适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第七章平面向量复数课时规范练30平面向量的概念及线性运算北师大版

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课时规范练30
基础巩固组
1.(2023·吉林长春高三月考)下列结论正确的是(　　)
A.若向量m,n共线,则向量m,n的方向相同
B.若是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上
C.在△ABC中,若D是BC中点,则)
D.若a∥b,则∃λ∈R使a=λb
答案:C
解析:若m,n共线,则m,n的方向不一定相同,故A错误;在平行四边形ABCD中,满足共线,但A,B,C,D不在同一条直线上,故B错误;易知C正确;若a为非零向量,b为零向量,则a∥b,此时不存在λ∈R,使得a=λb,可知D错误.故选C.
2.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式错误的是(　　)

A.=0
B.=0
C.
D.
答案:D
解析:=0,故A正确;=0,故B正确;,故C正确;+0=,故D错误.故选D.
3.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=-6e1+2e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c的关系为(　　)
A.不共线 B.共线
C.相等 D.无法确定
答案:B
解析:∵a+b=3e1-e2,∴c=-2(a+b),∴a+b与c共线.故选B.
4.(2023·山西临汾高三月考)P是△ABC所在平面内一点,若=3,则S△ABP∶S△ABC=(　　)
A.1∶4 B.1∶3
C.2∶3 D.2∶1
答案:A
解析:由已知得3,故C,P,A共线且CP=3PA(如图所示).所以S△ABP∶S△ABC=1∶4.故选A.

5.已知向量e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是(　　)
A.mn=1 B.mn=-1
C.m+n=1 D.m+n=-1
答案:A
解析:因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=λ,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.故选A.
6.(多选)四边形ABCD为边长为1的正方形,M为边CD的中点,则(　　)
A.=2 B.
C. D.=1
答案:BD
解析:=2=-2,故A错误;,故B正确;=-=-,故C错误;=()·
,由BC⊥DM,得=0,所以+0==1,故D正确.故选BD.

7.在△ABC中,=λ,则λ=　　　　　. 
答案:2
解析:由,得=2.
因为,
所以,即2,所以λ=2.
8.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=　　　　. 
答案:
解析:因为)-,所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=.
9.在等腰梯形ABCD中,设=a,=b,=2,M为BC的中点,则=　　　(用a和b表示);当x=　　　时,|b-xa|最小. 
答案:a+b　-
解析:∵M为BC的中点,∴)=)=a+b+×2a=a+b.

如图,设=xa,则b-xa=,∴当ED⊥AB时,|b-xa|最小,此时由几何知识易得x=-.
综合提升组
10.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中E,F,G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点,若=x+y,则xy=(　　)

A. B.- C. D.-
答案:C
解析:由题意,可得)=.因为四边形EFGH是平行四边形,所以=-,所以,所以.因为=x+y,所以x=,y=,则xy=.故选C.
11.(2023·浙江金华高三开学考试)已知A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若=m+n,则m+n的取值范围是　　　. 
答案:(-1,0)
解析:由于点D在圆外,则=k且k<-1.又=m+n,所以=km+kn.又D,A,B三点共线,所以km+kn=1,m+n=,而k<-1,所以m+n∈(-1,0).
创新应用组
12.(2023·安徽蚌埠高三月考)如图,在△ABC中,点O在边BC上,且OC=2OB.过点O的直线分别交射线AB,射线AC于不同的两点M,N,若=m=n,则2m+n的值等于　　　　;若≥2+恒成立,则实数t的最小整数值为　　　　. 

答案:3　2
解析:连接AO,因为OC=2OB,所以.又M,O,N共线,所以m+n=1,则2m+n=3.显然t>0,所以≥2+等价于.因为(2m+n)=3+≥1+,当且仅当n=m且2m+n=3,即m=3-,n=3-3时,取最小值1+.于是,所以t≥6-3,故实数t的最小整数值是2.