适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练38空间向量及其运算北师大版

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课时规范练38
基础巩固组
1.(2023·浙江宁波高三检测)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　)
A.1 B. C. D.
答案:D
解析:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,-2)=(k-1,k,-2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2),因为ka+b与2a-b互相垂直,所以(k-1,k,-2)·(3,2,2)=0,所以5k-7=0,所以k=.
2.已知{a,b,c}是空间的一个组基,则下列向量中能与a+b,a-b构成一个组基的是(　　)
A.a B.b C.c D.a+2b
答案:C
解析:因为a=(a+b)+(a-b),b=(a+b)-(a-b),a+2b=(a+b)-(a-b),所以a,b,a+2b均与a+b,a-b共面,不能构成一个组基,,故A,B,D错误;由题意可知c与a,b不共面,则c与a+b,a-b不共面,故c与a+b,a-b能构成一个组基,,故C正确.
3.设A,B,C,D为空间中的四个点,则“”是“A,B,C,D四点共面”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由,所以直线BD,AC重合或互相平行,因此A,B,C,D四点共面;当四边形ABCD是平行四边形时,A,B,C,D四点共面,显然不成立.
4.如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则的值为 (　　)

A.1 B.
C. D.
答案:D
解析:由题意得)=,故·=|2=.
5.已知向量a=(3,-1,2),b=(-1,3,-2),c=(6,2,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ=(　　)
A. B.2 C. D.3
答案:B
解析:∵a,b,c三向量共面,a,b不共线,∴存在实数m,n,使c=ma+nb,即(6,2,λ)=(3m,-m,2m)+(-n,3n,-2n),∴解得
6.(多选)已知a=(1,0,1),b=(-1,2,-3),c=(2,-4,6),则下列结论正确的是(　　)
A.a⊥b
B.b∥c
C.为钝角
D.c在a方向上的投影向量为(4,0,4)
答案:BD
解析:因为1×(-1)+0×2+1×(-3)=-4≠0,所以a,b不垂直,故A错误;因为c=-2b,所以b∥c,故B正确;因为a·c=1×2+0×(-4)+1×6=8,所以cos>0,所以不是钝角,故C错误;c在a方向上的投影向量为|c|cos·a=(1,0,1)=(4,0,4),故D正确.故选BD.
7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为　　　　　. 
答案:
解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2.因为|a|=1,|b|=2,|c|=,所以7=1+2×1×2cos+4,所以cos=.因为∈[0,π],所以=.
综合提升组
8.(2023·四川绵阳诊断)如图,在空间四边形OABC中,OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=,点M,N分别在OA,BC上,且OM=2MA,BN=CN,则MN=(　　)

A. B.
C. D.
答案:A
解析:∵OM=2MA,BN=CN,∴)-=-.又OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=,∴=0,=0,=||·||cos=2.∴=-2=|2+|2+|2-×22+×22+×22-×2=,∴||=.
9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,M为A1C1与B1D1的交点,设=a,=b,=c.

(1)用a,b,c表示并求BM的长;
(2)求点A到直线BM的距离.
解:(1))-=-=-a+b+c.
又|a|=|b|=2,|c|=1,===60°,
∴||2=-a+b+c2=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=×4+×4+1-×2×2×cos60°-2×1×cos60°+2×1×cos60°=2,
故BM的长为.
(2)由(1)知=-a+b+c,=a,
∴=a·-a+b+c=-a2+a·b+a·c=-2+1+1=0,∴AB⊥BM,则AB的长为点A到直线BM的距离.又AB=2,∴点A到直线BM的距离为2.
创新应用组
10.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()=　　　　　. 
答案:
解析:如图所示,连接AG并延长与BC相交于点D.∵G是△ABC的重心,

∴)=-2).又-2)=),则·()=)·()=)2=(||2+||2+||2+2+2+2)=(1+4+9)=.