适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练55离散型随机变量的分布列均值与方差北师大版

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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练55离散型随机变量的分布列均值与方差北师大版，共5页。试卷主要包含了设0
课时规范练55
1.(2023·河南洛阳模拟)随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,其中c是常数,则D(9ξ-3)的值为(　　)
A.10 B.117 C.38 D.35
答案:C
解析:∵P(ξ=k)=,k=1,2,3,
∴=1,解得c=.
∴E(ξ)=1×+2×+3×,
∴D(ξ)=1-2×+2-2×+3-2×,
∴D(9ξ-3)=92D(ξ)=81D(ξ)=38.
2.(2023·广西桂林模拟)设0 X
0
a
1
P

则当a在(0,1)内逐渐增大时,(　　)
A.E(X)不变 B.E(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
答案:D
解析:E(X)=0×+a×+1×,
∴E(X)增大;
D(X)=2×+a-2×+1-2×[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=a-2+,
∵0 ∴D(X)先减小后增大.
3.(多选)(2023·江苏苏州模拟)已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表,则(　　)

X
-1
0
2
P
0.2
m
0.6

Y
0
1
2
P
0.3
0.4
n
A.m+n=0.5
B.E(2X+1)=4
C.投资两种项目的收益期望一样多
D.投资A项目的风险比B项目高
答案:ACD
解析:依题意可得0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确;
所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B错误;
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),故C正确;
因为D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,即D(X)>D(Y),所以投资A项目的风险比B项目高,故D正确.
故选ACD.
4.(2022·广东广州三模)冰壶是第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形的营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负,甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的重心落在圆O中,得3分,冰壶的重心落在圆环A中,得2分,冰壶的重心落在圆环B中,得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为;甲、乙得2分的概率分别为;甲、乙得1分的概率分别为.
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率;
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

解:(1)由题意知甲得0分的概率为1-,乙得0分的概率为1-,所以甲、乙两人所得分数相同的概率为.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
P(X=6)=,
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P

所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×.
5.(2023·湖北黄石模拟)有9个外观相同的同规格砝码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加,小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码,设计了如下两种方案,方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个,分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则选出的2个砝码是没有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧.按此方法,直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二:从待称量的砝码中随机选8个,按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧,每次再将该侧砝码按个数平分,分别放在天平的左、右托盘上,…,直到找出有瑕疵的砝码为止.
(1)记方案一的称量次数为随机变量X,求X的分布列;
(2)上述两种方案中,小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小?并说明理由.
解:(1)由题知,X=1,2,3,4,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,X的分布列为
X
1
2
3
4
P

(2)由(1)知,E(X)=1×+2×+3×+4×,
设方案二的称量次数为随机变量为Y,则Y=1,3,P(Y=1)=,P(Y=3)=1-,E(Y)=1×+3×>E(X),所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.
6.(2022·湖北荆门龙泉中学一模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛,约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场,则专业队获胜;若甲连续输两场,则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,甲赢的概率为,甲与丙比赛,甲赢的概率为p,其中 (1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安排丙与甲进行比赛,请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛?
(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金6万元,负队获奖金3万元;若平局,两队各获奖金3.6万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望E(X)的取值范围.
解:(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P1=×(1-p)+×(1-p)×(1-p);
第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P2=(1-p)×+p××(1-p)=(1-p2).
因为所以P1-P2=×(1-p)-p>0,P1>P2.
所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
(2)由已知X=9万元,或X=7.2万元.
由(1)知,业余队最优决策是第一场安排乙与甲进行比赛.
此时,业余队获胜的概率为P1=(1-p),
专业队获胜的概率为P3=p+×p×p.
所以非平局的概率为P(X=9)=P1+P3=p,
平局的概率为P(X=7.2)=1-P1-P3=p.
X的分布列为
X
9
7.2
P(X)
p
p
X的期望为E(X)=9×p+7.2×p=8.2+0.6p,
由所以数学期望E(X)的取值范围为(8.5,8.6)(单位:万元).

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