湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年上学期期末考试试卷
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：是由集合A,B的相同的元素构成的，由已知条件可得
考点：集合的交集运算
2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算法则计算出，得到实部和虚部，得到答案.
【详解】由题意得，，
所以实部为，虚部为，实部与虚部之和为．
故选：C
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】设向量与的夹角为，
则，
则在上的投影向量为．
故选：B．
4. 若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围.
【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式可化为恒成立，
当时，
，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：B
5. 今天是星期四，经过天后是星期（ ）
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项展开式求一个数除以7的余数，从而求得结果．
【详解】因为
因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，
所以最后除以7的余数取决于最后一项即除以7的余数，为6，
所以应该是星期三，
故选：B.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 88 B. 104 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求、的二项式展开式通项、，可得原式的通项，结合指定项的指数值求m、n，进而求该项的系数.
【详解】由题设，的通项为，的通项为；
∴原多项式的展开式通项可写为，
∴，可得或或，
∴的系数为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求该项的系数.
7. 设随机变量，若，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知，利用，可得，即得.
【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.
故选：
【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.
8. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.
【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为R的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题中时偶函数的性质及是奇函数的性质，可先判断出周期，再结合列举出一个具体的实例，即可得出答案的结果.
【详解】由函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，可以选择
，
则，故A正确，
，故B错误，
，故C正确，
，故D正确，
故选：ACD.
10. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围.
【详解】



，
当且仅当即时取等号，
所以.
故选：CD.
11. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】将不等式变形后得到，构造函数，根据函数的单调性得到，从而AD可举出反例，C可根据函数单调性得到.
【详解】由变形得到，
令，显然在R上为增函数，
所以，显然B正确；
A选项，若或时，A不满足要求，舍去；
C选项，，故，C正确；
D选项，不妨设，则，即，D错误.
故选：BC
12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．
【详解】记事件：车床加工零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，
，，，
对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；
对于选项，任取一个零件是次品的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
，故正确；
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据组合数的定义及性质即可求解.
【详解】解：由题意，，解得，
又，所以，
所以，
故答案为：.
14. 已知，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】.
故答案为：.
15. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 __．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据古典概型求解即可．
【详解】从10人中任选3人的事件个数为，
恰有1名男生2名女生的事件个数为，
则恰有1名男生2名女生概率为，
故答案为：
16. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.
【答案】
【解析】
【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.
【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.
如图所示，在正四棱锥中，，，
为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，
为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，
设球的半径为，表面积为，
则在正方形中，，
在中，，
则，
在中，，，，
因为，所以，
化简得，则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的值．
（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（I）由三角形内角和为去掉,二倍角公式化简可得,从而求出；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求.
【详解】解：（I）由，得，即，
∵，∴，
又，∴，故．
（Ⅱ）由面积，得，
又，
∴，，
由余弦定理，
∴．
18. 从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【答案】（1）4200
（2）5520 （3）240
（4）4440
【解析】
【分析】（1）先选后排，然后根据分步乘法原理计算即可；
（2）正难则反，从反面出发，用全部的排法减去A，B，C三人全在内的排法即可；
（3）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，分步计算即可；
（4）对所选的5人有无A，B进行分类讨论即可.
【小问1详解】
由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法；
【小问2详解】
从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；
【小问3详解】
因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；
【小问4详解】
分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有4440种不同排法.
19. 如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：取的中点,连接，
在正三棱柱中，不妨设;
以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则,，
；
设平面的一个法向量为，则, ，
取，则，即；
设平面的一个法向量为，则,
即，取得.
因为，所以平面平面；
【小问2详解】
因，由（1）可得，即，
易知平面的一个法向量为,
；
二面角的余弦值为.
20. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；
（2）时，不等式可化为，讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
函数，
由不等式的解集为，得，
且1和2是方程的两根；
则，解得，
【小问2详解】
时，不等式为，
可化为，则
当时，不等式为，解得
当时，不等式化为，令，得，
当时，，解不等式得或；
当时，不等式为，解得；
当时，，解不等式得或；
当时，不等式化为，且，
解不等式得
综上知：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21. 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：




















（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，

所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
22. 某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：

理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100

（1）根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.
（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：

0.050
0.010
0.001

3.841
6635
10.828
，其中.
【答案】（1）认为理工迷与性别无关
（2）
（3）分布列见解析，数学期望为2
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据条件概率公式计算可得；
（3）首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望.
【小问1详解】
提出假设：“理工迷”与性别无关.
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.
【小问2详解】
因为，
所以估计的值为.
【小问3详解】
按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量的所有可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：

1
2
3




则.