八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

2022—2023学年度下学期期末质量监测八年级数学试题
（考试时间120分钟 满分120分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．
3.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4.考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简各选项中的二次根式，找出被开方数与相同的选项即可解答．
【详解】选项A，=，选项A不能与合并；
选项B，，选项B不能与合并 ；
选项C， ，选项C能与合并；
选项D，，选项D不能与合并.
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3. 能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD， B. AB∥CD，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的5种判定定理逐一验证即可．
【详解】解：如下图，

A．根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项错误；
B．∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，故该选项正确；
C．根据平行四边形的判定定理，该选项无法判断四边形是平行四边形，故该选项错误；
D．根据平行四边形的判定定理，该选项无法判断四边形是平行四边形，故该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧，这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
4. 已知菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质，得到AC⊥BD，，，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，；
在直角△ABO中，由勾股定理，得
,
∴菱形的周长为：；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题．
5. 函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案．
【详解】解：分四种情况：
①当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；
②当a＞0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合；
③当a＜0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，C选项符合；
④当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．
故选C．
【点睛】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，．若，，则的值是（ ）

A. 8 B. 50 C. 64 D. 136
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解．
【详解】解：连接BD，

根据勾股定理可得，，
即，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键．
7. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄岁
岁
岁
岁
岁
人数人




那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A. 平均数、方差 B. 中位数、方差
C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数
【答案】D
【解析】
【分析】由频数分布表可知后两组频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第个数据，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图2中的，按此规律，在线段，，，…中， 长度为整数的线段有（ ）条．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】＝1，＝＝，＝＝，找到＝的规律即可计算到中长度为正整数的个数．
【详解】解：找到＝的规律，
所以到的值分别为，，……，
故正整数为＝1，＝2，＝3，＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到＝的规律是解题的关键．
9. 如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（ ）

A. 四边形ABCD的面积为12 B. AD边的长为4
C. 当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D. ΔAOP的面积为3时，x的值为3或10
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作PE⊥AC于点E，根据ΔAOP的边OA是一个定值，OA边上的高PE最大时是点P分别与点B和点D重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断．
【详解】A、过点P作PE⊥AC于点E，当点P在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到点B时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0，而y=中，OA为定值，所以y是先增大后减小，在B点时面积最大，在C点时面积最小； 观察图②知，当点P与点B重合时，ΔAOP的的面积为3，此时矩形的面积为：4×3=12，故选项A正确；
B、观察图②知，当运动路程为7时，y的值为0，此时点P与点C重合，所以有AB+BC=7,
又AB∙BC=12，解得：AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3，但AB C、当x=2.5时，即x<3，点P在边AB上
由勾股定理，矩形的对角线为5，则OA=2.5，所以OA=AP，△AOP是等腰三角形，但△ABC是三边分别为3，4，5的直角三角形，故∠BAC不可能为60°，从而△AOP不是等边三角形，故选项C错误；
D、当点P在AB和BC边上运动时，点P与点B重合时最大面积为3，此时x的值为3；
当点P在边CD和DA上运动时，PE逐渐增大，到点D时最大，然后又逐渐减小，到点A时为0，而y=也是先增大再减小，在D点时面积最大，在A点时面积最小；所以当点P与点D重合时，最大面积为3，此时点P运动的路程为AB+BC+CD=10，即x=10，所以当x=3或10时，ΔAOP的面积为3，故选项D正确．
故选：C．

【点睛】本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、解方程等知识，关键是确定点P到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口．
10. 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：
①；②四边形的周长为8；
③；④；⑤的最小值为．
其中正确结论的序号为（ ）

A. ①②③⑤ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】由图易知PF=EC，而△PDF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形三边关系得到①错误；先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8，得②正确；延长FP交AB于G，延长AP交EF于H．先证明△AGP≌△FPE，得∠GAP=∠PFE，由∠PFH与∠HPF互余，可得AP⊥EF，得③正确；先证明△AGP≌△FPE，可得AP=EF得④正确；由④得AP最小，则EF最小，所以当AP⊥BD时，EF最小，此时EF=AP=，所以⑤正确．
【详解】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，
∴PD＝DF
∴PD=．
故①错误；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
又∵PE=CE
∴四边形PECF周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③如图1

延长FP交AB于G，延长AP交EF于H，
在正方形ABCD中，
∴CD∥AB
又∵PF⊥于CD
∴∠AGP=90°；
由②知四边形PECF是矩形，
∴∠EPF=90°
∴∠AGP=∠EPF；
由①知PF=DF，
又∵AG=DF
∴AG=PF
∴四边形BGPE是正方形，
∴PG=PE
∴△AGP≌△FPE
∴∠BAP=∠PFE
又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余
∴∠FPH与∠PFE互余
∴∠PHF=90°即AP⊥EF
故③正确；
④由③知，△AGP≌△FPE
∴AP=EF
故④正确；
⑤当时，AP最小；

∴EF的最小值为．故⑤正确．
综上：②③④⑤正确．
故答案为：C．
【点睛】此题考查正方形的性质，垂直的证明方法，垂线段最短，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和运用“垂线段最短”是解题的关键．
二、填空题（共18分）
11. 化简：＝_____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．
【详解】解：因为＞1，
所以＝
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，掌握是解答此题的关键．
12. 一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据平均数求出x，然后根据众数（出现的次数最多）判断即可．
【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，
∴2+3+5+7+x=20，即x=3
∴这组数据的众数是3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查平均数及众数的求法，理解题意，掌握运用平均数与众数的求法是解题关键．
13. 由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形．若， 则菱形与原正方形ABCD的面积之比为__________

【答案】
【解析】
【分析】作A′E⊥DC于E，求出A′E与AD的关系即可求出菱形与原正方形ABCD的面积之比．
【详解】作A′E⊥DC于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∴菱形的面积为：，正方形ABCD的面积为：，
∴菱形与原正方形ABCD的面积之比为；
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的面积和勾股定理，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
14. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为________．

【答案】
【解析】
【分析】首先把代入直线即可求出m的值，从而得到A点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线y=x+3经过点，
∴4=m+3，
解得m=1，
∴A(1，4)，
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
15. 已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为_____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD的长，然后再求面积即可.
【详解】如图所示：
∵菱形ABCD边长为5cm，对角线AC＝6cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝3cm，BD=2BO，
∴BO＝＝4(cm)，
∴BD＝8cm，
∴S菱形ABCD=×6×8＝24(cm2)，
故答案为24．

【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键.
16. 已知直线：，和直线：，若直线：与、不能围成三角形，则_________．
【答案】或或
【解析】
【分析】由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线不能围成三角形，有三种情况：①l1∥l3，②l2∥l3，③三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案．
【详解】解：若l1∥l3则；
若l2∥l3，则；
若三条直线交于一点，
，解得，
即与交于一点，
则过该点，代入：
，解得，
综上所述，k为或或，
故填：或或．
【点睛】本题考查一次函数图像和性质，两直线平行k相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法．
三、解答题（共62分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
(2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答；
【小问1详解】
解：原式==
【小问2详解】
解：



【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18. 如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ；
（3）点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）△ACB是直角三角形，理由见解析；
（2）作图见解析，8；
（3）．
【解析】
【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案；
（2）作出图形，利用三角形的面积公式可得答案；
（3）先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，利用三角形的面积可得答案．
【小问1详解】
△ACB是直角三角形，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形；
【小问2详解】
如图所示：

△CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8，
故答案为：8；
【小问3详解】
如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，

∵，
∴，
∴DQ=，
∴CP+PQ的最小值，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形．
19. 已知：如图，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.

（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】分析：
（1）由已知条件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC结合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，从而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四边形ENFM是平行四边形；
（2）如下图，由四边形ENFM为矩形可得EG=NG，结合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，则∠BAC=∠ACB ，AE=CN，从而可得AB=CB，由此可得BE=BN.
详解：
（1）∵四边形ABCD为平行四四边形边形，
∴AB//CD.
∴∠EAG=∠FCG.
∵点G为对角线AC的中点，
∴AG=GC.
∵∠AGE=∠FGC，
∴△EAG≌△FCG.
∴EG=FG.
同理MG=NG.
∴四边形ENFM为平行四边形.
（2）∵四边形ENFM为矩形，
∴EF=MN，且EG=,GN=，
∴EG=NG，
又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，
∴△EAG≌△NCG，
∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN，
∴AB=BC，
∴AB-AE=CB-CN，
∴BE=BN.

点睛：本题是一道考查平行四边形的判定和性质及矩形性质的题目，熟练掌握相关图形的性质和判定是顺利解题的关键.
20. 某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试（满分：10分，测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
8
8
b
21
九年级
8
a
c
2.7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a＝______，b＝______，c＝______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生有多少人？
【答案】（1）9，8，8.5
（2）九年级成绩较好，理由见详解
（3）850
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可得出答案；
（2）根据中位数、众数进行比较，得出结论；
（3）根据总人数乘以百分比即可得出答案．
【小问1详解】
由条形统计图可知，九年级学生中9分人数出现次数最多，因此九年级学生成绩的众数为a=9；
将八年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：8，8，
∴八年级学生中位数，
将九年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：8，9，
∴九年级学生中位数；
故答案为：9；8；8.5．
【小问2详解】
九年级成绩较好，理由如下：
因为九年级学生中位数大于八年级学生中位数，说明九年级学生高分人数多于八年级学生，且九年级学生众数大于八年级学生众数；
所以九年级学生成绩交好．
【小问3详解】
由题意，抽出学生中，九年级在9分及以上的学生有10人，八年级在9分及以上的学生有7人，
∴人，
∴估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生有850人．
【点睛】本题考查数据的整理和分析，条形统计图、统计表，熟练掌握中位数、众数的意义，并能通过已有数据进行估算是解题的关键．
21. 1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为、2、；
（2）求此三角形的面积及最长边上的高．

【答案】（1）画图见解析； （2）三角形面积是5 ，高是
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理画出三角形即可；
（2）求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求．

（2），
最长边的高为：．
22. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式
甲款
乙款
进价（元/套）
60
80
售价（元/套）
100
150

（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少件使该服装店获利最大（直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）200套，15000元
（3）240套
【解析】
【分析】（1）根据利润=每件利润件数，可分别求出甲款运动服利润和乙款运动服的利润，最后二者相加即可求出，将其进行化简即可求出与关系式．
（2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的图像性质进一步求出最大利润即可．
（3）根据题意列出，化简，然后再利用的取值范围即可求出最大值．
【小问1详解】
解：根据题意得；
即．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意得，，解得，
至少要购进甲款运动服200套．
又，，
y随x的增大而减小，
当时，y有最大值，，
若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．
故答案为：200套；15000元．
【小问3详解】
解：由题意得，，其中，
化简得，，
，则：，y随x的增大而增大，

当时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
故答案为：240套．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意长出正确的等量关系式解题的关键．
23. 如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以看到，要求AB或CD的长度，可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
例如：从坐标系中发现：D（﹣7，3），E（4，﹣3），所以DF=|5﹣（﹣3）|=8，EF=|4﹣（﹣7）|=11，所以由勾股定理可得：DE=．
（1）在图①中请用上面的方法求线段AB的长：AB=　 　；
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：AC=　 　，BC=　 　，AB=　 　；
（3）试用（2）中得出的结论解决如下题目：已知：A（2，1），B（4，3）；
①直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长；
②C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为边的等腰三角形，请求出C点的坐标．

【答案】（1）5；（2）AC=y1﹣y2；BC=x1﹣x2，AB=；（3）①；②（0，）．
【解析】
【分析】（1）根据图①确定出BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）在图②中，由A与B的坐标表示出AC，BC，利用勾股定理表示出AB的长即可；
（3）①利用题中的方法，根据D与B坐标求出DB的长即可；
②设C（0，y），由题意得到AC=BC，根据A与B坐标，利用题中的方法列出方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出C坐标．
【详解】解：（1）根据题意得：AB==5；
（2）根据题意得：AC=y1-y2；BC=x1-x2，AB=；
（3）①∵A（2，1），B（4，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
可得：，
解得：，
所以直线AB的解析式为：y=x-1
把y=0代入y=x-1，
可得：x=1，
所以点D的坐标为（1，0），
所以BD=＝3；
②设C坐标为（0，y），A（2，1），B（4，3），
根据题意得：AC=BC，即，
解得：y=5，
则C坐标为（0，5）．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，弄清题中阅读材料中求两点间的距离公式是解本题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．

【答案】（1）点D的坐标为（1，2）；（2）存在，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）；（3）点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）
【解析】
【分析】（1）设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可．
（2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB＝∠ECB＝45°，再根据平行线的性质可得∠DCE＝∠CEB＝45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D＝90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．
（3）根据平行四边形对边平行且相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M．
【详解】（1）设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），OB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴OA=OB-AB=4-3=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
（2）存在．
在y＝x﹣2中，令y=0，得x=2，即OE=2
∴BE=OB-OE=2
∴BE=BC
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P1（1，﹣1）；
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为，
把x＝代入y＝x﹣2得，y＝，
所以，点P2（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）．
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则＝，＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）．