适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练41圆的方程北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练41圆的方程北师大版，共4页。试卷主要包含了已知圆C，若圆C，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。

课时规范练41
基础巩固组
1.以点(1,-1)为圆心,且与直线x-y+2=0相切的圆的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=8
D.(x-1)2+(y+1)2=8
答案:D
解析:因为直线与圆相切,所以圆的半径等于点(1,-1)到直线x-y+2=0的距离,即半径r==2,则所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=8.
2.(2023·广东茂名高三检测)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,M是圆上的动点,AM与圆相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是(　　)
A.y2=4x
B.x2+y2-2x-2y-3=0
C.x2+y2-2y-3=0
D.y2=-4x
答案:B
解析:因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心C(1,1),半径r=1.因为M是圆上的动点,所以|MC|=1.又AM与圆相切,且|AM|=2,所以|AC|=.设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y-3=0,所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.
3.(2022·河北唐山二模)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C的半径为　　　　　. 
答案:
解析:圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心为-,-1,则有--2×(-1)+1=0,则D=6,则C的半径为.
4.(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　. 
答案:(x-1)2+(y+1)2=5
解析:(方法1)设A(3,0),B(0,1),则线段AB的垂直平分线方程为y-=3,即y=3x-4.
由解得
即圆心M的坐标为(1,-1).
设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.
故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,
则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.
则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
5.有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离,A地的运费是B地运费的2倍.已知A,B两地相距6千米,顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.
(1)求A,B两地的售货区域的分界线的方程;
(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图,并指出在方程表示的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解:(1)以线段AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则点A(3,0),B(-3,0),设B地每单位距离的运费为a元,售货区域内一点为P(x,y).
若在两地的购货费用相同,则2a=a,化简可得(x-5)2+y2=16,故A,B两地的售货区域的分界线的方程为(x-5)2+y2=16.

(2)由(1)可知,A,B两地的售货区域的分界线是以(5,0)为圆心,以4为半径的圆,如图所示,所以,在圆(x-5)2+y2=16上的居民从A,B两地购货的总费用相同,选择A或B地购货都可以.

由2a>a,可得(x-5)2+y2>16,所以,在圆(x-5)2+y2=16外的居民从B地购货便宜.
由2a 综合提升组
6.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是(　　)
A.的最大值为
B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+1
D.x+y的最大值为3+
答案:ABD
解析:由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,作其图象如图所示.

表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则=1,解得k=0或k=,则∈0,,max=,min=0,故A,B正确;
x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=,所以x2+y2的最大值为6+2,故C错误;
因为x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,故可设x=2+cosθ,y=1+sinθ,θ为参数,所以x+y=2+cosθ+1+sinθ=3+sinθ+,所以x+y的最大值为3+,故D正确.故选ABD.
7.(2022·山东济宁二模)已知直线l1:kx+y=0过定点A,直线l2:x-ky+2+2k=0过定点B,l1与l2的交点为C,则|AC|+|BC|的最大值为　　　　　. 
答案:2
解析:l1:kx+y=0,则l1过定点A(0,0),l2:x+2+k(2-y)=0,
则l2过定点B(-2,2).
显然k×1+1×(-k)=0,即l1,l2相互垂直,而l1与l2的交点为C,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆,且圆心为(-,1),半径为.
令|AC|=x,则|BC|=,且0≤x≤2,所以(|AC|+|BC|)2=12+2x≤12+(x2+12-x2)=24,当且仅当x=,即x=时,等号成立.
所以|AC|+|BC|的最大值为2.
创新应用组
8.(2023·河北衡水中学模拟)几何学家帕普斯在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直.若动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,则动点M在直线l2,l3之间的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案:A
解析:因为l2,l3均与l1垂直,所以l2,l3平行.
又因为动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,记l1为y=0,直线l2为x=0,l3为x=a,a∈R.
设M(x,y),且动点M在直线l2,l3之间,所以M到l1的距离为|y|,M到l2的距离为|x|,M到l3的距离为|a-x|,
所以y2=|a-x|·|x|.
若a>0,则y2=(a-x)x;
若a<0,则y2=(x-a)·(-x),即y2=(a-x)x.
综上,y2=(a-x)x,即x-2+y2=,故动点M在直线l2,l3之间的轨迹为圆.