适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练8函数的奇偶性周期性与对称性北师大版

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课时规范练8
基础巩固组
1.(2022·广东二模)定义在[-2,2]上的下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是(　　)
A.y=sin x B.y=-2x
C.y=e|x| D.y=2x3
答案:D
解析:A.2>,由正弦函数的性质可知y=sinx在[-2,2]上不为增函数,故排除A;
B.y=-2x在[-2,2]上单调递减,故排除B;
C.由e|x|=e|-x|,知函数y=e|x|在[-2,2]上为偶函数,故排除C;
D.由2(-x)3=-2x3,知函数y=2x3在[-2,2]上为奇函数,且由幂函数的性质知y=x3在[-2,2]上单调递增,则y=2x3在[-2,2]上单调递增,D满足题意.故选D.
2.(2022·江苏连云港二模)已知函数f(x)=x1+是偶函数,则实数m的值是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案:A
解析:函数的定义域为,因为函数f(x)=x1+是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-1+=1×1+,-1-=1+,所以=2,解得m=-2.经检验,当m=-2时,f(x)=f(-x)成立,所以m=-2符合题意.
3.(2022·河北秦皇岛三模)设偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(4)=0,则不等式<0的解集是(　　)
A.(-4,4) B.(-4,0)∪(0,4)
C.(-4,0)∪(4,+∞) D.(-∞,-4)∪(0,4)
答案:D
解析:因为f(x)是偶函数,所以<0等价于<0.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.由<0,得
又f(4)=f(-4)=0,解得0 4.(2021·全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f=(　　)
A.- B.- C. D.
答案:C
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴函数f(x)的周期为2,则f=f=f.故选C.
5.(2022·辽宁葫芦岛一模)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,且为奇函数,若f(2)=1,则满足-1≤f(x+3)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-3,3] B.[-2,2]
C.[-5,-1] D.[1,5]
答案:C
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),又f(2)=1,∴f(-2)=-1,∴-1≤f(x+3)≤1可化为f(-2)≤f(x+3)≤f(2).∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴-2≤x+3≤2,解得-5≤x≤-1,∴x的取值范围为[-5,-1].
6.(2022·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)=ax3-2bx2+x是定义在[2a+1,3-a]上的奇函数,则a+b=　　　　　. 
答案:-4
解析:依题意函数f(x)=ax3-2bx2+x是定义在[2a+1,3-a]上的奇函数,所以2a+1+3-a=0,所以a=-4,所以f(x)=-4x3-2bx2+x,f(-x)=4x3-2bx2-x,因为f(x)+f(-x)=-4bx2=0恒成立.所以b=0.所以a+b=-4.
7.(2023·山东聊城高三期中)已知奇函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x),若当x∈[0,2]时,f(x)=(x+a),则f(2022)=　　　　. 
答案:-1
解析:因为f(x+4)=f(x),即y=f(x)是周期为4的周期函数.y=f(x)为奇函数且当x∈[0,2]时,f(x)=lo(x+a),所以f(0)=0⇒loa=0⇒a=1,所以当x∈[0,2]时,f(x)=lo(x+1),所以f(2022)=f(2)=lo3=-1.
综合提升组
8.(2022·河北沧州二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且在区间(1,+∞)上单调递增,则满足f(1-x)>f(x+3)的x的取值范围为(　　)
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(-∞,1)
答案:B
解析:因为函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,因为f(1-x)>f(x+3),所以|(1-x)-1|>|(x+3)-1|,即|-x|>|x+2|,平方后解得x<-1.所以x的取值范围为(-∞,-1).
9.(多选)(2022·新高考Ⅰ,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(　　)
A.f(0)=0 B.g=0
C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
答案:BC
解析:∵f-2x是偶函数,
∴f+2x=f-2x,
∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),
∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=对称,
∴g(x)的图象关于点对称.∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;
g=g=0,故B正确;构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,故D错误.故选BC.
10.(2023·山东胜利一中模拟)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立,又函数f(x+9)的图象关于点(-9,0)对称,且f(1)=2 022,则f(45)=　　　　　. 
答案:-2 022
解析:因为函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立,所以令x=-1,即f(2)=f(2)+9f(2),解得f(2)=0,所以f(x+3)=f(1-x)对任意x∈R恒成立.又函数f(x+9)的图象关于点(-9,0)对称,将函数f(x+9)向右平移9个单位长度得到f(x),所以f(x)的图象关于点(0,0)中,即f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x).又f(x+3)=f(1-x)对任意x∈R恒成立,则f(-x)=f(x+4),即-f(x)=f(x+4),得f(x)=f(x+8),所以函数f(x)的周期为8,因为f(1)=2022,所以在f(x+3)=f(1-x)中,令x=0,得f(3)=f(1)=2022,所以f(45)=f(6×8-3)=f(-3)=-f(3)=-2022.
创新应用组
11.(2022·广东佛山三模)箕舌线因意大利著名的女数学家玛利亚·阿涅西的深入研究而闻名于世.如图所示,过原点的动直线交定圆x2+y2-ay=0(a>0)于点P,交直线y=a于点Q,过P和Q分别作x轴和y轴的平行线交于点M,则点M的轨迹叫做箕舌线.记箕舌线函数为f(x),设∠AOQ=θ,下列说法正确的是(　　)

A.f(x)是奇函数
B.点M的横坐标为xM=
C.点M的纵坐标为yM=acos2θ
D.f(x)的值域是(-∞,1]
答案:C
解析:连接AP,则AP⊥OP,圆x2+y2-ay=0(a>0)的标准方程为x2+y-2=,该圆的直径为a,

设点Q(x0,a),当点Q不与点A重合时,直线OQ的方程为y=x,联立解得y=,当点Q与点A重合时,点A的坐标也满足方程y=,所以f(x)=,对任意的x∈R,x2+a2>0,即函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)==f(x),故函数f(x)为偶函数,A错误;当点Q在第一象限时,xQ=xM,因为=tanθ,此时xQ=xM=atanθ,B错误;当点Q不与点A重合时,yM=yP>0,因为|OP|=acosθ,则yM=yP=|OP|cosθ=acos2θ,当点Q与点A重合时,点P也与点A重合,此时θ=0,点P的纵坐标也满足yP=acos2θ,综上所述,点M的纵坐标为yM=acos2θ,C正确;对于D选项,因为x2+a2≥a2,所以f(x)=∈(0,a],D错误.故选C.