适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练45抛物线北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练45抛物线北师大版，共5页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知O为坐标原点,抛物线C，已知O为坐标原点,过抛物线C等内容，欢迎下载使用。

课时规范练45
基础巩固组
1.(2023·辽宁大连模拟)抛物线y=x2的焦点到准线的距离为(　　)
A. B. C.1 D.2
答案:D
解析:y=x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.
2.(2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
答案:B
解析:设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以=4.所以|AB|==2.
3.(2022·山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-4
答案:B
解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0.
由y2=16p,可得y=±4.
不妨令P(8,4),则S△OFP=×4=p=2,解得p=2.
则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
4.(多选)(2022·辽宁葫芦岛一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),焦点为F,则(　　)
A.点M到焦点的距离为3
B.直线MF与x轴垂直
C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0
答案:AC
解析:由题意知(2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.
由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;
由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;

如图,设MN中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'==
,
故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;
由2-2×2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.
5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为(　　)
A.10 B.14 C.12 D.16
答案:C
解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.
根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.
因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.
6.若三个点M(3,2),N(2,2),Q(3,-2)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为　　　　　. 
答案:y2=8x
解析:由抛物线的对称性知,若M(3,2)在抛物线上,则Q(3,-2)一定也在y2=2px上,
∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2)不在抛物线上,
∴6p=24,4p≠12,解得p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
7.(2022·河北沧州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与C交于A,B两点(点A在x轴上方),过A,B分别作l的垂线,垂足分别为M,N,连接MF,NF.若|MF|=|NF|,则直线AB的斜率为　　　　　. 
答案:
解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.

因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=,所以MF⊥NF.
又|MF|=|NF|,所以∠NMF=,所以∠MFO=∠AFM=,故∠AFx=,所以直线AB的斜率为tan.
8.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　　. 
答案:x=-
解析:∵PF⊥x轴,

∴xP=xF=,将xP=代入y2=2px,得y=±p.
不妨设点P在x轴的上方,则P,即|PF|=p.
如图,由条件得,△PFO∽△QFP,
∴,即,解得p=3.
故C的准线方程为x=-.
综合提升组
9.(2022·新高考Ⅱ,10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
答案:ACD
解析:选项A,由题意知,点A为FM的中点,则xA=p,所以=2pxA=2p·p=p2(yA>0).
所以yA=p,故kAB==2,故选项A正确;
选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(xB,yB),则p+yB=p,则yB=-,代入抛物线方程得=2p·xB,解得xB=.
所以|OB|=,故选项B错误;
选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;
选项D,由选项A,B知,Ap,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.
又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.
所以∠OAM+∠OBM<180°.
故选项D正确.故选ACD.
10.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF与抛物线的另一个交点为B,则S△AOB=　　　　　. 
答案:40
解析:∵|AF|=1+=5,则p=8,
∴抛物线方程为x2=16y.
把A(t,1)代入抛物线方程得t2=16且t>0,则t=4.
∵A(4,1),F(0,4),则直线AF的斜率k==-,
∴直线AF的方程为y=-x+4,即3x+4y-16=0.
联立解得即B(-16,16).
则|AB|==25,点O到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=,
∴S△AOB=|AB|×d=40.
11.已知抛物线y=x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P的坐标为　　　　　. 
答案:1,
解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P作PH⊥l于点H,过点Q作QN⊥l于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF周长的最小值为3,此时P1,.

创新应用组
12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,过CD作平行于PA的平面α,交母线PB于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为(　　)

A. B. C. D.1
答案:B
解析:由题意OB=OP=OC=2,E是母线PB的中点,所以OE=.

在平面CDE内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-,2).
设抛物线的方程为y2=mx,将C点坐标代入可得4=-m,所以m=-2,所以抛物线的方程为y2=-2x.
所以焦点坐标为-,0,准线方程为x=,
所以焦点到其准线的距离为.