第01讲 集合的概念-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第01讲 集合的概念

1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2. 能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
3. 了解空集的含义．

知识点一 元素与集合的概念
1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．
2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示．
3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
特性
含义
确定性
集合中的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合中的元素，应该可以明确地判断出来
互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素
无序性
集合中的元素可以任意排列

知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作，读作“a属于A”．
2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作，读作“a不属于A”．
3．常见的数集及符号表示
数集
非负整数集
(自然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R

考点一：集合的含义
例1 (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【答案】 BCD
【解析】 A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
【总结】
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式 (多选)现有以下说法，其中正确的是(　　)
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
【答案】 BD　
【解析】 A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．

考点二：元素与集合关系的判断
例2 下列关系中，正确的有(　　)
①∈R；② ∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A.1个 B．2个
C.3个 D．4个
【答案】 C　
【解析】 是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
变式 用“∈”，“∉”填空．
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A．
【答案】 ∈　∉
【解析】 由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A.
例3 若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【答案】 0，1，2
【解析】 由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为0，1，2.因此A中有0，1，2三个元素．
【总结】
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
变式 方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．
【解析】 A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．
①当a＝0时，方程的根为－；
②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程有两个相等的根为－1.
综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1.


考点三：集合中元素的特性及应用
例4 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【答案】 －1
【解析】 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
【总结】
根据集合中元素的特性求参数的3个步骤


变式 已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【解析】 因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.


考点四：根据集合相等求参数
例5 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 022＋
b2 022的值．
【解析】 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，a≠b，由题意可得或解得或(不满足集合元素的互异性，舍去).
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
【总结】
从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍．
变式 集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．
【答案】 ±2
【解析】 由题意知a2＝4，即a＝±2.

1．下列说法正确的是(　　)
A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B.由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
【解析】 C　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，组成的集合中有2个元素．
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)
A.锐角三角形 B．直角三角形
C.钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等．故选D.
3．(多选)下列说法正确的有(　　)
A.N与N*是同一个集合
B.N中的元素都是Z中的元素
C.Q中的元素都是Z中的元素
D.Q中的元素都是R中的元素
【解析】 BD　因为N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．故选B、D.
4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2 【答案】 6
【解析】 ∵x∈N，2 易知a＝6.
5．集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，则实数x的值为________．
【答案】 1
【解析】 因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1.
①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，
此时x＋2＝3，满足集合中元素的互异性．
综上可知，x＝1.

1．下列对象能构成集合的是(　　)
①所有很高的山峰；②方程x2＋3x－4＝0的实数根；
③所有小于10的自然数；④cos 60°，sin 45°，cos 45°.
A.①② B．②③
C.①④ D．③④
【解析】 B　对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准，去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能构成集合；对于②，方程x2＋3x－4＝0在实数范围内的解是－4，1，是确定的，“方程x2＋3x－4＝0的实数根”能构成集合；对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“所有小于10的自然数” 能构成集合；对于④，因cos 60°＝，sin 45°＝，cos 45°＝，即sin 45°与cos 45°相同，不符合集合中元素的互异性，“cos 60°，sin 45°，cos 45°”不能构成集合．故选B.
2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)
A.P是由元素1，，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－|组成的集合
B.P是由π组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合
C.P是由2，3组成的集合，Q是由有序数对(2，3)组成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数组成的集合，Q是方程x2＝1的解集
【解析】 A　由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
3．下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
①0∈N；②－1∈Z；③π∈Q；④∉R.
A.①② B．①③
C.①④ D．②④
【解析】 A　N，Z，Q，R分别是自然数集，整数集，有理数集，实数集，故0∈N，－1∈Z，π∉Q，∈R.故选A.
4．由实数－a，a，|a|， 所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)
A.1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
【解析】 B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素．故选B.
5．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
【解析】 C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C.
6．(多选)下列关系中，正确的是(　　)
A.∈R B．∉Q
C.－3∈N D．∈Z
【解析】 AB　是实数，故A正确；是无理数，故B正确；－3不是自然数，故C不正确；是无理数，不是整数，故D不正确．故选A、B.
7．(多选)下列说法正确的是(　　)
A.N*中最小的数是1
B.若－a∉N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
【解析】 AC　N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故选A、C.
8．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．
【解析】 方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．
【答案】 3
9．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1.若t∈A，则t的值为________．
【答案】 0或1
【解析】 因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.
10．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．
【答案】 a>3
【解析】 因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
11．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
【解析】 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去，所以x＝1，满足集合中元素的互异性．
综上可知，x＝1，y＝0.
12．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A.0∉M B．2∈M
C.－4∈M D．4∈M
【解析】 CD　x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选C、D.
13．非空集合A具有下列性质：(1)若x，y∈A，则∈A；(2)若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是(　　)
①－1∉A；②∈A；
③若x，y∈A，则xy∈A；④若x，y∈A，则x－y∉A.
A.①③ B．①②
C.①②③ D．①②③④
【解析】 C　对于①，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，x＋y＝－2∈A，令x＝－1，y＝1，则＝－1∈A，x＋y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，∴－1∉A，故①对；对于②，由题意知，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 021∈A，∈A，故②正确；对于③，1∈A，x∈A，∴∈A，y∈A，∴＝xy∈A，故③正确；对于④，1∈A，2∈A，若x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故④错误，∴一定成立的是①②③.故选C.
14．若关于x的方程mx2－2x＋3＝0的解集为单元素集合，则实数m＝________．
【答案】 0或
【解析】 由于关于x的方程mx2－2x＋3＝0的解集为单元素集合，
即方程mx2－2x＋3＝0有唯一解．
(1)当m＝0时，－2x＋3＝0，∴x＝，方程有唯一解；
(2)当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，∴m＝.
综上m＝0或.
15．已知a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，则：
(1)若A中只有1个元素，则a＝________；
(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．
【答案】 (1)2　(2)2
【解析】 因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，
若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；
若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，
此时A只含1个元素；
若a＝3，则4－a＝1，此时A满足要求；
若a＝4，则4－a＝0，此时A满足要求．
16．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
【解析】 证明：(1)若a∈A，则∈A.
∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，此方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
17．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【解析】 ①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而－＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．
②数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和、差、积、商，即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，所以Q是闭集；同理R也是闭集．
18．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
【解析】 ∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9.
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，
显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，
B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.