初中北师大版5 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题

这是一份初中北师大版5 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．已知x1,x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，则x1+x2的值为（    ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
2．若x1，x2是方程x2+x−2＝0的两实数根，则x12−x2+2的值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知a，b是一元二次方程3x2+2x−2=0的两根，则2aa2−b2−1a−b的值是（    ）
A．−32 B．−23 C．23 D．32
4．若x=3是关于x的一元二次方程x2−mx+3=0的一个根，则该方程的另一个根是（   ）
A．x=−1 B．x=4 C．x=1 D．x=2
5．已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6=0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为(   )
A．2.5或5 B．2.5或−5 C．2.5 D．5
6．若关于x的方程2x2−k−1x+k+1=0的两个实数根满足关系式x1−x2=1，则k的值为(    )
A．11 B．−1 C．11或−1 D．11或−1或1
7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，n2+n=4，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
8．已知m，n是一元二次方程x2+3x+1=0的两根，则mn+nm的值是（   ）
A．13 B．3 C．−3 D．32
二、填空题
9．已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=___________．
10．若x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则x22−x1+2023的值为 _________．
11．已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为_______．
12．已知x1,x2是方程2x2+kx−2=0的两个实数根，且x1−2x2−2=10，则k的值为___________．
13．若矩形的长和宽是方程x2−7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为______．

14．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−8x+n=0的两个根，则n的值为______．
15．已知a，b满足a2−3a+1=0，b2−3b+1=0，且a≠b，则ab+ba的值为___．
16．已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为x1,x2，则x12−2023x2的值为_____．
三、解答题
17．若α，β是方程3x2+2x−9=0的两实数根，求下列各式的值．
(1)1α+1β；
(2)α−β2；
(3)3α2−2β．
18．已知一元二次方程x2+kx−1=0．
(1)判断方程根的情况．
(2)若k=2022，此时方程的根分别x1，x2，求x1x2−x1−x2的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22=5，求m的值．
20．一元二次方程mx2−2mx+m−2=0．
(1)若方程有两实数根，求m的范围．
(2)设方程两实根为x1，x2，且|x1−x2|=1，求m．
21．已知关于x的一元二次方程x2−mx+m+3=0的两个根为a，b．
(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；
(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．
22．已知关于x的方程x2−(2m+1)x+4m−2=0；
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)当等腰△ABC的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长以及m的值．




参考答案
1．解：∵x1,x2是一元二次方程x2=2x+1即x2−2x−1=0的两个根，
∴x1+x2=2，
故选：B．
2．解:∵x1是方程x2+x﹣2＝0的根，
∴x12+x1−2=0，
∴x12=−x1+2，
∴x12−x2+2=−x1+2−x2+2=−(x1+x2)+4，
∵x1，x2是方程x2+x−2＝0的两实数根，
∴x1+x2=−1，
∴x12−x2+2=1+4=5．
故选：A．
3．解：2aa2−b2−1a−b
=2aa+ba−b−a+ba+ba−b
=a−ba+ba−b
=1a+b，
∵a，b是一元二次方程3x2+2x−2=0的两根，
∴a+b=−23，
∴原式=1−23=−32．
故选：A．
4．解：x=3是关于x的一元二次方程x2−mx+3=0的一个根，设该方程的另一个根是x1，
则3x1=3，解得x1=1，
故选：C．
5．解：设方程的一根为m，则另一根为4m，
∴m+4m=−10，
解得：m=−2，
又∵m×4m=2a+6，
∴−2×4×−2=2a+6，
解得：a=5，
故选：D．
6．解：∵关于x的方程2x2−k−1x+k+1=0的两个实数根
∴x1+x2=k−12,x1x2=k+12，
∵x1−x2=1
∴x1+x22−4x1x2=1
∴k−122−4×k+12=1，整理得：k2−10k−11=0，解得k1=11，k2=−1，
当k=11时，方程变形为2x2−10x+12=0，即x2−5x+6=0，Δ=25−4×6>0，方程有两个不相等的实数解；
当k=−1时，方程变形为2x2+2x=0，即x2+x=0，Δ=1>0，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为11或−1．
故选：C．
7．解：∵m2+m=4，n2+n=4，
∴m，n可以看作一元二次方程x2+x−4=0的两根，
∴m+n=−1，mn=−4，
∵n2=4−n，
∴3n2−mn−3m=34−n−mn−3m
=12−3n−mn−3m
=12−3m+n−mn
=12−3×−1+4
=19，
故选：A．
8．解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+1=0的两根，
∴m+n=−3,mn=1
∴m0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=m−2m，
∵|x1−x2|=1，
∴x1−x22=1，
∴x1+x22−4x1x2=1，
∴22−4×m−2m=1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．
21．（1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：ab=m+3，
∵a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，
∴12ab=5，
∴12m+3=5，
解得：m=7；
（2）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长，
∴a=b，即一元二次方程x2−mx+m+3=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
∴Δ=b2−4ac=m2−4m+3=0，
即m2−4m−12=0，
解方程得：m1=6，m2=−2（不合题意，舍去）
∴m的值为6．
22．（1）证明：∵在方程x2−(2m+1)x+4m−2=0中，
△=[−(2m+1)]2−4×1×(4m−2)=4m2−12m+9=(2m−3)2≥0，
∴无论m取何值时，这个方程总有实数根；
（2）当a为底边时，b=c，
∴△=(2m−3)2=0，
解得：m=32，
∴b+c=2m+1=4=a，
此种情况不合适，
当a为腰时，将x=4代入原方程得：
16−4(2m+1)+4m−2=0，
解得：m=52，
∴b+c=2m+1=6，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．