第09讲 基本不等式-新高一数学暑假精品课(苏教版必修第一册)
展开第09讲 基本不等式
1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点一 基本不等式与重要不等式
1.算术平均数与几何平均数
对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
2.基本不等式
如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时,等号成立).
3.两个重要不等式
当a,b∈R时,则
(1)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立);
(2)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立).
不等式a2+b2≥2ab与≥的比较
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际上后者只要a≥0,b≥0即可);
(2)两个不等式a2+b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a=b时,等号成立”.
知识点二 基本不等式与最值
对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意:
(1)和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值;
(2)取等号的条件.
利用基本不等式求最值要牢记:“一正”“二定”“三相等”
(1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,否则就容易得出错误的结果;
(2)“二定”,即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a+b的最小值,那么ab必须是定值;要求ab的最大值,a+b必须是定值;
(3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值.
知识点三 基本不等式的应用
1.基本不等式的变形
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:
(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.
常用的方法有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
2.应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量,建立函数关系;
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值);
(3)解题注意点:
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;
②根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值;
③在求函数的最值时,一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.
考点一:利用基本不等式证明不等式
例1 已知a>b,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证: ≥8.
【证明】因为a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,
所以-1==≥,
同理-1≥,-1≥.上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
得≥··=8.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
【总结】
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”;
(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,构成基本不等式模型再使用.
变式 (1)已知a>b,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:++≥9.
【证明】因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
所以++=++
=3+≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
(2)已知a>b,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:≥10.
【证明】因为a,b,c都为正实数,
所以++
=++
=4+≥4+2+2+2=10,当且仅当a=b=c=时取等号.
所以≥10.
考点二:利用基本不等式求最值
例2 (1)已知x>2,则x+的最小值为________;
(2)若0
【答案】 (1)6 (2) (3)9
【解析】 (1)因为x>2,所以x-2>0,
所以x+=x-2++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.所以x+的最小值为6.
(2)因为0
所以x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=×=,
当且仅当2x=1-2x,即当x=时,等号成立,所以x(1-2x)的最大值为.
(3)因为x>0,y>0,x+4y=1,所以+=+=5++≥5+2 =9,
当且仅当=,即x=,y=时取等号.
【总结】
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式,通过恒等变形及配凑,使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
(1)拆——裂项拆项:对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件;
(2)并——分组并项:目的是分组后各组可以单独应用基本不等式;或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值;
(3)配——配式配系数:有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
变式 求下列函数的最值.
(1)已知x>1,求y=4x+1+的最小值;
(2)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值;
(3)已知a,b∈(0,+∞),且a+2b=1, 求+的最小值.
【解析】(1)∵x>1,∴x-1>0,
∴y=4x+1+=4(x-1)++5≥2+5=9,
当且仅当4(x-1)=即x=时取等号,∴y=4x+1+的最小值为9.
(2)∵0<x<1,∴x(4-3x)=·(3x)·(4-3x)≤×=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号,故x(4-3x)的最大值为.
(3)∵a,b∈(0,+∞),且a+2b=1,
∴+=(a+2b)=4++≥4+2=8,
当且仅当=且a+2b=1,即b=,a=时取等号,故+的最小值为8.
考点三:利用基本不等式求参数的取值范围
例3 (1)已知函数y=x++2的值构成的集合为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
A. B.
C.1 D.2
(2)已知函数y=(a∈R),若对于任意的x∈N*,y≥3恒成立,则a的取值范围是________.
【答案】(1)C (2)
【解析】(1)由题意可得a>0,
①当x>0时,f(x)=x++2≥2+2,当且仅当x=时取等号;
②当x<0时,f(x)=x++2≤-2+2,当且仅当x=-时取等号,
所以解得a=1. 故选C.
(2) 对任意x∈N*,y≥3,即≥3恒成立,即a≥-+3.设z=x+,x∈N*,
则z=x+≥4,当x=2时等号成立,又x=2时z=6,又x=3时z=.
∴a≥-,故a的取值范围是.]
【总结】
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.
变式 已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.
【答案】2
【解析】依题意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(当且仅当x=2y时取等号),即的最大值为2.又λ≥,因此有λ≥2,即λ的最小值为2.
考点四:利用基本不等式解应用题
例4 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m,中间两道隔墙建造单价为248 元/m,池底建造单价为80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
【解析】设隔墙的长度为x m,总造价为y元,则隔墙造价为2x×248=496x元,
池底造价为200×80=16 000元,
四周围墙造价为×400=800×元.
因此,总造价为
y=496x+800+16 000(0<x<50)
=1 296x++16 000≥2 +16 000
=28 800+16 000=44 800.当且仅当1 296x=,
即x=时,等号成立.这时,污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m,宽为 m时,总造价最低,最低为44 800元.
【总结】
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出等量关系式;
(2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题;
(3)利用基本不等式求最值;
(4)正确写出答案.
变式 某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层,并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元,设每年的能源消耗费用为y1万元,隔热层的厚度为x厘米,两者满足关系式:y1=(0≤x≤10,k为常数).若无隔热层,则每年的能源消耗费用为6万元,15年的总维修费用为10万元,记y2为15年的总费用(总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用).
(1)求y2的表达式;
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时,15年的总费用y2最小,并求出最小值.
【解析】(1)依题意,当x=0时,y1=6,∴6=,∴k=30.
故y1=,y2=4x+×15+10=4x++10(0≤x≤10).
(2)y2=4x++10=(4x+10)+=2(2x+5)+≥2 =60,
当且仅当2(2x+5)=,即x=5时,y2取得最小值,最小值为60,
∴隔热层的厚度为5厘米时,15年的总费用达到最小值,最小值为60万元.
1.下列不等式中,正确的是( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
【答案】D
【解析】a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错;a=4,b=16,则<,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2.已知x>0,y>0,x+y=2,则+的最小值为( )
A.+ B.+
C.+ D.
【答案】C
【解析】因为x+y=2,所以y=2-x,
又x>0,y>0,所以0<x<2,
+=+=+=×++,
因为0<x<2,所以3-x>0,
所以×++≥2+=+,
当且仅当×=,即x=时取等号,
所以+的最小值为+.故选C.
3.(多选)下列各选项中y的最大值为的是( )
A.y=x2+ B.y=x, x∈[0, 1]
C.y= D.y=x+, x>-2
【答案】BC
【解析】对于A, y=x2+≥2=;
对于B, y=x=≤=;
对于C, y==≤;
对于D, y=x+=x+2+-2≥4-2=2.故选B、C.
4.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为a万元/次,一年的总存储费用为6ax万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x的值是________.
【答案】10
【解析】设一年的总费用为y,则y=·a+6ax≥2=2×60a=120a,
当且仅当=6ax,即x=10时等号成立,所以要使一年的总运费与总存储费之和最小,x的值是10.
5.甲、乙两同学分别解“设x≥1,求函数y=2x2+1的最小值”的过程如下:
甲同学:y=2x2+1≥2=2x,又x≥1,所以2x≥2.从而y≥2x≥2,即y的最小值是2.乙同学:因为y=2x2+1在x≥1时的图象随着x增大而逐渐上升,即y随x增大而增大,所以y的最小值是2×12+1=3.
试判断谁错,错在何处?
【解析】甲错.甲直接利用基本不等式求最值,忽略了不等式成立的条件.当2x2+1≥2时,有2x2=1,此时x不在范围内,故此题不能用基本不等式求解.
乙正确.利用函数图象,由图象判断y的最小值.
6.已知x>0,则+x的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】∵x>0,∴+x≥2=6.当且仅当x=即x=3时取得最小值6.
7.设a,b为正数,且a+b≤4则( )
A.+≤1 B.+≥2
C.ab≤4 D.ab≥8
【答案】C
【解析】设a,b为正数,且a+b≥2,∴ab≤≤4,当且仅当a=b=2时取等号.
8.若a>0,且a+b=0,则a-+1的最小值为________.
【答案】3
【解析】由a+b=0,a>0,得b=-a,-=>0,
所以a-+1=a++1≥3,当且仅当a=1,b=-1时取等号.
9.已知ab=1,a>0,b>0.则a+b的最小值为________.
【答案】2
【解析】因为a>0,b>0,所以a+b≥2=2.当且仅当a=b=1时等号成立,故a+b的最小值为2.]
10.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2.
【答案】2
【解析】设两段长分别为x cm,(12-x)cm,
则S=×+×=≥×=2.
当且仅当x=12-x,即x=6时取等号,故两个正三角形面积之和最小值为2 cm2.
1.已知P=a2+(a≠0),Q=b2-4b+7(1<b≤3).则P,Q的大小关系为( )
A.P>Q B.P<Q
C.P≥Q D.P≤Q
【答案】C
【解析】P=a2+≥2=4,当且仅当a=±时等号成立,
Q=b2-4b+7=(b-2)2+3≤4,当b=3时等号成立,所以P≥Q.故选C.
2.已知a>0,b>0,则“ab≤1”是“≤1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】a>0,b>0,若ab≤1,则由a+b≥2得≤=≤1,充分性成立,
若≤1,例如a=,b=2,则=1,但ab=>1,因此必要性不成立.故选A.
3.若a>0,b>0,且+=,则a2+b2的最小值为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
【答案】C
【解析】∵a>0,b>0,∴+=≥2,ab≥2,当且仅当a=b=时等号成立,
∴a2+b2≥2ab≥4,当且仅当a=b=时等号成立.
综上,a2+b2的最小值是4.故选C.
4.若对x>0,y>0,有(x+2y)·≥m恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≤4 B.m>4
C.m<0 D.m≤8
【答案】D
【解析】由x>0,y>0,得(x+2y)=2+++2≥4+2=8,当且仅当2y=x时取等号,则m≤8.故选D.
5.对于使-x2+2x≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做-x2+2x的上确界,若a,b∈R+,且a+b=1,则--的上确界为( )
A. B.-
C. D.-4
【答案】B
【解析】由题意可知,只需求--的最大值即可,因此可先求 +的最小值,+=(a+b)=++≥,当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以 --的最大值是-.故选B.
6.(多选)设a,b是正实数,则下列各式中成立的是( )
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.≤
【答案】ABC
【解析】由≥得a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,∴A成立;
∵+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,∴B成立;
∵≥=2,当且仅当a=b时等号成立,∴C成立;
∵-=≥0,∴≥,∴D不成立.故选A、B、C.
7.(多选)已知a,b∈R+且a+b=1,那么下列不等式中,恒成立的有( )
A.ab< B.a2+b2≥
C.+≤ D.+≥2
【答案】BC
【解析】A,因为a,b∈R+且a+b=1,所以ab≤=,当且仅当即a=b=时,等号成立,故A错误;B,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2+≥,当且仅当a=b=时,等号成立,故B正确;C,=a+b+2=1+2=1+2=1+2=1+2≤2,当且仅当a=b=时,等号成立,因此+≤,故C正确;D,+=+=++≥+2=+,当且仅当即时,等号成立,故D错误.故选B、C.
8.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则1,ab,的大小关系是________.
【答案】ab<1<
【解析】因为a,b∈R+,a+b=2,
所以a+b≥2,即ab≤=1,又a≠b,所以ab<1,
因为>0,所以>ab,则2(a2+b2)>(a+b)2=4,>1,
所以ab<1<.
9.下列条件中能使+≥2成立的是________.
①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.
【答案】①③④
【解析】要使+≥2成立,只需>0,>0即可,此时+≥2=2,当且仅当=等号成立,若<0,则不等式不成立,即只需a,b同号即可,故①③④满足.
10.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为x米,宽为y米.若菜园面积为50平方米,则所用篱笆总长的最小值为________;若使用的篱笆总长度为30米,则+的最小值为________.
【答案】20
【解析】若菜园面积为50平方米,则xy=50,
所以篱笆总长x+2y≥2=20,当且仅当x=2y,即x=10,y=5时等号成立,
故所用篱笆总长的最小值为20;
若使用的篱笆总长度为30米,则x+2y=30,
所以+=×(x+2y)=≥=,
当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立,
所以+的最小值为.
11.(1)已知a>0,b>0,a+2b=4,求ab的最大值;
(2)若正数a,b满足a+b=1,求+的最小值.
【解析】(1)ab=a×2b≤=2,当且仅当a=2b=2即a=2,b=1时取等号.
故ab的最大值为2.
(2)a+b=1,即(a+1)+b=2,∵a>0,b>0,
故+=[(a+1)+b]=≥8,当且仅当=时等号成立,
又a+b=1,∴a=b=时,=8.
12.已知△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,若△ABC的三边长分别为a,b,c,则+的最小值为( )
A.2 B.2+
C.4 D.2+2
【答案】D
【解析】因为△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,
所以(a+b+c)×1=1,所以a+b+c=2,
所以+=+=2++≥2+2,
当且仅当a+b=c,即c=2-2时,等号成立,
所以+的最小值为2+2.
13.(多选)下列说法正确的为( )
A.若x>0,则x(2-x)最大值为1
B.函数y=的最小值为4
C.≥2
D.已知a>3时,a+≥2,当且仅当a=即a=4时,a+取得最小值8
【答案】AC
【解析】选项A,若x>0,则x(2-x)≤=1,当且仅当x=2-x,即x=1时等号成立,故选项A正确;
选项B,y===2(+)≥2×2=4,
当且仅当=,即x2=-2时等号成立,显然取不到最小值,故选项B错误;
选项C,当x>0时,=x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立;
当x<0时,-x>0,所以=(-x)+≥2=2,当且仅当-x=,即x=-1时等号成立,所以≥2,故选项C正确;
选项D,当a>3时,a+=a-3++3≥2+3=7,当且仅当a-3=,即a=5时等号成立,故选项D错误.
故选A、C.
14.若正实数a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.
【答案】1
【解析】由条件可得c=a2-3ab+4b2,则==,
由-3+4×=4×+-3≥2-3=1,
当且仅当4×=,即a=2b时,有最大值,此时c=2b2,所以+-=-=-+1,
当b=1时,+-有最大值1.所以+-的最大值为1.
15.“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》,该问题可以被描述为:“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a和b,求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长.”公元263年,数学家刘徽为《九章算术》作注,在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答,则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________,当内接正方形的面积为1时,则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________.
【答案】 2
【解析】设内接正方形的边长为x,则图②的面积为ab,图③的面积为(a+b)x,
因为图②和图③的面积相等,则有ab=(a+b)x,解得x=,故内接正方形的边长为.
因为内接正方形的面积为1,所以内接正方形的边长x=1,则有a+b=ab,
利用基本不等式可得a+b=ab≥2,故ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,
所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab-2≥2,
故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.
16.某种产品的两种原料相继提价,产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比,对产品分两次提价,现在有三种提价方案:
方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;
方案乙:第一次提价q%,第二次提价p%;
方案丙:第一次提价%,第二次提价%.
其中p>q>0,比较上述三种方案,哪一种提价少?哪一种提价多?
【解析】不妨设提价前的价格为1,则
方案甲:两次提价后的价格为(1+p%)(1+q%)=1+p%+q%+0.01pq%,
方案乙:两次提价后的价格为(1+q%)(1+p%)=1+p%+q%+0.01pq%,
方案丙:两次提价后的价格为=1+p%+q%+0.01×%,
由于p>q>0,由基本不等式p+q≥2,当且仅当p=q时等号成立,
故≥pq,又p≠q,故等号不成立,即>pq.
因此方案丙提价最多,方案甲、乙少,且提价一样.
17.已知a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2=4(ab)3,求ab的值.
【解析】(1)因为a,b为正实数,且+=2,所以+=2≥2,即ab≥(当且仅当a=b时等号成立).
因为a2+b2≥2ab≥2×=1(当且仅当a=b时等号成立),
所以a2+b2的最小值为1.
(2)因为+=2,所以a+b=2ab.因为(a-b)2=4(ab)3,所以(a+b)2-4ab=4(ab)3,即(2ab)2-4ab=4(ab)3,即(ab)2-2ab+1=0,(ab-1)2=0.因为a,b为正实数,所以ab=1.
18.某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,
每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2021年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?
【解析】(1)由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x-(8+16x+m)=4+8x-m
=4+8-m
=-+29(m≥0).
(2)∵m≥0,+(m+1)≥2=8,
当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,
∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
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