适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练42直线与圆圆与圆的位置关系北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练42直线与圆圆与圆的位置关系北师大版，共5页。试卷主要包含了已知圆C，已知圆O，已知点P在圆O等内容，欢迎下载使用。

课时规范练42
基础巩固组
1.(2023·江西上饶六校联考)若经过点P(-1,-2)的直线与圆x2+y2=5相切,则该直线在y轴上的截距为(　　)
A. B.5 C.- D.-5
答案:C
解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P在圆上.
设圆心为O,则kOP==2,则过点P的切线的斜率k=-,
∴切线方程为y+2=-(x+1),令x=0,得y=-.
2.点G在圆(x+2)2+y2=2上运动,直线x-y-3=0分别与x轴、y轴交于M,N两点,则△MNG面积的最大值是(　　)
A.10 B. C. D.
答案:D
解析:易知点M(3,0),N(0,-3),则|MN|==3.圆(x+2)2+y2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为,圆心到直线x-y-3=0的距离为,所以,点G到直线x-y-3=0的距离的最大值为,所以,△MNG面积的最大值是×3.
3.(多选)已知直线l:x+y-=0与圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,则(　　)
A.直线l与圆C相离
B.直线l与圆C相交
C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
答案:BD
解析:由圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l:x+y-=0的距离d==1,故B,D正确,A,C错误.故选BD.
4.(2023·河北石家庄模拟)已知圆C:x2+y2+2ay=0(a>0)截直线x-y=0所得的弦长为2,则圆C与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是 (　　)
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
答案:C
解析:圆C的圆心为(0,-a),半径为a,其圆心到直线x-y=0的距离为,则2a=2,解得a=2.所以C:x2+(y+2)2=4,C的圆心为(0,-2),半径为2.
又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.
5.已知圆O:x2+y2=1,点A(0,-2),B(a,2),从点A观察点B,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.-∞,-∪,+∞
C.-∞,∪,+∞
D.-
答案:B
解析:易知点B(a,2)在直线y=2上.

过点A(0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d==1,得k=±,则切线方程为y=±x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-,2,,2.
故从点A观察点B,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是-∞,-∪,+∞.
6.(2022·山东聊城二模)已知点P在圆O:x2+y2=4上,点A(-3,0),B(0,4),满足AP⊥BP的点P的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
答案:B
解析:设点P(x,y),
则x2+y2=4,
且=(x+3,y),=(x,y-4).
由AP⊥BP,得=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,即x+2+(y-2)2=,故点P的轨迹为一个圆心为-,2,半径为的圆.
则两圆的圆心距为,半径和为+2=,半径差为-2=,有,所以两圆相交,满足AP⊥BP的点P有2个.
7.(2023·山东胜利一中模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0,过点M(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为　　　　　. 
答案:2
解析:圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2,|CM|=,与CM垂直的弦的弦长为l=2=2=2,即为所求弦长的最小值.
8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为　　　　　　　　　　. 
答案:6x+5y-25=0
解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+2=,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.
综合提升组
9.(2023·浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100 km,则城市A受台风影响的时间为(　　)
A.5 h B.5 h C. h D.4 h
答案:B
解析:如图,AP=300km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=APsin30°=300×=150(km).

又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100km,则台风中心在以城市A为圆心,半径为100km的圆内时,城市A受台风影响.
以城市A为圆心,半径为100km的圆截直线PB所得弦长为2=100(km),则城市A受台风影响的时间为=5(h).
10.(2023·河南安阳模拟)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4,M为直线l:x-y+8=0上一个动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形CAMB周长取最小值时,四边形CAMB的外接圆的方程为(　　)
A.(x-7)2+(y-1)2=4
B.(x-1)2+(y-7)2=4
C.(x-7)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y-7)2=2
答案:D
解析:圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C(2,6),半径r=2,
点C到直线l的距离d==2.
依题意,CA⊥AM,四边形CAMB的周长为2|CA|+2|AM|=4+2≥4+2=4+2=8,当且仅当CM⊥l时,等号成立,此时直线CM:x+y-8=0.
由得点M(0,8).
四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM的中点(1,7),半径为,方程为(x-1)2+(y-7)2=2.
11.(2022·山东烟台三模)已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P的轨迹为C,直线y=kx+1交C于M,N两点,Q(1,4).若△QMN的面积为2,则实数k的值为　　　　　. 
答案:-7或1
解析:设P(x,y),则有=2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P的轨迹C为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆.
点Q(1,4)到直线y=kx+1的距离为,直线y=kx+1交C于M,N两点,则|MN|=2,则△QMN的面积S=×2=2,解得k=-7或k=1.
创新应用组
12.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　　　　. 
答案:x=-1或y=-x+,或y=x-
解析:在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.
设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.
由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.

∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率,∴直线l1的斜率=-,直线OO1的方程为y=x.
可设直线l1的方程为y=-x+b(b>0).
又圆心O到直线l1的距离d1==1,解得b=(负值舍去).
故内公切线l1的方程为y=-x+.
由得直线l与直线OO1的交点为A.
则可设直线l2的方程为y+=k(x+1).
又圆心O到直线l2的距离d2==1,解得k=,故直线l2的方程为y=x-.
由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-x+,或y=x-.