适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布解答题专项六概率与统计中的综合问题北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布解答题专项六概率与统计中的综合问题北师大版，共6页。试卷主要包含了1);，5分钟的车辆大致数目，5×0，5,36),，635,等内容，欢迎下载使用。

解答题专项六　概率与统计中的综合问题
解答题专项练
1.(2022·河北张家口三模)港珠澳大桥桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,设计速度为100千米/小时,限制速度为90~120千米/小时,通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示:

(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间(单位:分钟)(精确到0.1);
(2)以(1)中的平均时间作为μ,车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布N(μ,36),任意取通过大桥的1 000辆汽车,求所用时间少于39.5分钟的车辆大致数目(精确到整数).
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ 解:(1)由频率分布直方图可得=32.5×0.015+37.5×0.18+42.5×0.27+47.5×0.3+52.5×0.2+57.5×0.035≈45.5(分钟).
(2)由题知X~N(45.5,36),
所以P(X<39.5)=P(X<μ-σ)=[1-P(μ-σ 2.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成,若笔试和抢答满分均为100分,其中5名选手的成绩如下表所示:
选手
S1
S2
S3
S4
S5
笔试(x分)
87
90
91
92
95
抢答(y分)
86
89
89
92
94
对于这5名选手,根据表中的数据,试解答下列两个小题:
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动,以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).
附:.
解:(1)=91,
=90,(xi-)2=(-4)2+(-1)2+02+12+42=34,
(xi-)(yi-)=(-4)×(-4)+(-1)×(-1)+0×(-1)+1×2+4×4=35,
所以=90-×91=-,
故线性回归方程为x-.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S2,S3,S4,S5,共4人,他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有2人,所以P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=,故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



所以E(ξ)=0×+1×+2×=1.
3.(2023·湖北襄阳高三检测)为落实教育部的双减政策,义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M处和N处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表:
甲

乙

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学期望;
(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率.
解:(1)甲同学两分球投篮命中的概率为=0.5,甲同学三分球投篮命中的概率为=0.1,设甲同学累计得分为X,则P(X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225,P(X=5)=0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.075,则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.3,所以甲同学通过测试的概率为0.3.
设这300名学生通过测试的人数为Y,由题设Y~B(300,0.3),所以E(Y)=300×0.3=90.
(2)乙同学两分球投篮命中率为=0.4,乙同学三分球投篮命中率为=0.2.
设乙同学累计得分为Y,则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128,P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128.
设“甲得分比乙得分高”为事件A,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B,则P(AB)=P(X=5)·P(Y=4)=0.075×0.128=0.0096,P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]·[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768,由条件概率公式可得P(A|B)=.
4.(2022·山东潍坊三模)盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机性.因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知M系列盲盒共有12个款式,一批盲盒中,每个盲盒随机装有一个款式,甲同学已经买到3个不同款,乙、丙同学分别已经买到m个不同款,已知三个同学各自新购买一个盲盒,且相互之间无影响,他们同时买到各自的不同款的概率为.
(1)求m;
(2)设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数,求X的分布列和数学期望.
解:(1)由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为,解得m=20或4,因为0 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=;
P(X=1)=×2=;
P(X=2)=×2+;
P(X=3)=.
其分布列为
X
0
1
2
3
P




所以数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.
5.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
类别
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)是否可以认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(ⅰ)证明:R=;
(ⅱ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.
附:χ2=.
P(χ2>k)
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
解: (1)由题意可知,n=200,
所以χ2===24>6.635,
所以我们有99%的把握可以推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(ⅰ)证明:R=·
.
(ⅱ)P(A|B)==0.4,
P(A|)==0.1,
同理P()==0.9,
P(|B)==0.6,
所以R==6.
所以指标R的估计值为6.
6.(2022·江西鹰潭二模)为迎接北京冬季奥运会,某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计,测试满分为100分,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40,100]内,并制成如下所示的频率分布直方图.

(1)估计这200名学生的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值为代表);
(2)在这200名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了10人,再从这10人中随机抽取3人,记X为3人中成绩在[80,90)的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)规定成绩在[90,100]的为A等级,成绩在[70,90)的为B等级,其他为C等级.以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加测试的同学中随机抽取10人,其中获得B等级的人数恰为k(k≤10)人的概率为P,当k为何值时P的值最大?
解:(1)这200名学生的平均成绩为(45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=69.5(分).
(2)由[70,80),[80,90),[90,100]的三组频率之比为0.3∶0.15∶0.05=6∶3∶1,从[70,80),[80,90),[90,100]中分别抽取6人,3人,1人,X所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




故E(X)=0×+1×+2×+3×.
(3)依题意,B等级的概率为(0.03+0.015)×10=0.45,且k~B(10,0.45),
所以P(k)=0.45k(1-0.45)10-k,而
则
即解得≤k≤,
因为k∈N*,所以k=4.