适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十章统计与成对数据的统计分析课时规范练48用样本估计总体北师大版

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课时规范练48
基础巩固组
1.(2023·重庆八中高三开学考试)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:
党史学习时间/小时
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
7
8
则该单位党员一周学习党史时间的众数及50%分位数分别是(　　)
A.8,8.5 B.8,8 C.9,8 D.8,9
答案:D
解析:党员人数一共有6+10+9+7+8=40,学习党史时间为8小时的人数最多,故学习党史时间的众数为8,40×50%=20,那么第50百分位数是第20和21个数的平均数,第20,21个数分别为9,9,所以第50百分位数是=9.
2.(多选)(2023·江苏苏州模拟)近日,2022年中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动,在100个地级及以上候选城市名单中,某市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取20位该市居民,他们的幸福感指数见下表,则有关这组幸福感指数,下列说法正确的有(　　)
居民编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
幸福感指数
3
4
4
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
10
10
A.这组数据的平均数为7
B.这组数据的标准差为3.6
C.这组数据的众数为8
D.这组数据的80%分位数是8
答案:AC
解析:对于A,平均数为×(3+4×2+5+6×3+7×4+8×5+9×2+10×2)=7,所以A正确;
对于B,标准差为

=,所以B错误;
对于C,因为8出现的次数最多,所以这组数据的众数为8,所以C正确;
对于D,因为20×0.8=16,所以这组数据的80%分位数是=8.5,所以D错误.故选AC.
3.(2022·全国甲,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则(　　)

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案:B
解析:对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;
对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;
对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;
对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.
4. (多选)(2022·山东潍坊一模)某市共青团委统计了甲、乙两名同学最近十期“青年大学习”答题得分情况,整理成如图所示的茎叶图.则下列说法中正确的是(　　)

A.甲得分的30%分位数是31
B.乙得分的众数是48
C.甲得分的中位数小于乙得分的中位数
D.甲得分的极差等于乙得分的极差
答案:BCD
解析:对于A,甲得分从小到大排列为27,28,31,39,42,45,55,55,58,66,而10×30%=3,所以甲得分的30%分位数是35,A不正确;
对于B,乙的得分中有两个48,其余分数值均只有一个,因此,乙得分的众数是48,B正确;
对于C,甲得分的中位数是43.5,乙得分的中位数是45,C正确;
对于D,甲得分的极差、乙得分的极差都是39,D正确.故选BCD.
5.(多选)(2022·河北唐山一模)有一组互不相等的数组成的样本数据x1,x2,…,x9,其平均数为a(a≠xi,i=1,2,…,9),若插入一个数a,得到一组新的数据,则(　　)
A.两组样本数据的平均数相同
B.两组样本数据的中位数相同
C.两组样本数据的方差相同
D.两组样本数据的极差相同
答案:AD
解析:由已知可得x1+x2+…+x9=9a.
对于A选项,新数据的平均数为(9a+a)=a,与原数据的平均数相等,A正确;
对于B选项,不妨设x1 若a>x5,则中位数为(x5+min{a,x6})>x5,B错误;
对于C选项,新数据的方差为s'2=[(x1-a)2+(x2-a)2+…(x9-a)2+(a-a)2]<[(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x9-a)2]=s2,C错误;
对于D选项,不妨设x1 6.(2022·山东济南二模)2022年4月24日是第七个“中国航天日”,今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8位同学成绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m.若去掉m,该组数据的25%分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是　　　　　(写出一个满足条件的m值即可). 
答案:7或8或9或10(填4个数中任意一个均可)
解析: 7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据从小到大排列为6,7,7,8,8,9,10,则7×0.25=1.75,故25%分位数为第二个数即7,所以7,6,8,9,8,7,10,m,25%分位数为7,而8×0.25=2,所以7为第二个数与第三个数的平均数,所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.
7.(2023·山东师范大学附中模拟)现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是300,那么这组数的标准差是　　　　　. 
答案:
解析:设这10个数为xi,i=1,2,3,…,10,则=4,则由题可得(x1+x2+…+x10)=4,所以x1+x2+…+x10=40,+…+=300,则这组数的标准差是s=
=
.
综合提升组
8.(多选)(2023·江苏南通模拟)一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为≠0),标准差为s.另一组样本数据xn+1,xn+2,…,x2n的平均数为3,标准差为s.两组数据合成一组新数据x1,x2,…,xn,xn+1,…,x2n,新数据的平均数为,标准差为s',则 (　　)
A.>2 B.=2 C.s'>s D.s'=s
答案:BC
解析:由题意=2,故B正确.
ns2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2=-n,
同理ns2=-n·(3)2=-9n.
两式相加得2ns2=-10n,2ns'2=-2n·(2)2=-8n,所以2ns'2>2ns2,s'>s,故C正确.
9.(2023·山东临沂模拟)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

已知落在[50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为66,方差是4,则两组成绩的总平均数和总方差s2分别为多少.
解:因为所有小矩形的面积之和为1,
所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,所以a=0.030.
成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10,成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20,故=62.
设成绩在[50,60)中10人的分数分别为x1,x2,x3,…,x10;
成绩在[60,70)中20人的分数分别为y1,y2,y3,…,y20,则由题意可得-542=7,-662=4,所以+…+=29230,+…+=87200,所以s2=+…++…+)-(29230+87200)-622=37,所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是37.
创新应用组
10.(多选)(2023·福建莆田模拟)已知一组数据x1,x2,…,x11是公差不为0的等差数列,若去掉数据x6,则(　　)
A.中位数不变 B.平均数变小
C.方差变大 D.方差变小
答案:AC
解析:对于选项A,原数据的中位数为x6,去掉x6后的中位数为(x5+x7)=x6,即中位数没变,故选项A正确;
对于选项B,原数据的平均数为(x1+x2+…+x11)==x6,去掉x6后的平均数为'=(x1+x2+…+x5+x7+x8+…+x11)=x6=,即平均数不变,故选项B错误;
对于选项C,则原数据的方差为s2=[(x1-x6)2+(x2-x6)2+…+(x11-x6)2],去掉x6后的方差为s'2=[(x1-x6)2+(x2-x6)2+…+(x5-x6)2+(x7-x6)2+…+(x11-x6)2],故s2