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江苏省常州市2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题（含答案）
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这是一份江苏省常州市2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列计算中，一定正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（a3）2＝a6 C．a3•a＝a3 D．a8÷a2＝a4
2．（2分）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
3．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．1+a＞1+b B．1﹣a＞1﹣b C．a﹣b＞0 D．2a＞2b
4．（2分）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果a2≥0，那么a≥0
B．一个角的补角大于这个角
C．内错角相等
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
5．（2分）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（ ）
A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75
6．（2分）如图，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度数是（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
7．（2分）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（ ）
A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC
C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360°
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）（﹣3x2y）2＝ ．
10．（2分）分解因式：a2+2a+1＝ ．
11．（2分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载的国产高精度星载原子钟，能保证“北斗”在全球范围内的授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法可表示为 ．
12．（2分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 （填“真命题“或“假命题”）．
13．（2分）已知是二元一次方程组的解，则m+n＝ ．
14．（2分）若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．（2分）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ ．
16．（2分）如图，AD是△ABC的中线，，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17、18、19、21、24题每题8分，第20、22、23题每题6分，第25题10分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（a﹣1）2﹣（a﹣2）（a+2）．
18．（8分）把下列各式分解因式：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）x4﹣81．
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简，再求值：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1），其中x＝﹣2．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）平移△ABC，使点A移到点A′的位置，点B、C的对应点分别记作点B′、C′，请在图中画出平移后得到的△A′B′C′；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的高AD，垂足为D；
（3）请找出能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P（不与点A重合），在图中分别用P1、P2、P3 …表示出来．
22．（6分）已知：如图，∠A＝∠C，∠BED+∠EBC＝180°．
求证：AB∥CD．
23．（6分）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共190元，8副象棋和10副围棋共320元．
（1）求象棋和围棋的单价；
（2）考虑到第二年扩招，学校计划用不超过1800元的经费再次购买象棋和围棋共100副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？
24．（8分）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．
（1）当α＝5时．
①若x＞6，求y的取值范围；
②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；
（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．
①M＝ （用含x、a的代数式表示）；
②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 ．
25．（10分）如果一个角α是另一个角β的2倍，那么称α是β的“二倍角”．例如：α＝70°，β＝35°，则α是β的“二倍角”．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若∠A是∠B的“二倍角”，则∠A＝ ；
（2）若Rt△ABC的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则∠A＝ ；
（3）如图1，作Rt△ABC的外角平分线AE，过点B作AE的平行线BF．
①求证：∠BAC是∠CBF的“二倍角”；
②如图2，再作△ABC的角平分线BG，求证：∠C是∠GBF的“二倍角”．
2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列计算中，一定正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（a3）2＝a6 C．a3•a＝a3 D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、a3•a＝a4，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
2．（2分）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
【解答】解：A．1+2＝3，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．2+3＞4，4+3＞2，2+4＞3，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意；
D．2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．1+a＞1+b B．1﹣a＞1﹣b C．a﹣b＞0 D．2a＞2b
【解答】解：∵a＜b，
∴1+a＜1+b，故A选项错误；
﹣a＞﹣b，1﹣a＞1﹣b，故B选项正确；
a﹣b＜0，故C选项错误；
2a＜2b，故D选项错误．
故选：B．
4．（2分）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果a2≥0，那么a≥0
B．一个角的补角大于这个角
C．内错角相等
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【解答】解：A、如果a2≥0，那么a≠0，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、一个角的补角不一定大于这个角，例如90°的补角是90°，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题，符合题意；
故选：D．
5．（2分）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（ ）
A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75
【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣3×5＝﹣15．
故选：B．
6．（2分）如图，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度数是（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠CFE＝∠AFB，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠CFE
∴∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B
＝∠C+∠D+∠E﹣（∠A+∠B）
＝∠C+∠D+∠E﹣（180°﹣∠CFE）
＝∠C+∠D+∠E+∠CFE﹣180°
＝360°﹣180°
＝180°，
故选：A．
7．（2分）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺，
∴y＝x﹣4.5；
∵将绳对折再量木，绳缺少1尺，
∴x＝y﹣1，
∴根据题意可列方程组，即．
故选：A．
8．（2分）如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（ ）
A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC
C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360°
【解答】解：分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥CD，AB∥FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠CEG+∠DCE＝180°，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF
＝180°﹣∠BAE+180°﹣∠DCE
＝360°﹣∠BAE﹣∠DCE，
∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵，，
∴∠EAF＝3∠BAF，∠ECF＝3∠DCF，
∴∠AEC＝360°﹣4∠BAF﹣4∠DCF＝360°﹣4（∠BAF+∠DCF）＝360°﹣4∠AFC，
即∠AEC+4∠AFC＝360°．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）（﹣3x2y）2＝ 9x4y2 ．
【解答】解：（﹣3x2y）2＝9x4y2．
故答案为：9x4y2．
10．（2分）分解因式：a2+2a+1＝ （a+1）2 ．
【解答】解：a2+2a+1＝（a+1）2．
11．（2分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载的国产高精度星载原子钟，能保证“北斗”在全球范围内的授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法可表示为 2×10﹣8 ．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故答案为：2×10﹣8．
12．（2分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 假命题 （填“真命题“或“假命题”）．
【解答】解：如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是：如果|a|＝|b|，则a＝b是假命题．
故答案为：假命题．
13．（2分）已知是二元一次方程组的解，则m+n＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴m+n＝﹣2+0＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（2分）若不等式组无解，则a的取值范围是 a≤2 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜a，
∵无解，
∴a≤2，
故答案为：a≤2．
15．（2分）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ 15° ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AFM＝90°，
∴∠AMF＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠AMF＝∠CME＝60°，
∵∠E＝45°，
∴∠MCE＝180°﹣∠E﹣∠CME＝75°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠MCE＝15°，
故答案为：15°．
16．（2分）如图，AD是△ABC的中线，，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝ 30 ．
【解答】解：∵F是EC的中点，S△BEF＝10，
∴S△BEC＝2 S△BEF＝20，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，
∴S△BED＝S△DEC＝S△BEC＝10，
∵，AE+ED＝AD，
∴AE＝ED，
∴S△ABE＝S△BED＝5，
∴S△ABD＝S△ABE+S△BED＝5+10＝15，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝30．
故答案为：30．
三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17、18、19、21、24题每题8分，第20、22、23题每题6分，第25题10分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（a﹣1）2﹣（a﹣2）（a+2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣1+9
＝0；
（2）原式＝a2﹣2a+1﹣a2+4
＝﹣2a+5．
18．（8分）把下列各式分解因式：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）x4﹣81．
【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2；
（2）原式＝（x2+9）（x2﹣9）
＝（x2+9）（x﹣3）（x+3）．
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①+②×2，得：10x＝5，
解得x＝0.5，
将x＝0.5代入②得：1+y＝2，
解得y＝1，
所以方程组的解为；
（2）由2x﹣10＜0得：x＜5，
由＜x﹣1得：x＞2，
则不等式组的解集为2＜x＜5．
20．（6分）先化简，再求值：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1），其中x＝﹣2．
【解答】解：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1）
＝2x2﹣6x﹣（x2﹣x﹣2）
＝2x2﹣6x﹣x2+x+2
＝x2﹣5x+2，
当x＝﹣2时，
x2﹣5x+2
＝（﹣2）2﹣5×（﹣2）+2
＝4+10+2＝16，
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）平移△ABC，使点A移到点A′的位置，点B、C的对应点分别记作点B′、C′，请在图中画出平移后得到的△A′B′C′；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的高AD，垂足为D；
（3）请找出能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P（不与点A重合），在图中分别用P1、P2、P3 …表示出来．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图点P即为所求．
22．（6分）已知：如图，∠A＝∠C，∠BED+∠EBC＝180°．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠BED+∠EBC＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD．
23．（6分）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共190元，8副象棋和10副围棋共320元．
（1）求象棋和围棋的单价；
（2）考虑到第二年扩招，学校计划用不超过1800元的经费再次购买象棋和围棋共100副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？
【解答】解：（1）设象棋和围棋的单价分别为x元，y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：象棋和围棋的单价分别为15元、20元；
（2）设至少可以购买m副象棋，根据题意可得：
15m+20（100﹣m）≤1800，
解得：m≥40，
答：至少可以购买40副象棋．
24．（8分）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．
（1）当α＝5时．
①若x＞6，求y的取值范围；
②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；
（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．
①M＝ 2a+2x （用含x、a的代数式表示）；
②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
【解答】解：（1）①由题意，∵A、B的周长相等，a＝5，
∴4a＝2（x+y）＝20．
∴x＝10﹣y．
又∵x＞6，
∴10﹣y＞6．
∴y＜4．
又y＞0，
∴0＜y＜4．
②由题意，xy＝a2﹣10＝25﹣10＝15，
又∵x+y＝10，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣30＝70．
∴C、D的面积之和为70．
（2）①由题意，阴影部分周长M＝2a+2（a﹣y）+2y+2（x﹣a）＝2a+2a﹣2y+2y+2x﹣2a＝2a+2x．
故答案为：2a+2x．
②由①得，2x+2a＜12，
∴x+a＜6．
∴x＜6﹣a．
又不等式M＜12恰有3个正整数解，
∴x＜6﹣a恰有3个正整数解．
∴3＜6﹣a≤4．
∴2≤a＜3．
故答案为：2≤a＜3．
25．（10分）如果一个角α是另一个角β的2倍，那么称α是β的“二倍角”．例如：α＝70°，β＝35°，则α是β的“二倍角”．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若∠A是∠B的“二倍角”，则∠A＝ 60° ；
（2）若Rt△ABC的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则∠A＝ 30°或45°或60° ；
（3）如图1，作Rt△ABC的外角平分线AE，过点B作AE的平行线BF．
①求证：∠BAC是∠CBF的“二倍角”；
②如图2，再作△ABC的角平分线BG，求证：∠C是∠GBF的“二倍角”．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A是∠B的“二倍角”，
∴∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝2×30°＝60°，
故答案为：60°；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵有一个角是另一个角的“二倍角”，
∴∠C＝2∠A或∠C＝2∠B或∠A＝2∠B或∠B＝2∠A，
当∠C＝2∠A时，∠A＝45°；
当∠C＝2∠B时，∠B＝45°，此时∠A＝45°；
当∠A＝2∠B时，由（1）可知∠A＝60°；
当∠B＝2∠A时，∠A+2∠A＝90°，解得∠A＝30°；
综上，∠A的度数为30°或45°或60°；
故答案为：30°或45°或60°；
（3）①证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAE，
∵BF∥AE，
∴∠ABF＝∠BAE，
∴∠BAD＝2∠ABF，
即180°﹣∠BAC＝2（∠ABC+∠CBF），
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴180°﹣∠BAC＝2（90°﹣∠BAC+∠CBF），
∴180°﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC+2∠CBF，
∴∠BAC＝2∠CBF；
②证明：∵BG平分∠ABC，
∴，
由①知∠BAC＝2∠CBF，
即，
∴
＝
＝
＝
＝45°，
即∠GBF＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝2∠GBF，
即∠C是∠GBF的“二倍角”．
2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列计算中，一定正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（a3）2＝a6 C．a3•a＝a3 D．a8÷a2＝a4
2．（2分）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
3．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．1+a＞1+b B．1﹣a＞1﹣b C．a﹣b＞0 D．2a＞2b
4．（2分）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果a2≥0，那么a≥0
B．一个角的补角大于这个角
C．内错角相等
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
5．（2分）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（ ）
A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75
6．（2分）如图，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度数是（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
7．（2分）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（ ）
A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC
C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360°
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）（﹣3x2y）2＝ ．
10．（2分）分解因式：a2+2a+1＝ ．
11．（2分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载的国产高精度星载原子钟，能保证“北斗”在全球范围内的授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法可表示为 ．
12．（2分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 （填“真命题“或“假命题”）．
13．（2分）已知是二元一次方程组的解，则m+n＝ ．
14．（2分）若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．（2分）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ ．
16．（2分）如图，AD是△ABC的中线，，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17、18、19、21、24题每题8分，第20、22、23题每题6分，第25题10分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（a﹣1）2﹣（a﹣2）（a+2）．
18．（8分）把下列各式分解因式：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）x4﹣81．
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简，再求值：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1），其中x＝﹣2．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）平移△ABC，使点A移到点A′的位置，点B、C的对应点分别记作点B′、C′，请在图中画出平移后得到的△A′B′C′；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的高AD，垂足为D；
（3）请找出能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P（不与点A重合），在图中分别用P1、P2、P3 …表示出来．
22．（6分）已知：如图，∠A＝∠C，∠BED+∠EBC＝180°．
求证：AB∥CD．
23．（6分）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共190元，8副象棋和10副围棋共320元．
（1）求象棋和围棋的单价；
（2）考虑到第二年扩招，学校计划用不超过1800元的经费再次购买象棋和围棋共100副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？
24．（8分）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．
（1）当α＝5时．
①若x＞6，求y的取值范围；
②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；
（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．
①M＝ （用含x、a的代数式表示）；
②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 ．
25．（10分）如果一个角α是另一个角β的2倍，那么称α是β的“二倍角”．例如：α＝70°，β＝35°，则α是β的“二倍角”．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若∠A是∠B的“二倍角”，则∠A＝ ；
（2）若Rt△ABC的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则∠A＝ ；
（3）如图1，作Rt△ABC的外角平分线AE，过点B作AE的平行线BF．
①求证：∠BAC是∠CBF的“二倍角”；
②如图2，再作△ABC的角平分线BG，求证：∠C是∠GBF的“二倍角”．
2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列计算中，一定正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（a3）2＝a6 C．a3•a＝a3 D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、a3•a＝a4，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
2．（2分）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
【解答】解：A．1+2＝3，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．2+3＞4，4+3＞2，2+4＞3，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意；
D．2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2分）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．1+a＞1+b B．1﹣a＞1﹣b C．a﹣b＞0 D．2a＞2b
【解答】解：∵a＜b，
∴1+a＜1+b，故A选项错误；
﹣a＞﹣b，1﹣a＞1﹣b，故B选项正确；
a﹣b＜0，故C选项错误；
2a＜2b，故D选项错误．
故选：B．
4．（2分）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果a2≥0，那么a≥0
B．一个角的补角大于这个角
C．内错角相等
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【解答】解：A、如果a2≥0，那么a≠0，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、一个角的补角不一定大于这个角，例如90°的补角是90°，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题，符合题意；
故选：D．
5．（2分）若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（ ）
A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75
【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣3×5＝﹣15．
故选：B．
6．（2分）如图，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度数是（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠CFE＝∠AFB，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠CFE
∴∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B
＝∠C+∠D+∠E﹣（∠A+∠B）
＝∠C+∠D+∠E﹣（180°﹣∠CFE）
＝∠C+∠D+∠E+∠CFE﹣180°
＝360°﹣180°
＝180°，
故选：A．
7．（2分）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺，
∴y＝x﹣4.5；
∵将绳对折再量木，绳缺少1尺，
∴x＝y﹣1，
∴根据题意可列方程组，即．
故选：A．
8．（2分）如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（ ）
A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC
C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360°
【解答】解：分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥CD，AB∥FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠CEG+∠DCE＝180°，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF
＝180°﹣∠BAE+180°﹣∠DCE
＝360°﹣∠BAE﹣∠DCE，
∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵，，
∴∠EAF＝3∠BAF，∠ECF＝3∠DCF，
∴∠AEC＝360°﹣4∠BAF﹣4∠DCF＝360°﹣4（∠BAF+∠DCF）＝360°﹣4∠AFC，
即∠AEC+4∠AFC＝360°．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）（﹣3x2y）2＝ 9x4y2 ．
【解答】解：（﹣3x2y）2＝9x4y2．
故答案为：9x4y2．
10．（2分）分解因式：a2+2a+1＝ （a+1）2 ．
【解答】解：a2+2a+1＝（a+1）2．
11．（2分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载的国产高精度星载原子钟，能保证“北斗”在全球范围内的授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法可表示为 2×10﹣8 ．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故答案为：2×10﹣8．
12．（2分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 假命题 （填“真命题“或“假命题”）．
【解答】解：如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是：如果|a|＝|b|，则a＝b是假命题．
故答案为：假命题．
13．（2分）已知是二元一次方程组的解，则m+n＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴m+n＝﹣2+0＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（2分）若不等式组无解，则a的取值范围是 a≤2 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜a，
∵无解，
∴a≤2，
故答案为：a≤2．
15．（2分）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ 15° ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AFM＝90°，
∴∠AMF＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠AMF＝∠CME＝60°，
∵∠E＝45°，
∴∠MCE＝180°﹣∠E﹣∠CME＝75°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠MCE＝15°，
故答案为：15°．
16．（2分）如图，AD是△ABC的中线，，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝ 30 ．
【解答】解：∵F是EC的中点，S△BEF＝10，
∴S△BEC＝2 S△BEF＝20，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，
∴S△BED＝S△DEC＝S△BEC＝10，
∵，AE+ED＝AD，
∴AE＝ED，
∴S△ABE＝S△BED＝5，
∴S△ABD＝S△ABE+S△BED＝5+10＝15，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝30．
故答案为：30．
三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17、18、19、21、24题每题8分，第20、22、23题每题6分，第25题10分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（a﹣1）2﹣（a﹣2）（a+2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣1+9
＝0；
（2）原式＝a2﹣2a+1﹣a2+4
＝﹣2a+5．
18．（8分）把下列各式分解因式：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）x4﹣81．
【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2；
（2）原式＝（x2+9）（x2﹣9）
＝（x2+9）（x﹣3）（x+3）．
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①+②×2，得：10x＝5，
解得x＝0.5，
将x＝0.5代入②得：1+y＝2，
解得y＝1，
所以方程组的解为；
（2）由2x﹣10＜0得：x＜5，
由＜x﹣1得：x＞2，
则不等式组的解集为2＜x＜5．
20．（6分）先化简，再求值：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1），其中x＝﹣2．
【解答】解：2x（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+1）
＝2x2﹣6x﹣（x2﹣x﹣2）
＝2x2﹣6x﹣x2+x+2
＝x2﹣5x+2，
当x＝﹣2时，
x2﹣5x+2
＝（﹣2）2﹣5×（﹣2）+2
＝4+10+2＝16，
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）平移△ABC，使点A移到点A′的位置，点B、C的对应点分别记作点B′、C′，请在图中画出平移后得到的△A′B′C′；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的高AD，垂足为D；
（3）请找出能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P（不与点A重合），在图中分别用P1、P2、P3 …表示出来．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图点P即为所求．
22．（6分）已知：如图，∠A＝∠C，∠BED+∠EBC＝180°．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠BED+∠EBC＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD．
23．（6分）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共190元，8副象棋和10副围棋共320元．
（1）求象棋和围棋的单价；
（2）考虑到第二年扩招，学校计划用不超过1800元的经费再次购买象棋和围棋共100副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？
【解答】解：（1）设象棋和围棋的单价分别为x元，y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：象棋和围棋的单价分别为15元、20元；
（2）设至少可以购买m副象棋，根据题意可得：
15m+20（100﹣m）≤1800，
解得：m≥40，
答：至少可以购买40副象棋．
24．（8分）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．
（1）当α＝5时．
①若x＞6，求y的取值范围；
②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；
（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．
①M＝ 2a+2x （用含x、a的代数式表示）；
②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
【解答】解：（1）①由题意，∵A、B的周长相等，a＝5，
∴4a＝2（x+y）＝20．
∴x＝10﹣y．
又∵x＞6，
∴10﹣y＞6．
∴y＜4．
又y＞0，
∴0＜y＜4．
②由题意，xy＝a2﹣10＝25﹣10＝15，
又∵x+y＝10，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣30＝70．
∴C、D的面积之和为70．
（2）①由题意，阴影部分周长M＝2a+2（a﹣y）+2y+2（x﹣a）＝2a+2a﹣2y+2y+2x﹣2a＝2a+2x．
故答案为：2a+2x．
②由①得，2x+2a＜12，
∴x+a＜6．
∴x＜6﹣a．
又不等式M＜12恰有3个正整数解，
∴x＜6﹣a恰有3个正整数解．
∴3＜6﹣a≤4．
∴2≤a＜3．
故答案为：2≤a＜3．
25．（10分）如果一个角α是另一个角β的2倍，那么称α是β的“二倍角”．例如：α＝70°，β＝35°，则α是β的“二倍角”．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若∠A是∠B的“二倍角”，则∠A＝ 60° ；
（2）若Rt△ABC的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则∠A＝ 30°或45°或60° ；
（3）如图1，作Rt△ABC的外角平分线AE，过点B作AE的平行线BF．
①求证：∠BAC是∠CBF的“二倍角”；
②如图2，再作△ABC的角平分线BG，求证：∠C是∠GBF的“二倍角”．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A是∠B的“二倍角”，
∴∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝2×30°＝60°，
故答案为：60°；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵有一个角是另一个角的“二倍角”，
∴∠C＝2∠A或∠C＝2∠B或∠A＝2∠B或∠B＝2∠A，
当∠C＝2∠A时，∠A＝45°；
当∠C＝2∠B时，∠B＝45°，此时∠A＝45°；
当∠A＝2∠B时，由（1）可知∠A＝60°；
当∠B＝2∠A时，∠A+2∠A＝90°，解得∠A＝30°；
综上，∠A的度数为30°或45°或60°；
故答案为：30°或45°或60°；
（3）①证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAE，
∵BF∥AE，
∴∠ABF＝∠BAE，
∴∠BAD＝2∠ABF，
即180°﹣∠BAC＝2（∠ABC+∠CBF），
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴180°﹣∠BAC＝2（90°﹣∠BAC+∠CBF），
∴180°﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC+2∠CBF，
∴∠BAC＝2∠CBF；
②证明：∵BG平分∠ABC，
∴，
由①知∠BAC＝2∠CBF，
即，
∴
＝
＝
＝
＝45°，
即∠GBF＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝2∠GBF，
即∠C是∠GBF的“二倍角”．
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