湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
雅礼中学2023年上学期期末考试试卷
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在梯形中，，，，若，则（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
7．雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，记函数构成的集合
．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ）

6
8
10
12

6

3
2
A．变量，之间成负相关关系
B．
C．可以预测，当时，约为2.6
D．由表格数据知，该经验回归直线必过点
10．已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得
C． D．
11．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，独立，则 D．若，互斥，则
12．矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，正确的命题是（ ）
A．是定值
B．点在圆上运动
C．一定存在某个位置，使
D．一定存在某个位置，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________．
15．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为__________．
16．已知，满足，，当时，．已知，则函数，的零点个数为__________，这些零点的和为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列中，，且前10项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为，，，，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．

（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在内的小球个数为，求的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）
20．（本小题满分12分）
（1）已知，，分别为三个内角，，的对边．请用向量方法证明等式；
（2）若三个正数，，满足，证明：以，，为长度的三边可以构成三角形．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（1）求点到抛物线焦点的距离；
（2）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）证明；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．





雅礼中学2023年上学期高二年级期末考试暨高三摸底考试
数学参考答案
一、二、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
B
B
D
B
D
ACD
CD
BCD
ABD
2．B【解析】由题意，化简得，则，所以复数的虚部为．
3．C【解析】当时，，故A错误；
，当且仅当，即时取等号，
又，故B错误；
，当且仅当，即时取等号，故C正确；
当时，，，当且仅当，即时取等号，
因为，故D错误．
4．B【解析】．
5．B【解析】该长方体对角线长为，外接球的半径为，
，．
6．D【解析】法一：因为，所以，
所以．因为，，，所以，
化简得．故．
法二：利用投影可以迅速求解
法三：坐标法
8．D【解析】因为，，设，
则，，
即有，
所以，其他的选项都不对．
9．ACD【解析】由得，所以，成负相关关系，故A正确；
当时，的预测值为2.6，故C正确；
，故．故经验回归直线过，故D正确；
因为，所以，，故B错误．
10．CD【解析】画出函数的图象，如图所示．
由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．

11．BCD【解析】选项A中：，故选项A错误，选项B正确；
选项C中：，独立，则，则，故选项C正确；
选项D中：，互斥，则，根据条件概率公式，故选项D正确，故选BCD．
12．ABD【解析】取中点，连接，，则，，
平面平面，平面，平面，D正确；
，定值，定值，
根据余弦定理得，，所以是定值．A正确；
点以为轴旋转，B正确；
当矩形满足时存在，其他情况不存在，C不正确．所以ABD正确．
三、填空题
13．
14．【解析】，，即，，
双曲线方程为，渐近线方程为．
15．10【解析】法一：的可能取值为0，1，2，
则，，
，所以的分布列为

0
1
2




，
，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为10．
法二：的可能取值为0，1，2，则，
由对称性可知，由数学直观想象可知当取到最大值时，最大，
所以的值为10．
16．13 26（第一空2分，第二空3分）【解析】函数和的周期为4，都关于点中心对称，
分别画出和的图象，可得答案．
四、解答题
17．【解析】（1）由已知得解得
所以数列的通项公式为．
（2），
所以．
18．【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则．
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，由得
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为．

19．【解析】（1）由题意，得，解得．
由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，
50个样本中小球质量的平均数为（克）．
故由样本估计总体，可估计盅子中小球质量的平均数为24.6克．
（2）由题意知，该盒子中小球质量在内的概率为，则．
的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
的分布列为

0
1
2
3





（或者）．
20．【解析】（1）因为，则，
即．
（2）因为，
所以，即，
则即
所以，，为长度的三边可以构成三角形．
21．【解析】（1）抛物线方程为，点到抛物线焦点的距离为．
（2）法一：如图，设，．
把代入得，，
由根与系数的关系得，．
，点的坐标为．
假设存在实数，使，则．
又是的中点，．
由（1）知．
轴，，
又．
，
解得，即存在，使．

法二：假设存在实数，使，
如图，设，．把代入得，，
由根与系数的关系得，．
，点的坐标为．
，
代入，得，，
解得，即存在，使．

22．【解析】（1），
由可得；由可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即．
（2）法一：由得，
因为为增函数，则，则．
令，，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，
所以实数的取值范围为．
法二：当时，，因为为减函数，且，所以，
当时，，
下证．
今，求导可证在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又时，，时，，所以．
令，求导可证在区间上单调遂增，在区间上单调递减，
所以．综上，成立．
所以实数的取值范围为．