适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版，共7页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知抛物线C，已知椭圆T，已知斜率为1的直线l与双曲线C等内容，欢迎下载使用。

课时规范练46
基础巩固组
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
答案:C
解析:∵直线y=kx-k=k(x-1),
∴直线过定点(1,0).
当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;
当k≠0时,点(1,0)在x轴正半轴上,所以直线与抛物线有两个公共点.
综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点.故选C.
2.(2023·海南嘉积中学模拟)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点,则|AB|等于(　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:设直线AB方程为y=x-1,代入椭圆方程=1,整理可得7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,根据弦长公式有AB=.
3.(2023·安徽合肥模拟)已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的中点为(4,2),则l的方程为(　　)
A.x-y-2=0 B.2x-y-6=0
C.x+y-6=0 D.x-2y=0
答案:A
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
若直线l⊥x轴,则线段AB的中点在x轴上,不符合题意,则直线l的斜率存在,由已知两式作差可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),所以直线l的斜率为=1,因此直线l的方程为y-2=x-4,即x-y-2=0.
4.(2023·天津西青高三检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:C
解析:直线l的方程为y=·(x-3),即y=x-3.
设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0),由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0,Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0.
因为弦AB的中点为N(-4,-7),所以-=-4,即a2=b2.
又a2+b2=9,解得a2=,b2=,满足Δ>0,所以双曲线E的方程为=1,即=1.
5.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=9x上,则实数m的值为(　　)
A.4 B.-4 C.0或4 D.0或-4
答案:D
解析:∵M,N关于y=x+m对称,
∴直线MN的斜率为-1.
设MN的中点P(x0,x0+m),直线MN:y=-x+b,
∵点P在MN上,
∴x0+m=-x0+b,∴b=2x0+m.
由消元可得2x2+2bx-b2-3=0,Δ=4b2-4×2(-b2-3)=12b2+24>0恒成立,
设M(xM,yM),N(xN,yN),
∴xM+xN=-b,∴x0=-,
∴b=,∴MN的中点P-m.
∵MN的中点在抛物线y2=9x上,
∴m2=-,∴m=0或m=-4.
6.(2022·山东济南三模)已知抛物线y2=2px(p>0),若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点,则p的值可以是　　　　　.(写出一个符合题意的答案即可) 
答案:3(答案不唯一)
解析:若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点,则当x=1时,y=≥2,解得p≥2.
7.已知椭圆T:=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A,B两点,若|AB|=,则椭圆T的方程为　　　　　. 
答案:=1
解析:∵a=2b,则c=b,
∴椭圆T:=1,左焦点F(-b,0).
设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去y得5x2+8bx+8b2=0,
∴x1+x2=-b,x1x2=,|AB|=,可得b2=2.
∴椭圆T:=1.
8.已知斜率为1的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)相交于B,D两点,且BD的中点为M(1,3),则C的离心率是　　　　　. 
答案:2
解析:设B(x1,y1),D(x2,y2),则两式作差可得,即.
因为M(1,3)为BD中点,所以x1+x2=2,y1+y2=6.
又直线BD斜率为1,所以=1,代入可得,=3,所以C的离心率e==2.
9.过双曲线x2-=1的左焦点F,作倾斜角为的直线l.
(1)求证:l与双曲线有两个不同的交点A,B;
(2)求线段AB的中点M的坐标和|AB|.
(1)证明:由双曲线方程知F(-2,0),则l:y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0,则Δ=16-32×(-13)>0,
∴l与双曲线有两个不同的交点A,B.
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
由(1)得∴xM=,
∴yM=+2=,
∴M,|AB|==3.
10.(2023·陕西宝鸡中学高三检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.
(1)若a=-1,求△FAB的面积;
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M,N关于直线l对称,求实数a的取值范围.
解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
当a=-1时,直线l:y=2x-1,
联立可得x2-2x+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=.
|AB|=.
点F到直线l的距离d=,
∴△FAB的面积S=|AB|·d=.
(2)∵点M,N关于直线l对称,
∴直线MN的斜率为-,
∴可设直线MN的方程为y=-x+m,联立整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由Δ=(4m+16)2-16m2>0,可得m>-2.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=4m+16,y3+y4=-(x3+x4)+2m=-8,故MN的中点为(2m+8,-4).
∵点M,N关于直线l对称,
∴MN的中点(2m+8,-4)在直线y=2x+a上,
∴-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.
∵m>-2,∴a<-12.
综上,a的取值范围为(-∞,-12).
综合提升组
11.(2023·河南郑州模拟预测)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,直线l与C交于P,Q两点,D为线段PQ的中点,O为坐标原点,则l与OD的斜率的乘积为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案:B
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),D(x0,y0),
则两式作差,并化简得,
所以.
因为D为线段PQ的中点,所以所以,即e2-1=klkOD.
由e=2,得klkOD=3.
12.椭圆+y2=1,则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为　. 
答案:y=-(- 解析:设斜率为的直线方程为y=x+b,与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点坐标为(x,y),则=-=x,=y,所以两式相减可得=(y2-y1)(y2+y1),(y2+y1),即y=-.
因为弦中点在椭圆内部,联立+bx+b2-1=0,所以当Δ=b2-2(b2-1)=0,即b=±时,直线与椭圆相切,此时由x+1=0,解得x=或x=-,所以弦中点的横坐标满足- 故弦中点的轨迹方程为y=-(- 13.(2023·江苏南京模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点1,,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OM的斜率为-0.5.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)当m=1时,椭圆C上是否存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称?若存在,求出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,即kOM==-.
因为A,B在椭圆C上,所以=1,=1,两式相减得=0,又kAB==1,所以=0,即a2=2b2.
又因为椭圆C过点1,,所以=1,解得a2=4,b2=2.
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)不存在.理由如下,由题意可知,直线l的方程为y=x+1.
假设椭圆C上存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称,设P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中点为N(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.
因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,且点N在直线l上,即y0=x0+1.
又因为P,Q在椭圆C上,所以=1,=1,两式相减得=0,
所以,即x0=2y0.
联立解得即N(-2,-1).
又因为>1,即点N在椭圆C外,这与N是弦PQ的中点矛盾,所以椭圆C上不存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称.
创新应用组
14.已知椭圆=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=,且AB的中点坐标为m,,则此椭圆的方程为　　　　　　　. 
答案:+y2=1
解析:由于AB的中点坐标为m,,且满足直线方程x+2y-2=0,即有m+2×-2=0,解得m=1,则AB的中点坐标为1,.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(a2+4b2)x2-4a2x+4a2-4a2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.
∵AB的中点坐标为1,,
∴=1,即x1+x2=2,则=2,即a2=4b2,故x1x2==2-2b2.
又|AB|=,
∴b2=1,故a2=4b2=4.
∴椭圆的方程为+y2=1.