导即可发现数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，然后分n为奇数与偶数两种情况分别推导出通项公式，最后综合两种情况即可得到数列{an}的通项公式；
(2)根据题意及第(1)题的结果运用分组求和法，以及等差数列的求和公式即可计算出数列{bn}的前2n项的和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，换元法，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)易知f(2)=2e，则切点坐标为(2,2e)，
又f′(x)=1−xex−1，
则f′(2)=−1e，即切线的斜率为−1e，
所以切线方程是y−2e=−1e(x−2)，即x+ey−4=0；
(2)证明：设F(x)=f(x)−(−12x+32)=exex−(−12x+32)，
则F′(x)=1−xex−1+12=2−2x+ex−12ex−1，
令m(x)=2−2x+ex−1(x>1)，
则m′(x)=ex−1−2，
∴m(x)在(1,ln2+1)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增．
则m(x)>m(ln2+1)=2(1−ln2)>0，
∴F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)上单调递增．
∴F(x)>F(1)=0，
即x∈(1,+∞)时，f(x)>−12x+32成立．
【解析】(1)对函数f(x)求导，再根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可得解；
(2)构造函数F(x)=f(x)−(−12x+32)，利用导数可知F(x)在(1,+∞)上的单调性，由此容易得证．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)x−=1+2+3+4+5+6+77=4，
i=17(xi−x−)2=28，i=17(yi−y−)2=225，
由r=i=17(xi−x−)(yi−y−) i=17(xi−x−)2 i=17(yi−y−)2=i=17(xi−x−)(yi−y−)2 7×15= 74，
得i=17(xi−x−)(yi−y−)=1052，
∴b =i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2=158，
∵i=17(yi−y−)2=i=17yi2−7y−2=225，∴y−=14，
则a =y−−b x−=14−158×4=132．
∴y关于x的线性回归方程y =158x+132，
当x=8时，y =158×8+132≈22，
估计2023年该地区新建社区养老机构的数量为22个；
(2)由题可知，P(78估计该地参与社区养老的老人有54÷0.0214≈2523(人)．
估计该地参与社区养老的老人约有2523人．
【解析】(1)由已知求得结合相关系数求得i=17(xi−x−)(yi−y−)，进一步求得b 与a 的值，可得线性回归方程，取x=8求解y 值即可；
(2)由已知求得P(78本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：(1)由题意得，X4的可能取值为1，2，3，4，
P(X4=1)=14，P(X4=2)=34×14=316，P(X4=3)=(34)2×14=964，P(X4=4)=(34)3=2764，
所以X4的分布列为：
(2)(i)Yn=k(1⩽k⩽n−1,k∈N*)，第k人必答对第二题，
前面k−1人都没有一人答对第一题的概率为p′k=(12)k+1，
前面k−1人有一人答对第一题的概率为p″k=Ck−11(12)k+1=(k−1)(12)k+1，
故P(Yn=k)=p′k+p″k=k(12)k+1，
当Yn=n时，
若前面n−1人都没有一人答对第一题，其概率为p′n=(12)n−1，
若前面n−1人有一人答对第一题，其概率为p″n=(n−1)(12)n，
故P(Yn=n)=p′n+p″n=(n+1)(12)n，
故Yn的分布列为：
(ii)证明：E(Yn)=k=1n−1k2(12)k+1+n(n+1)(12)n(n∈N*,n≥2)，
E(Yn+1)−E(Yn)=n2(12)n+1+(n+1)(n+2)(12)n+1−n(n+1)(12)n=(n+2)(12)n+1>0，
故E(Y2)求得E(Y2)=74，
故E(Yn)=E(Y2)+[E(Y3)−E(Y2)]+[E(Y4)−E(Y3)]+⋯+[E(Yn)−E(Yn−1)]，
∴E(Yn)=74+4×(12)3+5×(12)4+⋯+n(12)n−1+(n+1)(12)n，①
12E(Yn)=78+4×(12)4+⋯+n(12)n−1+n(12)n+(n+1)(12)n+1，②
②−①得，12E(Yn)=118+(12)4+(12)5+⋯+(12)n−(n+1)(12)n+1=32−n+32(12)n<3，
故E(Y2)【解析】(1)求得X4的可能取值及对应概率，即可求得分布列；
(2)(i)求得Yn的可能取值及对应概率，即可求得分布列；
(ii)求得E(Yn)，先判断单调性，再利用错位相减和放缩法证明即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
航天关注者
非航天关注者
合计
男
女
合计
P(χ2≥x0)
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码(x)
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构(y)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
航天关注者
非航天关注者
合计
男
48
12
60
女
24
16
40
合计
72
28
100
X
0
1
2
P
110
35
310
X4
1
2
3
4
P
14
316
964
2764
Yn
1
2
3
…
n−1
n
P
(12)2
2×(12)3
3×(12)4
…
(n−1)×(12)n
(n+1)×(12)n
1. 已知等比数列{an}中，a1=1，a5=81，则a3=( )
A. 9B. ±9C. 3D. ±3
2. 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k,k=1,2,3,⋯，则P(1
3. 在(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)的展开式中，x5的系数为( )
A. −21B. 21C. −15D. 15
4. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，若质点移动8次之后又回到原点O，则该质点移动的轨迹有种．( )
A. 20B. 50C. 70D. 90
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有种不同的情况( )
A. 348B. 356C. 368D. 384
6. 某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉D(10,2)后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数r变小B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变大D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
7. 已知a=ln(1+34e)，b=1e，c=ln(1+e)2，则( )
A. b>a>cB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b
8. 现有两种卡片D和d若干(两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同)，安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取1张卡片，那么抽到dd的概率为( )
A. 316B. 14C. 12D. 516
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和−0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B. 已知由一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)得到的回归直线方程为y =4x+20，且1ni=1nxi=10，则这组样本数据中一定有(10,60)
C. 在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好
D. 已知P(χ2⩾3.841)=0.05，若根据2×2列联表得到χ2的观测值为4.1，则根据小概率值α=0.05的独立性检验认为两个分类变量有关
10. 已知当随机变量X∼N(μ,σ2)时，随机变量Z=X−μσ也服从正态分布.若X∼N(μ,σ2)，Z=X−μσ，则下列结论正确的是( )
A. P(|Z|<1)为定值
B. P(|X−μ|<σ)=1−2P(Z>1)
C. 当μ减小，σ增大时，P(|X−μ|<2σ)减
D. 当μ，σ都增大时，P(|X−μ|<3σ)增大
11. 设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定成立的是( )
A. P(AB)⩽P(B|A)B. P(AB)=P(A)⋅P(B)
C. P(B)=P(AB)+P(AB−)D. 若A⊆B，则P(A+B)⩾P(AB)
12. 设随机变量X∼B(8,13)，Y∼B(8,23)，则下列说法正确的是( )
A. X，Y服从二项分布
B. P(X>6)=1738
C. 当且仅当k=5时，P(Y=k)取最大值
D. 使P(X=m)=P(Y=n)成立的实数对(m,n)共有11对
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)满足，则f(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)x，则f(1)= ______ ．
14. (1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)14的展开式中，含x2项的系数是______ (用数字表示)．
15. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.4，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为______ ．
16. 设数列{an}为等比数列，且每项都大于1，则i=120231lgai⋅lgai+1⋅lga1⋅lga2024值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)已知：Cn+1n−1=21，求n；
(2)解不等式：3Ax+22+12Ax2⩽11Ax+12，其中x∈N*．
18. (本小题12.0分)
2023年5月30日，神州十六号载人飞船在长征二号F运载火箭的托举下，在酒泉卫星发射中心成功发射，神州十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功.某校组织学生观看了火箭发射的全过程，并对其中100名学生进行了“航空航天”问卷调查，其中被调查的男女学生比例为3：2.近两个月关注“航空航天”信息达6次及以上者为航天关注者，未达到6次的为非航天关注者，得到如下等高条形图．
(1)完成2×2列联表，根据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为“航天关注者”与性别有关联？
(2)从100名学生中按男女比例进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.记被抽取的2名学生中男生的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．
附χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)．
19. (本小题12.0分)
已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)nanan+1，求数列{bn}的前2n项的和．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exex．
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)当x>1时，求证：f(x)>−12x+32．
21. (本小题12.0分)
某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表．
(1)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r= 74，请求出y关于x的经验回归方程y =b x+a ，并据此估计2023年即x=8时，该地区新建社区养老机构的数量；(结果按四舍五入取整数)
(2)若该地区参与社区养老的老人的年龄X近似服从正态分布N(70,16)，其中年龄X∈(78,82]的有54人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？(结果按四舍五入取整数)
参考公式与数据：
①b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，r=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2⋅i=1n(yi−y−)2
②若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)≈0.9973
③i=17(yi−y−)2=225， 7yi2=1597
22. (本小题12.0分)
某闯关游戏由两道关卡组成，现有n名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为12，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关．
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第i(i=1,2,3,⋯,n−1)位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
③若第i(i=1,2,3,⋯,n−1)位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战．
④闯关进行到第n轮，则不管第n位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关．
令随机变量Xn表示n名挑战者在第Xn(Xn=1,2,3,⋯,n)轮结束闯关．
(1)求随机变量X4的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关．
令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn(Yn=1,2,3,⋯,n)轮结束闯关．
(ⅰ)求随机变量Yn(i∈N*,n⩾2)的分布列
(ⅱ)证明E(Y2)
1.【答案】A
【解析】解：等比数列{an}中，设它的公比为q，则根据a1=1，a5=a1⋅q4=81，
可得q2=9，则a3=a1⋅q2=9．
故选：A．
由题意，利用等比数列的通项公式，计算求得结果．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，P(1
故选：D．
根据题意，由分布列P(1
3.【答案】A
【解析】解：在(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)的展开式中，
x5的系数为−1−2−3−4−5−6=−21，
故选：A．
由题意可得，x5的系数等于各个因式的根之和，计算求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：质点移动8次之后又回到原点O，说明8次移动过程中有4次向右4次向左移动，
即C84=70．
故选：C．
根据组合数的定义直接进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合数公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵乙既不是第1名也不是第6名，
∴乙可能是2，3，4，5，四种位置选一个，则甲可能从乙剩余3个名次和第6，4种情况，选1个，剩余4人进行全排列，
则有C41C41A44=16×24=384种不同的情况．
故选：D．
利用元素优先法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法或位置优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由散点图知，去掉点D(10,2)后，y与x的线性相关性加强，
则相关系数r变大，∴A错误，
相关指数R2变大，∴B错误，
残差平方和变小，∴C错误，
解释变量x与预报变量y的相关性变强，∴D正确．
故选：D．
由散点图知，去掉离群点D后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数r，相关指数R2及残差平方和，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：c=ln(1+e)2>lne2=12，而12−1e=e−22e>0，即c>12>1e=b，
设f(x)=ln(1+x)−x(x>0)，则x>0时，f′(x)=11+x−1=−x1+x<0，
故x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减，故f(x)
故选：C．
根据自然底数值可比较b，c的大小，借助函数f(x)=ln(1+x)−x(x>0)可比较a，b的大小．
本题主要考查对数值大小的比较，考查导数的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，可知抽取卡片的同学手里抽到DD，Dd，dd的近似比为1：2：1，
记两名同学抽到DD，Dd，dd分别为事件A1，A2，A3和B1，B2，B3，
且P(A1)=P(B1)=14，P(A2)=P(B2)=12，P(A3)=P(B3)=14，
从两名同学手中各抽取1张卡片，抽到D和d分别为事件M1，M2和N1，N2，
当第一名同学手里的卡片为Dd，第二名同学手里的卡片为Dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B2)P(B2)=12×12×12×12=116，
当第一名同学手里的卡片为Dd，第二名同学手里的卡片为dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B3)P(B3)=12×12×14=116，
当第一名同学手里的卡片为dd，第二名同学手里的卡片为Dd时，
此时抽到dd的概率为P(M2|A2)P(A2)P(N2|B2)P(B2)=14×12×12=116，
当第一名同学手里的卡片为dd，第二名同学手里的卡片为dd时，
此时抽到dd的概率为P(A3)P(B3)=14×14=116，
所以抽到dd的概率为116+116+116+116=14．
故选：B．
利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和−0.85，
∵|0.66|<|−0.85|，∴乙组数据的线性相关性更强，故A正确；
回归直线方程为y =4x+20，x−=1ni=1nxi=10，则y−=60，
即样本点的中心的坐标为(10,60)，这组样本数据中不一定有(10,60)，故B错误；
在回归分析中，相关指数R2越大，残差平方和越小，说明回归效果越好，故C正确；
已知P(χ2⩾3.841)=0.05，若根据2×2列联表得到χ2的观测值为4.1>3.841，
则根据小概率值α=0.05的独立性检验认为两个分类变量有关，故D正确．
故选：ACD．
由相关系数绝对值的大小判断A；由线性回归方程的性质判断B；由相关指数的大小与回归效果间的关系判断C；由独立性检验判断D．
本题考查线性回归方程及独立性检验，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对任意正态分布X～N(μ,σ2)，Z=X−μσ，则Z～N(0,1)，可知A正确；
由于Z=X−μσ，结合正态分布的对称性可得P(|X−μ|<σ)=P(|z|<1)=1−2P(Z>1)，
可知B正确；
已知正态分布X～N(μ,σ2)，对于给定的k∈N*，
P(|X−μ|
根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误．
本题考查正态分布的对称性，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：A选项，P(B|A)=P(AB)P(A)≥P(AB)，A正确；
B选项，A，B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，B错误；
C选项，由全概率公式可得P(B)=P(AB)+P(A−B)，C错误；
D选项，∵A⊆B，则P(A+B)=P(B)，P(AB)=P(A)，∴A⊆B，则P(A+B)⩾P(AB)，D正确．
故选：AD．
根据条件概率公式可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据全概率公式可判断C；根据包含事件的关系可判断D．
本题考查条件概率，考查全概率公式，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，随机变量X∼B(8,13)，Y∼B(8,23)，则X，Y服从二项分布，A正确；
对于B，随机变量X∼B(8,13)，则P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=C87(13)7(23)+C88(13)8=1738，B正确；
对于C，随机变量Y∼B(8,23)，有(8+1)×23=6，即当k=5或6时，P(Y=k)取最大值，C错误；
对于D，随机变量X∼B(8,13)，
则P(X=0)=C80(13)0(23)8=2838，P(X=1)=C81(13)1(23)7=8×2738，P(X=2)=C82(13)2(23)6=28×2638，
P(X=3)=C83(13)3(23)5=56×2538，P(X=4)=C84(13)4(23)4=70×2438，P(X=5)=C85(13)5(23)3=56×2338，
P(X=6)=C86(13)6(23)2=28×2238，P(X=7)=C87(13)7(23)1=8×238，P(X=8)=C88(13)8(23)0=138，
Y∼B(8,23)，
则P(Y=0)=C80(13)8(23)0=138，P(Y=1)=C81(13)7(23)1=8×238，P(Y=2)=C82(13)6(23)2=8×238，
P(Y=3)=C83(13)5(23)3=56×2338，P(Y=4)=C84(13)4(23)4=70×2438，P(Y=5)=C85(13)3(23)5=56×2538，
P(Y=6)=C86(13)2(23)6=28×2638，P(Y=7)=C87(13)1(23)7=8×2738，P(Y=8)=C88(13)0(23)8=2838，
其中满足P(X=m)=P(Y=n)的(m,n)有(0,8)、(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)、
(7,1)、(8,0)、(2,5)、(3,6)，共11对，D正确．
故选：ABD．
根据题意，由二项分布的定义可得A正确，由于P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)，计算可得B正确，由二项分布概率的性质可得C错误，分析X、Y的分布列，比较可得D正确，综合可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及概率的计算，属于中档题．
13.【答案】2e−1
【解析】解：f(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)x，
则f′(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)，
令x=0得，f′(0)=f′(0)⋅1e+(e−1)，
解得f′(0)=e，
∴f(x)=ex+(e−1)x，
∴f(1)=e+e−1=2e−1．
故答案为：2e−1．
先求出f′(x)=f′(0)⋅ex−1+(e−1)，令x=0可求出f′(0)的值，进而得到f(x)的解析式，求出f(1)的值即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
14.【答案】454
【解析】解：(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)14的展开式中，
含x2项的系数是C32+C42+C52+⋅⋅⋅+C142=454．
故答案为：454．
利用二项式定理展开二项式，找出含有x2的项，即可求得x2项的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】47
【解析】解：设甲命中目标为事件A，目标至少被命中1次为事件B，事件B包括甲命中乙不命中，甲不命中乙命中、甲乙都命中，
则P(B)=0.4×0.5+0.6×0.5+0.4×0.5=0.7，则P(A|B)=P(AB)P(B)=47．
故答案为：47．
设甲命中目标为事件A，目标至少被命中1次为事件B，由条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】2023
【解析】解：设an=a1⋅qn−1，由题意可知q>0，
则原式=lga1⋅lg(a1×q2023)×i=120231lg(a1×qi−1)⋅lg(a1×qi)，
又i=120231lg(a1×qi−1)lg(a1qi)=i=12023(1lga1+(i−1)lgq−1lga1+ilgq)×1lgq
=(1lga1−1lga1+lgq+1lga1+lgq−1lga1+2lgq+…+1lga1+2022lgq−1lga1+2023lgq)×1lgq
=(1lga1−1lga1+2023lgq)×1lgq，
lga1⋅lg(a1×q2023)=lga1×(lga1+2023lgq)，
所以原式=lga1×(1+2023lgqlga1−1)×1lgq=2023．
故答案为：2023．
由题意可知数列公比大于0，设an=a1⋅qn−1，代入原式进行化简即可．
本题主要考查等比数列的相关性质及对数的运算，属中档题．
17.【答案】解：(1)对原式展开得(n+1)×n2×1=21，
化简得n2+n−42=0，
即(n+7)(n−6)=0，
解得n=6或−7(舍去)，
所以n=6；
(2)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x−1)⩽11(x+1)x，
化简得2x2−7x+3⩽0，
即(2x−1)(x−3)⩽0，
解得12⩽x⩽3，
因为x⩾2且x∈N*，
所以x=2或3，
所以不等式的解集为{2,3}
【解析】(1)根据定义对等式进行展开而后求解；
(2)根据定义对等式进行展开而后求解．
本题主要考查排列组合的公式运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)依题意得2×2列联表如下：
χ2=100(48×16−24×12)272×28×60×40≈4.76<6.635，
所以根据小概率值α=0.010的χ2独立性检验，认为“航天关注者”与性别无关．
(2)由题意，这5名学生中男生3人，女生2人，
X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C32C52=310，
X的分布列为：
E(X)=0×110+1×35+2×310=65，
D(X)=(0−65)2×110+(1−65)2×35+(2−65)2×310=925．
【解析】(1)根据题意完成2×2列联表，求得X2，即可得出结论；
(2)求得X的可能取值及对应概率，根据期望和方差的公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查独立性检验，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，a1+a2=5，
则a2=5−a1=5−1=4，
当n⩾2时，由an+an+1=4n+1，
可得an−1+an=4n−3，
两式相减，可得an+1−an−1=4，
故数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
①当n为奇数时，令n=2k−1，则k=n+12，
此时an=a2k−1=1+(k−1)×4=4k−3=4⋅n+12−3=2n−1，
②当n为偶数时，令n=2k，则k=n2，
此时an=a2k=a2+(k−1)×4=4k=4⋅n2=2n，
∴an=2n−1,n为奇数2n,n为偶数．
(2)由题意及(1)，
可得数列{bn}的前2n项和为：
−a1a2+a2a3−a3a4+⋯−a2n−1a2n+a2na2n+1
=(a3−a1)a2+(a5−a3)a4+⋯+(a2n+1−a2n−1)a2n
=4⋅(a2+a4+⋯+a2n)
=4⋅(4+8+⋅⋅⋅+4n)
=4⋅n⋅(4+4n)2
=8n2+8n．
【解析】(1)先将n=1代入题干递推公式计算出a2值，当n⩾2时，由an+an+1=4n+1，可得an−1+an=4n−3，两式相减进一步推导即可发现数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，然后分n为奇数与偶数两种情况分别推导出通项公式，最后综合两种情况即可得到数列{an}的通项公式；
(2)根据题意及第(1)题的结果运用分组求和法，以及等差数列的求和公式即可计算出数列{bn}的前2n项的和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，换元法，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)易知f(2)=2e，则切点坐标为(2,2e)，
又f′(x)=1−xex−1，
则f′(2)=−1e，即切线的斜率为−1e，
所以切线方程是y−2e=−1e(x−2)，即x+ey−4=0；
(2)证明：设F(x)=f(x)−(−12x+32)=exex−(−12x+32)，
则F′(x)=1−xex−1+12=2−2x+ex−12ex−1，
令m(x)=2−2x+ex−1(x>1)，
则m′(x)=ex−1−2，
∴m(x)在(1,ln2+1)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增．
则m(x)>m(ln2+1)=2(1−ln2)>0，
∴F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)上单调递增．
∴F(x)>F(1)=0，
即x∈(1,+∞)时，f(x)>−12x+32成立．
【解析】(1)对函数f(x)求导，再根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可得解；
(2)构造函数F(x)=f(x)−(−12x+32)，利用导数可知F(x)在(1,+∞)上的单调性，由此容易得证．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)x−=1+2+3+4+5+6+77=4，
i=17(xi−x−)2=28，i=17(yi−y−)2=225，
由r=i=17(xi−x−)(yi−y−) i=17(xi−x−)2 i=17(yi−y−)2=i=17(xi−x−)(yi−y−)2 7×15= 74，
得i=17(xi−x−)(yi−y−)=1052，
∴b =i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2=158，
∵i=17(yi−y−)2=i=17yi2−7y−2=225，∴y−=14，
则a =y−−b x−=14−158×4=132．
∴y关于x的线性回归方程y =158x+132，
当x=8时，y =158×8+132≈22，
估计2023年该地区新建社区养老机构的数量为22个；
(2)由题可知，P(78
估计该地参与社区养老的老人约有2523人．
【解析】(1)由已知求得结合相关系数求得i=17(xi−x−)(yi−y−)，进一步求得b 与a 的值，可得线性回归方程，取x=8求解y 值即可；
(2)由已知求得P(78
22.【答案】解：(1)由题意得，X4的可能取值为1，2，3，4，
P(X4=1)=14，P(X4=2)=34×14=316，P(X4=3)=(34)2×14=964，P(X4=4)=(34)3=2764，
所以X4的分布列为：
(2)(i)Yn=k(1⩽k⩽n−1,k∈N*)，第k人必答对第二题，
前面k−1人都没有一人答对第一题的概率为p′k=(12)k+1，
前面k−1人有一人答对第一题的概率为p″k=Ck−11(12)k+1=(k−1)(12)k+1，
故P(Yn=k)=p′k+p″k=k(12)k+1，
当Yn=n时，
若前面n−1人都没有一人答对第一题，其概率为p′n=(12)n−1，
若前面n−1人有一人答对第一题，其概率为p″n=(n−1)(12)n，
故P(Yn=n)=p′n+p″n=(n+1)(12)n，
故Yn的分布列为：
(ii)证明：E(Yn)=k=1n−1k2(12)k+1+n(n+1)(12)n(n∈N*,n≥2)，
E(Yn+1)−E(Yn)=n2(12)n+1+(n+1)(n+2)(12)n+1−n(n+1)(12)n=(n+2)(12)n+1>0，
故E(Y2)
故E(Yn)=E(Y2)+[E(Y3)−E(Y2)]+[E(Y4)−E(Y3)]+⋯+[E(Yn)−E(Yn−1)]，
∴E(Yn)=74+4×(12)3+5×(12)4+⋯+n(12)n−1+(n+1)(12)n，①
12E(Yn)=78+4×(12)4+⋯+n(12)n−1+n(12)n+(n+1)(12)n+1，②
②−①得，12E(Yn)=118+(12)4+(12)5+⋯+(12)n−(n+1)(12)n+1=32−n+32(12)n<3，
故E(Y2)
(2)(i)求得Yn的可能取值及对应概率，即可求得分布列；
(ii)求得E(Yn)，先判断单调性，再利用错位相减和放缩法证明即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
航天关注者
非航天关注者
合计
男
女
合计
P(χ2≥x0)
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码(x)
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构(y)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
航天关注者
非航天关注者
合计
男
48
12
60
女
24
16
40
合计
72
28
100
X
0
1
2
P
110
35
310
X4
1
2
3
4
P
14
316
964
2764
Yn
1
2
3
…
n−1
n
P
(12)2
2×(12)3
3×(12)4
…
(n−1)×(12)n
(n+1)×(12)n
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