适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练50分类加法计数原理与分步乘法计数原理北师大版

课时规范练50

基础巩固组

1.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为(　　)

A.6 B.12 C.24 D.36

答案:A

解析:确定第二象限的点,可分两步完成:

第一步确定a,由于a<0,所以有3种方法;

第二步确定b,由于b>0,所以有2种方法.

由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6.

2.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为(　　)

A.9 B.11

C.13 D.15

答案:C

解析:按焊接点脱落的个数分成4类.

脱落1个,有1,4,共2种情况;脱落2个,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况;脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4种情况;脱落4个,有(1,2,3,4),共1种情况.

由分类加法计数原理,焊接点脱落的不同情况的种数为2+6+4+1=13.故选C.

3.(2022·山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有(　　)

A.60个 B.48个

C.36个 D.24个

答案:C

解析:先排个位,然后排万位,再排其他位置,所以由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有2×3×=36个.

4.(2022·广东惠州一模)现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目,每人须报1项且只报1项,则恰有2名学生报同一项目的报名方法有(　　)

A.36种 B.18种 C.9种 D.6种

答案:B

解析:第一步,先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体;第二步:从3个项目中选择2个项目排列即可,故不同的报名方法种数为=18.

5.(2023·重庆八中高三开学考试)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(　　)

A.6 B.10 C.16 D.20

答案:B

解析:依题意,第一个格子必须为黑色,则出现从左至右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有:

①全染黑色,有1种方法;

②第一个格子染黑色,另外四个格子中有1个格子染白色,剩余的都染黑色,有=4种方法;

③第一个格子染黑色,另外四个格子中有2个格子染白色,剩余的染黑色,符合要求的有=5种方法.

所以出现从左至右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1+4+5=10种.

6.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块区域种同一种植物,相邻的两块区域种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择,则有　　　　　种栽种方案. 

答案:66

解析:根据题意,分3种情况讨论.

①当A,C,E种同一种植物,此时共有3×2×2×2=24种方法;

②当A,C,E种2种植物,此时共有×2×1×1=36种方法;

③当A,C,E种3种植物,此时共有×1×1×1=6种方法.则一共有24+36+6=66种栽种方案.

7.一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x且y>z时,称这样的数为“凸数”(如341),则从集合{1,2,3,4,5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为　　　　　. 

答案:20

解析:由题意可得y只能取3,4,5.

当y=3时,凸数有132,231共2个;

当y=4时,凸数有142,241,143,341,243,342共6个;

当y=5时,凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12个.

综上,共有20个凸数.

综合提升组

8.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线,在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为(　　)

A.18 B.30 C.36 D.54

答案:C

解析:如图,分以下几类:

棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有3×2=6对;

棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有3×2=6对;

底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有6×2=12对;

底面边与底面边之间所构成的异面直线有3×2=6对;

侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有=6对.

所以满足条件的共有6+6+12+6+6=36对.

9.已知正整数有序数对(a,b,c,d)满足:

①a+b+c+d=12;②|a2-b2|=5.

则满足条件的正整数有序数对(a,b,c,d)共有 (　　)

A.24组 B.12组

C.9组 D.6组

答案:B

解析:由题意知,a,b,c,d为正整数,故由|a2-b2|=5可得|(a+b)(a-b)|=5,因为|a-b|≥1,故|a+b|≤5,则满足|a2-b2|=5的数为3和2,则有序数对(a,b)可能为(3,2),(2,3),再由a+b+c+d=12可得c+d=7,则(c,d)可能有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种情况,故满足条件的正整数有序数对(a,b,c,d)共有2×6=12组.

创新应用组

10.(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)学习涂色能锻炼手眼协调能力,更能提高审美能力.现有四种不同的颜色:湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿,欲给小房子中的四个区域涂色,要求相邻区域不涂同一颜色,且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内,则共有　　　　　种不同的涂色方法. 

答案:66

解析:当选择两种颜色时,因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内,所以共有-1=5种选法,因此不同的涂色方法有5×2=10种;

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中,则不同的涂色方法有2×2×2=8种;

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中,则不同的涂色方法有2×3×2×3=36种;

当选择四种颜色时,不同的涂色方法有2×2×2+2×2=12种.

所以共有10+8+36+12=66种不同的涂色方法.