适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量解答题专项四第2课时求空间角北师大版

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解答题专项四　立体几何中的综合问题
第2课时　求空间角
解答题专项练
1.(2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中

,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE.

∵CD=1,BE=AB=1,CD∥BE,
∴四边形CDEB是平行四边形,∴DE=CB=1.
∵DE=AB,
∴△ABD为直角三角形,AB为斜边,
∴BD⊥AD.
∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D,
∴BD⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA.
(2)解:由(1)知,PD,AD,BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=.
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),
∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0).
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=,则y=z=1,则n=(,1,1).
设直线PD与平面PAB所成的角为θ,
则sinθ=|cos|=,
∴直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
2.(2022·广东茂名二模)

如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.
(1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,
因为EG∥AD,EG⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EG∥平面ABCD,
因为AG∥CF,AG=CF,所以四边形AGFC是平行四边形,
FG∥AC,又FG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以FG∥平面ABCD,
因为FG∩EG=G,
所以平面EFG∥平面ABCD,
因为EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
(2)解:设CD=BC=AA1=AB=2,
由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°,
易知AC⊥BC,所以AC==2,

由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(,-1,0),E,-,2,
所以=-,2,=(0,-2,4),
设平面C1EB的一个法向量为n=(x,y,z),
由取z=1,得n=,2,1,
连接BD,因为BD⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1D,
所以平面AA1D的一个法向量为=(-,3,0),
所以cos=,
所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为.
3.(2022·山东泰安二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PD=AD,PD⊥平面ABCD,M为BC中点,=λ(0