6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第6章 一次函数
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
目标导航

课程标准
课标解读
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
3.对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系进行揭示
1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
知识精讲

知识点01 一次函数和一元一次方程的关系
1. 一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．
2.从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，且a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可． 从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现
【微点拨】
1、一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2、从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
【知识拓展】
现代数学上的三大难题：
一、是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18 世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗?
二、是相邻两国不同着一-色，任-地图着色最少可用几色完成着色?五色已证出,四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。
三、是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识(认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形)。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。(如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题;十八个点用两色连必出现单色四边形;两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。)单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。
归纳为20棵树植树问题，四色绘地图问题，单色三角形问题。通称现代数学三大难题。
【即学即练1】1．已知一次函数y= x-1的图象如图所示，下列正确的有（ ）个．
① 点（-2，-3）在该函数的图象上 ② 方程x-1=0的解为x=2 ③ 当x>2时，y的取值范围是y>0 ④ 该直线与直线 平行

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
①把代入，得，由此判断；
②移项，化系数为1即可解题；
③根据图象解题；
④根据两直线的系数相同，不同即可判断．
【详解】
解：①把代入，得，故函数图象不经过点，故①错误；
②方程


故②正确；
③由图象可知，当x>2时，y>0，故③正确；
④ 直线与直线的，相同，不同，故两直线平行，故④正确，综上，正确的有3个，
故选：B．
知识点02 一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
【微点拨】
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
【即学即练2】2．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式－2x＋b＜0的解集为（　　）

A．x> B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【分析】
首先根据A点坐标算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得答案．
【详解】
解：∵一次函数y＝−2x＋b的图象过点A（0，3），
∴b＝3，
∴函数解析式为y＝−2x＋3，
当y＝0时，x＝，
∴B（，0），
∴不等式−2x＋b＜0的解集为x＞，
故选：A．
知识点03 一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
【即学即练3】3．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，关于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
知识点04 如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【即学即练4】4．一次函数与正比例函数，若则自变量的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知条件可知，若，则，解之即可．
【详解】
∵，
∴，
解得，，
故选：A．
能力拓展

考法01 求不等式组的解集
1、 把各个不等式的解集表示在数轴上，观察公共部分。
2、 不等式组的解集不外乎以下4种情况：
若a 当x>b时；（同大取大） 当x 当xb时无解，（大大小小无处找）
【典例1】如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）

A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞2
【答案】C
【分析】
先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式ax+4＜2x的解集．
【详解】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为；
故选：C．
考法02 不等式的解集怎么求
求不等式的解集可以先把各个不等式的解集表示在数百度轴上，观察公共部分。然后去括号，移项，合并同类项，系数化为一时要注意到底是除以了一个正数还是负数。
一、步骤
去分母（注意乘以一个正数的公分母，这样就不变号），去括号，移项，合并同类项，系数化为一（这里注意到底是除以了一个正数还是负数）
二、重点：
一元一次不等式组的解法，求公共解集的方法；
三、难点：
1、含有字母系数的不等式组的解集的讨论；
2、一元一次不等式组与二元一次方程组的综合问题。
四、不等式确定解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大）；
2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小）；
3、比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）；
4、比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。
5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
【典例2】如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
所求不等式的解集，即为函数y=ax+b图象在x轴上方部分的横坐标即可．
【详解】
解：∵直线经过点A（0，5）和B（-3，0），
∴当x＞-3时，直线在x轴上方，
∴ax+b＞0，
故选A．
分层提分

题组A 基础过关练
1．一次函数与正比例函数，若，则自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，建立不等式，便可求解．
【详解】
解：


故答案选A
2．方程的解就是直线与（ ）．
A．轴交点的横坐标 B．轴交点的纵坐标
C．轴交点的横坐标 D．轴交点的纵坐标
【答案】A
【分析】
先把方程化为2x-3=0，利用一次函数与一元一次方程的关系可判断方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．
【详解】
解：由得2x-3=0，
所以一元一次方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．
故选：A．
3．一次函数和的图象相交于点，则时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数的性质和两直线相交的特点解答即可．
【详解】
解：因为y1=−3x+b1中−3<0，图象经过二四象限，
y2=2x+b2中2>0，图象经过一三象限，
又因为一次函数y1=−3x+b1和y2=2x+b2的图象相交于点A(3,4)，
所以可得y13，
故选C．
4．如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）

A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】D
【分析】
写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：当x≤2时，y≥0．
所以关于x的不等式kx＋3≥0的解集是x≤2．
故选D．
5．如图，一次函数与的图象交点的横坐标为3，则下列结论：
①；②；③当时，中，正确结论的个数是 （　　）

A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①由一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，即可得出k＜0，由此即可得出①正确；②由一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，即可得出a＜0，由此得出②错误；③根据两一次函数图象的上下位置关系即可得出当x＜3时，y1＞y2，即③正确．综上即可得出结论．
【详解】
①∵一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，
∴k＜0，①正确；
②∵一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a＜0，②错误；
③观察函数图象，发现：
当x＜3时，一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的上方，
∴当x＜3时，y1＞y2，③正确．
综上可知：正确的结论为①③．
故选：C．
6．一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图像如图所示，其交点为P(3,4)，则不等式kx+1-3x+b的解集在数轴上表示正确的是（）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数图像与不等式的关系由图像直接写出解集.
【详解】
∵一次函数 y = -3x + b 和 y = kx + 1 的图像交点为 P(3, 4) ，
∴不等式kx + 1 ³ -3x + b 的解集为x≥3，
在数轴表示为：

故选B.
7．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+7交于点P（3，5），通过观察图象我们可以得到关于x的不等式x+b＞kx+7的解集为x＞3，这一求解过程主要体现的数学思想是（　　）

A．分类讨论 B．类比 C．数形结合 D．公理化
【答案】C
【分析】
通过观察图象得出结论，这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合.
【详解】
∵不等式x+b＞kx+7，就是确定直线y=kx+b在直线y＝kx+7 上方部分所有的点的横坐标所构成的集合，
∴这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合.
故选C.
题组B 能力提升练
1．如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察函数图象得到kx＞2b的解集是x＜3，再求不等式k（x﹣1）＞2b的解集即可．
【详解】
解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx＞2b的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，若直线与直线（）相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据直线从左向右逐渐上升，直线（）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5），即可得出在交点的左侧，从而得解．
【详解】
解：∵直线从左向右逐渐上升，直线（）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）
∴当x＜3时，，
故选：B．
3．如图，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【详解】
∵在上，则，
∴
∴A(-9，-3)，
观察图象得：当时，的图象在图象上方，
∴的解集为：．
故选：D．
4．如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x的解集为（　　）

A．x B．x＜3 C．x D．x＞3
【答案】A
【分析】
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＞ax＋4的解集即可．
【详解】
解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．
故选：A．
5．已知一次函数和，当自变量时，，则的取值范围为_________．
【答案】－3≤k≤2且k≠0
【分析】
分两种方法解答：代数法：根据题意确定（k－2）x＜5，得到k－2≤0 且≥－1，由此求出答案；几何法：根据函数关系式画出函数图象进行判断得出答案.
【详解】
代数法：
解析：∵y1＜y2 ，
∴kx－2＜2x＋3，
∴（k－2）x＜5，
经分析得：k－2≤0 且≥－1，
解得：－3≤k＜0或 0＜k≤2；
几何法：根据函数关系式画出函数图象，如下图，观察图像可知：
－3≤k＜0或 0＜k≤2.
故答案为：－3≤k≤2且k≠0.

6．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．
【答案】
【分析】
由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.
【详解】
解：把(，）代入y1=kx+1，可得，
解得k=n-3，
代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，
解得：
∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为
，
故答案为，．
7．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解】
令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
题组C 培优拔尖练
1．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，

故选：C
2．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【分析】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】
∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.

3．已知一次函数的图象过点（98，19），它与X轴的交点为（P，0），与y轴交点为（0，q），若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数
【答案】A
【分析】
解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19；把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-．所以19p=-98q+pq，则q=，p是质数，q是正整数，再利用整除的性质讨论即可．
解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19；
把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-．
所以19p=-98q+pq，
则q=，p是质数，q是正整数，分子只有三个因数即1、19、p，则p-98只能等于1、19或p，解的p都不是质数．
所以满足条件的所有一次函数的个数为0．
故答案为A．
4．已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点，是这个函数的图象上的两点，且，则；④当，函数的值，则，其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据图象，分析y=kx+b中k、b的符号，与x轴的交点坐标，再逐一进行分析判断即可得答案.
【详解】
由图可得，y=kx+b的图象过一二四象限，
则k＜0，b＞0；故①正确；
观察图象可知其与x轴交于点（m，0），
所以x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，由，可得y1>y2，
所以，故③正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，又当-1≤x≤2，函数的值1≤y≤4，
所以可知图象经过（-1，4）、（2，1）两点，则有
，解得，故④错误，
故正确的有3个，
故选C.
5．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线分别与交于点，与轴交于点．若，则下列范围中，含有符合条件的的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两直线与y轴的交点相同为（0，-2），求出A与B坐标，由S△GAB＜S△GOA，得AB＜OA，由此列出不等式进行解答．
【详解】
∵直线l1：y=kx-2与x轴交于点A，直线l2：y=（k-3）x-2分别与l1交于点G，与x轴交于点B．
∴G（0，-2），A（ ，0），B（ ，0），
∵S△GAB＜S△GOA，
∴AB＜OA，
即 ，即
当k＜0时， ，解得k＜0；
当0＜k＜3时，，解得k＜0（舍去）；
当k＞3时，，解得k＞6，
综上，k＜0或k＞6，
∴含有符合条件的k的是k＞3．
故选D．
6．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）

A．＞-2 B．＜-2 C． D．
【答案】D
【详解】
由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.
故选D.

7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（　　）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【答案】D
【分析】
先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.
【详解】
解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选D．