适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练15导数的概念运算及几何意义北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练15导数的概念运算及几何意义北师大版，共4页。试卷主要包含了下列求导运算错误的是，过点P作曲线C等内容，欢迎下载使用。

课时规范练15
基础巩固组
1.(2023·上海青浦模拟)已知f(x)=ax2+b的图象开口向上,=4,则a=(　　)
A. B.-
C.2 D.-2
答案:A
解析:由f(x)=ax2+b,得f'(x)=2ax(a>0),因为=4,所以f'(a)=4,即2a2=4,解得a=或a=-(舍去).
2.(多选)(2023·湖南娄底高三检测)下列求导运算错误的是(　　)
A.'= B.(cos x)'=sin x
C.(2ln x)'= D.(xln x)'=ln x+1
答案:ABC
解析:对于选项A,'==-,故A错误;对于选项B,(cosx)'=-sinx,故B错误;对于选项C,(2lnx)'=,故C错误;对于选项D,(xlnx)'=lnx+1,故D正确.故选ABC.
3.(2022·广东广州一模)曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为(　　)
A.y=3x+3 B.y=3x+1
C.y=-3x-1 D.y=-3x-3
答案:A
解析:因为y=f(x)=x3+1,所以f'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,又当x=-1时,a=x3+1=-1+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.
4.(2023·广东珠海高三检测)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=πr3.当V= L时,气球的瞬时膨胀率为(　　)
A. dm/L B. dm/L
C.3 L/dm D.4π L/dm
答案:A
解析:因为V=πr3,所以r=,所以r'=,所以当V=时,r'==dm/L,故瞬间膨胀率为dm/L.
5.若f(x)=x2e1-mx+mx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则m=(　　)
A.1 B.2或1
C.-1或2 D.2
答案:B
解析:f'(x)=2xe1-mx+x2·e1-mx·(-m)+m=2xe1-mx-mx2e1-mx+m,根据导数的几何意义可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)·(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2.
6.(2023·湖北襄阳模拟)过点P(1,2)作曲线C:y=的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 (　　)
A.2x+y-8=0 B.2x+y+4=0
C.2x+y-4=0 D.x+2y-4=0
答案:A
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),y'=-,所以在A点处的切线方程为y-y1=-(x-x1),将P(1,2)代入得2-y1=-(1-x1),因为y1=,化简得2x1+y1-8=0,同理可得2x2+y2-8=0,所以直线AB的方程为2x+y-8=0.
7.(2023·贵州遵义高三检测)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= (　　)
A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2
答案:C
解析:设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为(x1,+2),(x2,),则切线方程分别为y-(+2)=(x-x1),y-(x-x2),化简得,y=x++2-x1,y=x-x2,依题意上述两直线与y=kx+b是同一条直线,所以解得x1=ln2,所以k==eln2=2.
8.(2023·湖南衡阳高三检测)写出过点(2,1)与曲线y=x3+1相切的一条直线的方程:　　　　　　. 
答案:y=1或27x-y-53=0(写出其中一条即可)
解析:设切点为(x0,+1),因为y'=3,
所以切线方程为y-(+1)=3(x-x0),
将点(2,1)代入得2-6=0,解得x0=0或x0=3.
当x0=0时,切线方程为y=1;
当x0=3时,切线方程为27x-y-53=0.
9.(2023·吉林长春高三检测)曲线f(x)=(x+1)ex+ln x在(1,a)处的切线与直线bx-y+2=0平行,则b-a=　　　　　. 
答案:e+1
解析:由题意,函数f(x)=(x+1)ex+lnx,可得f'(x)=(x+2)ex+,可得f'(1)=3e+1,f(1)=2e,因为曲线y=f(x)在(1,a)处的切线与直线bx-y+2=0平行,可得b=f'(1)=3e+1,a=f(1)=2e,所以b-a=e+1.
10.(2022·山东威海三模)已知曲线C1:y=ex+x,C2:y=-x2+2x+a(a>0),若有且只有一条直线同时与C1,C2都相切,则a=　　　　. 
答案:1
解析:设l与C1相切于P(x1,+x1),与C2相切于点Q(x2,-+2x2+a),由C1:y=ex+x,得y'=ex+1,则与C1相切于点P的切线方程为y--x1=(+1)(x-x1),即y=x(1+)-x1,由C2:y=-x2+2x+a,y'=-2x+2,则与C2相切于点P的切线方程为y+-2x2-a=(-2x2+2)(x-x2),即y=-2x2x++2x+a,即y=x(2-2x2)+a+,因为两切线重合,所以,1+=2-2x2①,-x1=a+②,由①得x2=,代入②得,4(1-x1)=4a+1-2,化简得,-6+4x1=-1-4a,明显可见,x1=0,a=1时等式成立.
综合提升组
11.(2023·河南郑州模拟)已知f(x)=2x3+(a-2)x2-3x是奇函数,则过点P(-1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.不确定
答案:C
解析:因为函数f(x)是奇函数,则由f(-x)+f(x)=0得2(a-2)x2=0恒成立,则a=2,即有f(x)=2x3-3x,f'(x)=6x2-3,设过点P(-1,2)向曲线y=f(x)所作切线与曲线y=f(x)相切的切点为Q(x0,2-3x0),而点P(-1,2)不在曲线y=f(x)上,则6-3=,整理得4+6-1=0,即(2x0+1)(2+2x0-1)=0,解得x0=-或x0=,即符合条件的切点有3个,所以过点P(-1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是3.
12.(2023·湖南长沙明德中学高三检测)已知函数f(x)的解析式唯一,且满足xf'(x)+f(x)=ex,f(1)=2e,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　. 
答案:y=-ex+3e
解析:由xf'(x)+f(x)=[xf(x)]',可得[xf(x)]'=ex,设xf(x)=ex+m,
又由f(1)=2e,有f(1)=e+m=2e,得m=e,
可得f(x)=,f'(x)=,f'(1)=-e,
故所求切线方程为y-2e=-e(x-1),
整理为y=-ex+3e.
13.(2022·山东泰安三模)从抛物线x2=2y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,且A,B为切点,若直线AB的倾斜角为,则P点的横坐标为　　　　　. 
答案:
解析:抛物线x2=2y的准线l:y=-,
设A(x1,y1),B(x2,y2),Px0,-,
则kAB==tan,
又∵y1=,y2=,
∴kAB=,
则x1+x2=2,
由x2=2y,得y=,∴y'=x,
∴切线PA的方程为y-y1=x1(x-x1),
切线PB的方程为y-y2=x2(x-x2),
即切线PA的方程为y-=x1(x-x1),即-2x1x+2y=0,
切线PB的方程为y-=x2(x-x2),即-2x2x+2y=0,
∵点Px0,-在切线PA,PB上,
∴-2x1x0-1=0,-2x2x0-1=0,
可知x1,x2是方程x2-2x0x-1=0的两个根,∴x1+x2=2x0,得x0=,即P点的横坐标为.
创新应用组
14.(2022·山东聊城二模)实数x1,x2,y1,y2满足:-ln x1-y1=0,x2-y2-4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(　　)
A.0 B.2 C.4 D.8
答案:D
解析:由-lnx1-y1=0,则y1=-lnx1,又x2-y2-4=0,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值转化为曲线y=x2-lnx(x>0)上的点与直线x-y-4=0上的点的距离的平方的最小值,由y=x2-lnx,得y'=2x-,与x-y-4=0平行的直线的斜率为1,∴2x-=1,解得x=1或x=-(舍去),可得切点为(1,1),切点到直线x-y-4=0之间的距离的平方,即为(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为2=8.